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陕西省咸阳市泾阳县七校联考九年级下学期期中数学试卷（解析版）
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这是一份陕西省咸阳市泾阳县七校联考九年级下学期期中数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省咸阳市泾阳县七校联考九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A． 2 B． C． ﹣ D． ﹣2
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． a3•a4=a12 B． （a3）4=a12 C． a+a4=a5 D． （a+b）（a﹣b）=a2+b2
3．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A． 8，8 B． 8.4，8 C． 8.4，8.4 D． 8，8.4
6．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． 21×10﹣4千克 B． 2.1×10﹣6千克 C． 2.1×10﹣5千克 D． 2.1×10﹣4千克
7．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． ﹣3 D． 3
8．一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S（米）与散步时间t（分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（ ）
A． 从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了
B． 从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C． 从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D． 从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回
9．如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（ ）
A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 2cm
10．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y2﹣y1=4；
④2AB=3AC；
其中正确结论是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．|﹣2|+（﹣1）0+2cos30°= ．
12．分解因式：a3﹣2a2+a= ．
13．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 ．
B．用科学计算器计算：sin69°≈ （精确到0.01）．
14．若圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则它的侧面积为 ．
15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ．
16．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ．
三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程）
17．解方程：．
18．如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：AA′=CE．
19．中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调査中．共调査了 名中学生家长；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
（4）综合上述信息，用一句话谈谈你的感想．
20．如图，两建筑物的水平距离BC是30m，从A点测得D点的俯角α是35°，测得C点的俯角β为43°，求这两座建筑物的高度．（结果保留整数）
21．某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？
22．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1、2、3、4．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机的摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．
①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．
②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
23． 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长．
24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB= ，PD= ．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
2017-2018学年陕西省咸阳市泾阳县七校联考九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A． 2 B． C． ﹣ D． ﹣2
考点： 倒数．
分析： 根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．
解答： 解：﹣2的倒数是﹣．
故选：C．
点评： 主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． a3•a4=a12 B． （a3）4=a12 C． a+a4=a5 D． （a+b）（a﹣b）=a2+b2
考点： 平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
专题： 探究型．
分析： 分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式对各选项进行逐一解答即可．
解答： 解：A、a3•a4=a7，故本选项错误；
B、（a3）4=a12，故本选项正确；
C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式，熟知以上知识是解答此题的关键．
3．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形．
故选A．
点评： 本题考查了中心对称图形．掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
专题： 常规题型．
分析： 左视图是从左边观看得到的图形，结合选项判断即可．
解答： 解：从左边看得到的图形，有两列，第一列有两个正方形，第二列有一个正方形，
故选C．
点评： 此题考查了三视图的知识，属于基础题，解答本题的关键是知道左视图的观察位置．
5．某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A． 8，8 B． 8.4，8 C． 8.4，8.4 D． 8，8.4
考点： 中位数；算术平均数．
分析： 根据平均数公式求解即可，即用所有数据的和除以5即可；5个数据的中位数是排序后的第三个数．
解答： 解：8，9，8，7，10的平均数为×（8+9+8+7+10）=8.4．
8，9，8，7，10排序后为7，8，8，9，10，
故中位数为8．
故选B．
点评： 本题考查了中位数及算术平均数的求法，特别是中位数，首先应该排序，然后再根据数据的个数确定中位数．
6．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． 21×10﹣4千克 B． 2.1×10﹣6千克 C． 2.1×10﹣5千克 D． 2.1×10﹣4千克
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.000021=2.1×10﹣5；
故选：C．
点评： 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． ﹣3 D． 3
考点： 待定系数法求反比例函数解析式．
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（﹣1，﹣2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．
解答： 解：根据题意，得
﹣2=，即2=k﹣1，
解得，k=3．
故选D．
点评： 此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．
8．一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S（米）与散步时间t（分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（ ）
