2018届中考数学提升练习：专题（三） 数式规律型问题

专题提升(三)　数式规律型问题

【经典母题】

观察下列各式：

52＝25；

152＝225；

252＝625；

352＝1 225；

…

你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．

解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，

则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25，

因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．

【思想方法】　模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．

【中考变形】

1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：

3－2＝1；

8＋7－6－5＝4；

15＋14＋13－12－11－10＝9；

24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；

…

根据以上规律可知第10行左起第1个数是         (　C　)

A．100  B．121       C．120    D．82

【解析】 根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120.

2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是                                                           (　B　)

图Z3－1

A．y＝2n＋1  B．y＝2n＋n

C．y＝2n＋1＋n  D．y＝2n＋n＋1

【解析】 ∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.[来源:学§科§网]

3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是下列选项中的                                                                                                                                              (　D　)[来源:学科网ZXXK]

图Z3－2

【解析】 由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，

2 017÷4＝504……1，

∴2 017是第505个循环组的第2个数，

∴从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是.

故选D.

4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走

(　D　)

A．②号棒    B．⑦号棒

C．⑧号棒    D．⑩号棒

【解析】 仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．

5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：

图Z3－4

按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为      (　D　)

A．3n  B．6n

C．3n＋6   D.3n＋3

【解析】 ∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n个图需棋子(3n＋3)个．

6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．

【解析】 根据所给的数据发现：第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋…＋n＝

2 016，得＝2 016，解得n＝63(负数舍去)．

7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：第1位同学报，第2位同学报，第3位同学报，…这样得到的100个数的积为__101__.

【解析】 ∵第1位同学报的数为＋1＝，第2位同学报的数为＋1＝，第3位同学报的数为＋1＝，…

∴第100位同学报的数为＋1＝，

∴这样得到的100个数的积＝×××…×＝101.

8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n＋3__．

图Z3－5

【解析】 ∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，…∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n＋3.

9．观察下列等式：

第一个等式：a1＝＝－1；

第二个等式：a2＝＝－；

第三个等式：a3＝＝2－；

第四个等式：a4＝＝－2；

…

按上述规律，回答以下问题：

(1)用含n的代数式表示第n个等式：an＝  ＝－  ；

(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝__－1__

【解析】 a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋(2－)＋(－2)＋…＋(－)＝－1.

10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)．

图Z3－6

【解析】 由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4(n－1)＝4n＋1(个)．

11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有__5n＋1__根小棒．

图Z3－7

【解析】 ∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋5×1＝11根小棒，第3个图案中有6＋5×2＝16根小棒，…∴第n个图案中有6＋5(n－1)＝5n＋1根小棒．

12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示．

由图易得＋＋＋…＋＝__1－__.

图Z3－8

13．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：

图Z3－9[来源:Z.xx.k.Com]

【解析】 1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…∴1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

(2)观察图Z3－10，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：[来源:Zxxk.Com]

图Z3－10

1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋__2n＋1__＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．

【解析】 观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n＋1行，n＋2行到2n＋1行，即1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋[2(n＋1)－1]＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1.

【中考预测】

一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．

(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？

(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？[来源:Zxxk.Com]

图Z3－11

解：(1)把4张餐桌拼起来能坐4×4＋2＝18(人)；

把8张餐桌拼起来能坐4×8＋2＝34(人)；

(2)设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x＋2＝90，

解得x＝22.

答：这样的餐桌需要22张．