2018届中考数学提升练习：专题(四) 整式方程(组)的应用

专题提升(四)　整式方程(组)的应用

类型之一　一元一次方程的应用

【经典母题】

汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t，还剩下8 t未装；若每辆车装4.5 t，恰好装完．这个车队有多少辆车？

解：设这个车队有x辆车，依题意，得

4x＋8＝4.5x，解得x＝16.

答：这个车队有16辆车．

【思想方法】　利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．

【中考变形】

1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是                                             (　C　)

A．25台  B．50台

C．75台  D．100台

【解析】 设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是(100－x)台，根据题意可得x＝3(100－x)，解得x＝75.

2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？

请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．

解：设上月萝卜的单价是x元/斤，则排骨的单价元/斤，根据题意，得3(1＋50%)x＋2(1＋20%)＝45，

解得x＝2，则＝＝15.

∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，

这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．

答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．

【中考预测】

[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．

图Z4－1

解：设笔的价格为x元/支，则笔记本的价格为3x元/本，

由题意，得10x＋5×3x＝30，

解得x＝1.2，∴3x＝3.6.

答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．

类型之二　二元一次方程组的应用

【经典母题】

用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？

图Z4－2

解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，可恰好将库存的纸板用完．

根据题意，得解得

答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．

【思想方法】　利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．

【中考变形】[来源:学|科|网]

1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．

①

②

图Z4－3

解：设信纸的纸长为x cm，信封口的宽为y cm.

由题意，得解得

答：信纸的纸长为28.8 cm，信封的口宽为11 cm.

2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min内可以通过800名学生．

(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？

(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．

解：(1)设一个正门平均每分钟通过x名学生，一个侧门平均每分钟通过y名学生，由题意，得

解得

答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；

(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，

学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝(min)．

∵5＜，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．

【中考预测】

随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/km计算，耗时费按q元/min计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：

(1)求p，q的值；

(2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h，行驶了11 km，那么小华的打车总费用为多少？

解：(1)小明的里程数是8 km，时间为8 min；小刚的里程数为10 km，时间为12 min.

由题意得解得

(2)小华的里程数是11 km，时间为12 min.

则总费用是11p＋12q＝17(元)．

类型之三　一元二次方程的应用

【经典母题】

某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？

解：(1)100－＝88(辆)．

答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．

(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x)元，则

[(3 000＋x)－150]－×50＝306 600，

解得x1＝900，x2＝1 200，

∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．[来源:学*科*网]

答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．

【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．

【中考变形】

1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．[来源:Zxxk.Com]

(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

解：(1)设此批次蛋糕属第a档次产品，则10＋2(a－1)＝14，解得a＝3.

答：此批次蛋糕属第3档次产品．

(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品，

根据题意，得[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1 080，

解得x1＝5，x2＝11(舍去)．

答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．

2．[2017·重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．

(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？

(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．

【解析】 (1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；

(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：

然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．

解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得

400－x≤7x，解得x≥50.

答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.

(2)由题意，得3 000×(1－m %)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.

答：m的值为12.5.

【中考预测】

某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.

(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？

(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？

解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．

则y＝(10＋x)(400－20x)

＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.

当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．

答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；

(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.

解得a＝3或a＝7，

为了使顾客得到实惠，∴a＝3.

答：每千克应涨价3元．