A． 从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了
B． 从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C． 从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D． 从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回
考点： 函数的图象．
分析： 根据图象可知，有一段时间内时间在增加，而路程没有增加，意味着有停留，与x轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断．
解答： 解：A、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了，图象为梯形，错误；
B、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了，描述不准确，错误；
C、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；
D、从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，第18分钟开始返回从家出发，符合图象的特点，正确．
故选D．
点评： 考查了函数的图象，读懂图象是解决本题的关键．首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据函数图象用排除法判断．
9．如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（ ）
A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 2cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 探究型．
分析： 先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长．
解答： 解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴AB=2AM，
∵CD=5cm，
∴OD=OA=CD=×5=cm，
∵OM：OD=3：5，
∴OM=OD=×=，
∴在Rt△AOM中，AM===2，
∴AB=2AM=2×2=4cm．
故选C．
点评： 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y2﹣y1=4；
④2AB=3AC；
其中正确结论是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
考点： 二次函数的性质．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 根据与y2=（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
解答： 解：①∵抛物线y2=（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得a=，故本小题错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2﹣3解析式为y1=（x+2）2﹣3，当x=0时，y1=（0+2）2﹣3=﹣，y2=（0﹣3）2+1=，故y2﹣y1=+=，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=﹣2，y2的对称轴为x=3，
∴B（﹣5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小题正确．
故选D．
点评： 本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．|﹣2|+（﹣1）0+2cos30°= 3 ．
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答： 解：原式=2﹣+1+2×
=3．
故答案为：3
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．分解因式：a3﹣2a2+a= a（a﹣1）2 ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 因式分解．
分析： 此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．
解答： 解：a3﹣2a2+a
=a（a2﹣2a+1）
=a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
点评： 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 或 ．
B．用科学计算器计算：sin69°≈ 2.47 （精确到0.01）．
考点： 菱形的性质；计算器—三角函数．
专题： 计算题．
分析： A、分类讨论：当点E在线段AE上，如图1，根据菱形的性质得BC=AD=8，BC∥AD，则AE=5，利用BC∥AM，根据平行线分线段成比例定理得到==；当点E在线段AE的延长线上，如图2，则AE=11，同理可得=；
B、直接使用科学计算器进行计算．
解答： 解：A、当点E在线段AE上，如图1，
∵菱形ABCD的边长是8，
∴BC=AD=8，BC∥AD，
∵DE=3，
∴AE=5，
∵BC∥AM，
∴==；
当点E在线段AE的延长线上，如图2，则AE=11，
∵BC∥AM，
∴==，
即的值为或；
B、sin69°≈2.47（精确到0.01）．
故答案为或； 2.47．
点评： 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行线分线段成比例定理和计算器的使用．
14．若圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则它的侧面积为 6π ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 圆锥的侧面积：S侧=•底面周长•母线长计算即可．
解答： 解：它的侧面积为：4π×3=6π，
故答案为：6π．
点评： 此题主要考查圆锥的侧面的计算，关键是掌握计算公式．
15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ．
考点： 矩形的性质；勾股定理．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG，然后根据等边对等角的性质可得∠ADG=∠DAG，再结合两直线平行，内错角相等可得∠ADG=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGE=2∠ADG，从而得到∠AED=∠AGE，再利用等角对等边的性质得到AE=AG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，
∴AG=DG，
∴∠ADG=∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠CED，
∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG=4，
在Rt△ABE中，AB===．
故答案为：．
点评： 本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出AE=AG是解题的关键．
16．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 365 ．
考点： 规律型：图形的变化类．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n=14代入进行计算即可．
解答： 解：第1个图案只有1块黑色地砖，
第2个图案有黑色与白色地砖共32=9，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共52=25，其中黑色的有13块，
…
第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有[（2n﹣1）2+1]，
当n=14时，黑色地砖的块数有[（2×14﹣1）2+1]=×730=365．
故答案为：365．
点评： 本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键．
三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程）
17．解方程：．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 由x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
解答： 解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得：（x﹣2）2﹣（x2﹣4）=3，
解得：x=．
检验：当x=时，（x+2）（x﹣2）≠0．
∴x=是原方程的解．
点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．需注意：分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18．如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：AA′=CE．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据正方形的性质得AD=CD，∠ADC=90°，∠CAB=45°，则∠A′DE=90°，再根据旋转的性质得∠CA′B′=∠CAB=45°，则∠A′ED=45°，于是可得A′D=DE，然后根据“SAS”可判断△AA′D≌△CED，则根据全等三角形的性质即可得到结论．
解答： 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′，
∴∠CA′B′=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中，
，
∴△AA′D≌△CED（SAS），
∴AA′=CE．
点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
19．中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调査中．共调査了 200 名中学生家长；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
（4）综合上述信息，用一句话谈谈你的感想．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）用反对的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
（2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数；
（3）用家长总数乘以持反对态度的百分比即可，
（4）从图中可得出家长担心中学生骑电动车上学路上的安全问题．
解答： 解：（1）共调査的中学生家长数：120÷60%=200（名）．
故答案为：200．
（2）赞成的家长数为：200×（1﹣60%﹣25%）=30（名），
如图，
（3）我市城区80000名中学生家长中持反对态度的为80000×60%=48000（名）；
（4）大多数家长担心中学生骑电动车上学路上的安全问题．
点评： 本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出有关信息．
20．如图，两建筑物的水平距离BC是30m，从A点测得D点的俯角α是35°，测得C点的俯角β为43°，求这两座建筑物的高度．（结果保留整数）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
解答： 解：过点D作DE⊥AB，
则四边形BCDE为矩形，
在Rt△ADE中，∠ADE=35°，DE=30，
∴AE=DEtan∠ADE=30×tan35°≈30×0.7≈21；
在Rt△ABC中，∠ACB=43°，CB=30，
∴AB=BCtanβ=30×tan43°≈30×0.93≈28；
则DC=AB﹣AE=28﹣21=7．
∴AB=28m，DC=7m．
即两座建筑物的高度分别为28m，7m．
点评： 本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
21．某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？
考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．
分析： （1）根据购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，以及购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元，得出等式方程求出即可；
（2）利用要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，得出不等式组，求出a的值即可，再利用一次函数的增减性得出答案即可．
解答： 解：（1）设A型每套x元，则B型每套（x+40）元．
由题意得：4x+5（x+40）=1820．
解得：x=180，x+40=220．
即购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元、220元；
（2）设购买A型课桌凳a套，则购买B型课桌凳（200﹣a）套．
由题意得：，
解得：78≤a≤80．
∵a为整数，
∴a=78、79、80．
∴共有3种方案，
设购买课桌凳总费用为y元，
则y=180a+220（200﹣a）=﹣40a+44000．
∵﹣40＜0，y随a的增大而减小，
∴当a=80时，总费用最低，此时200﹣a=120，
即总费用最低的方案是：购买A型80套，购买B型120套．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用以及一次函数的增减性，根据已知得出不等式组，求出a的值是解题关键．
22．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1、2、3、4．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机的摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．
①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．
②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，继而利用概率公式即可求得答案，注意此题属于不放回实验；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明、小强获胜的情况，继而利用概率公式求得其概率，比较概率，则可得到他们制定的游戏规则是否公平，注意此题属于放回实验．
解答： 解：①画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，
∴小明获胜的概率为：=；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，
∴P（小明获胜）==，P（小强获胜）=，
∵P（小明获胜）≠P（小强获胜），
∴他们制定的游戏规则不公平．
点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23． 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长．
考点： 切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出∠1=∠2，再由OA=OC，利用等边对等角得到∠2=∠3，等量代换可得出∠1=∠3，即AC为角平分线；
（2）法1：由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在直角三角形ABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，进而得出半径OE的长，由∠EAO为60°，及OE=OA，得到三角形AEO为等边三角形，可得出AE=OA=OE，即可确定出AE的长；
法2：连接EC，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ADC中，由CD及tan30°，利用锐角三角函数定义求出AD的长，由∠DEC为圆内接四边形ABCE的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到∠DEC=∠B，由∠B的度数求出∠DEC的度数为60°，在直角三角形DEC中，由tan60°及DC的长，求出DE的长，最后由AD﹣ED即可求出AE的长．
解答： （1）证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
则AC平分∠DAB；
（2）解：
法1：如图2，连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2，∠1=30°，
∴AC=2CD=4，
在Rt△ABC中，AC=4，∠CAB=30°，
∴AB===8，
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=OA=AB=4；
法2：如图3，连接CE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2，
∴AD===6，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
又∵∠DEC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，CD=2，
∴DE===2，
∴AE=AD﹣DE=4．
点评： 此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．
24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
考点： 抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题．
专题： 计算题．
分析： （1）由OA与OC的长确定出A与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；
（2）连接AD，与抛物线对称轴于点P，P为所求的点，设直线AD解析式为y=mx+n，把A与D坐标代入求出m与n的值，确定出直线AD解析式，求出抛物线对称轴确定出P横坐标，将P横坐标代入求出y的值，即可确定出P坐标．
解答： 解：（1）∵OA=2，OC=3，
∴A（﹣2，0），C（0，3），
代入抛物线解析式得：，
解得：b=，c=3，
则抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点，
设直线AD解析式为y=mx+n，
把A（﹣2，0），D（2，2）代入得：，
解得：m=，n=1，
∴直线AD解析式为y=x+1，
对称轴为直线x=，
当x=时，y=，
则P坐标为（，）．
点评： 此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数，一次函数解析式，以及对称轴﹣最短线路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB= 8﹣2t ，PD= t ．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）根据BC=8，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动可直接得出QB的长，再根据∠C=90°，PD∥BC可知PD⊥AC，故=，由此可用t表示出PD的长；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，再由PD∥BC得出APD∽ACB，可用t表示出AD及BD的长，再由BQ∥DP可知当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=t，解得t=．故可得出DP≠BD，即四边形PDBQ不能为菱形；设点Q的速度为每秒v个单位长度．则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t．要使四边形PDBQ是菱形，则PD=BD=PQ．再分PD=BD，PD=BQ两种情况即可得出结论．
解答： 解：（1）∵BC=8，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，
∴QB=8﹣2t，AP=2t；
∵∠C=90°，PD∥BC，
∴PD⊥AC，
∴=，即=，即PD=t．
故答案为：8﹣2t，t；
（2）不存在．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8．
∴AB=10．
∵PD∥BC，
∴APD∽ACB，
∴=，即=，
∴AD=t．
∴BD=AB﹣AD=10﹣t．
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=t，解得t=．
当t=时，DP=×=，BD=10﹣×=6．
∴DP≠BD．
∴四边形PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度．
则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t．
要使四边形PDBQ是菱形，则PD=BD=PQ．
当PD=BD，即t=10﹣t．解得t=．
当PD=BQ，t=时，即×=8﹣v，解得v=．
∴当点Q的速度为每秒个单位时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．
点评： 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，在解答（3）时要分PD=BD，PD=BQ两种情况进行讨论，此题难度较大．
陕西省咸阳市泾阳县七校联考九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A． 2 B． C． ﹣ D． ﹣2
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． a3•a4=a12 B． （a3）4=a12 C． a+a4=a5 D． （a+b）（a﹣b）=a2+b2
3．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A． 8，8 B． 8.4，8 C． 8.4，8.4 D． 8，8.4
6．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． 21×10﹣4千克 B． 2.1×10﹣6千克 C． 2.1×10﹣5千克 D． 2.1×10﹣4千克
7．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． ﹣3 D． 3
8．一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S（米）与散步时间t（分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（ ）
A． 从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了
B． 从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C． 从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D． 从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回
9．如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（ ）
A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 2cm
10．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y2﹣y1=4；
④2AB=3AC；
其中正确结论是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．|﹣2|+（﹣1）0+2cos30°= ．
12．分解因式：a3﹣2a2+a= ．
13．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 ．
B．用科学计算器计算：sin69°≈ （精确到0.01）．
14．若圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则它的侧面积为 ．
15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ．
16．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ．
三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程）
17．解方程：．
18．如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：AA′=CE．
19．中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调査中．共调査了 名中学生家长；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
（4）综合上述信息，用一句话谈谈你的感想．
20．如图，两建筑物的水平距离BC是30m，从A点测得D点的俯角α是35°，测得C点的俯角β为43°，求这两座建筑物的高度．（结果保留整数）
21．某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？
22．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1、2、3、4．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机的摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．
①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．
②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
23． 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长．
24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB= ，PD= ．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
2017-2018学年陕西省咸阳市泾阳县七校联考九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A． 2 B． C． ﹣ D． ﹣2
考点： 倒数．
分析： 根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．
解答： 解：﹣2的倒数是﹣．
故选：C．
点评： 主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． a3•a4=a12 B． （a3）4=a12 C． a+a4=a5 D． （a+b）（a﹣b）=a2+b2
考点： 平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
专题： 探究型．
分析： 分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式对各选项进行逐一解答即可．
解答： 解：A、a3•a4=a7，故本选项错误；
B、（a3）4=a12，故本选项正确；
C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式，熟知以上知识是解答此题的关键．
3．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形．
故选A．
点评： 本题考查了中心对称图形．掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
专题： 常规题型．
分析： 左视图是从左边观看得到的图形，结合选项判断即可．
解答： 解：从左边看得到的图形，有两列，第一列有两个正方形，第二列有一个正方形，
故选C．
点评： 此题考查了三视图的知识，属于基础题，解答本题的关键是知道左视图的观察位置．
5．某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A． 8，8 B． 8.4，8 C． 8.4，8.4 D． 8，8.4
考点： 中位数；算术平均数．
分析： 根据平均数公式求解即可，即用所有数据的和除以5即可；5个数据的中位数是排序后的第三个数．
解答： 解：8，9，8，7，10的平均数为×（8+9+8+7+10）=8.4．
8，9，8，7，10排序后为7，8，8，9，10，
故中位数为8．
故选B．
点评： 本题考查了中位数及算术平均数的求法，特别是中位数，首先应该排序，然后再根据数据的个数确定中位数．
6．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． 21×10﹣4千克 B． 2.1×10﹣6千克 C． 2.1×10﹣5千克 D． 2.1×10﹣4千克
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.000021=2.1×10﹣5；
故选：C．
点评： 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． ﹣3 D． 3
考点： 待定系数法求反比例函数解析式．
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（﹣1，﹣2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．
解答： 解：根据题意，得
﹣2=，即2=k﹣1，
解得，k=3．
故选D．
点评： 此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．
8．一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S（米）与散步时间t（分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（ ）
A． 从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了
B． 从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C． 从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D． 从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回
考点： 函数的图象．
分析： 根据图象可知，有一段时间内时间在增加，而路程没有增加，意味着有停留，与x轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断．
解答： 解：A、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了，图象为梯形，错误；
B、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了，描述不准确，错误；
C、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；
D、从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，第18分钟开始返回从家出发，符合图象的特点，正确．
故选D．
点评： 考查了函数的图象，读懂图象是解决本题的关键．首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据函数图象用排除法判断．
9．如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（ ）
A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 2cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 探究型．
分析： 先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长．
解答： 解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴AB=2AM，
∵CD=5cm，
∴OD=OA=CD=×5=cm，
∵OM：OD=3：5，
∴OM=OD=×=，
∴在Rt△AOM中，AM===2，
∴AB=2AM=2×2=4cm．
故选C．
点评： 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y2﹣y1=4；
④2AB=3AC；
其中正确结论是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
考点： 二次函数的性质．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 根据与y2=（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
解答： 解：①∵抛物线y2=（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得a=，故本小题错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2﹣3解析式为y1=（x+2）2﹣3，当x=0时，y1=（0+2）2﹣3=﹣，y2=（0﹣3）2+1=，故y2﹣y1=+=，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=﹣2，y2的对称轴为x=3，
∴B（﹣5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小题正确．
故选D．
点评： 本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．|﹣2|+（﹣1）0+2cos30°= 3 ．
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答： 解：原式=2﹣+1+2×
=3．
故答案为：3
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．分解因式：a3﹣2a2+a= a（a﹣1）2 ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 因式分解．
分析： 此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．
解答： 解：a3﹣2a2+a
=a（a2﹣2a+1）
=a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
点评： 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 或 ．
B．用科学计算器计算：sin69°≈ 2.47 （精确到0.01）．
考点： 菱形的性质；计算器—三角函数．
专题： 计算题．
分析： A、分类讨论：当点E在线段AE上，如图1，根据菱形的性质得BC=AD=8，BC∥AD，则AE=5，利用BC∥AM，根据平行线分线段成比例定理得到==；当点E在线段AE的延长线上，如图2，则AE=11，同理可得=；
B、直接使用科学计算器进行计算．
解答： 解：A、当点E在线段AE上，如图1，
∵菱形ABCD的边长是8，
∴BC=AD=8，BC∥AD，
∵DE=3，
∴AE=5，
∵BC∥AM，
∴==；
当点E在线段AE的延长线上，如图2，则AE=11，
∵BC∥AM，
∴==，
即的值为或；
B、sin69°≈2.47（精确到0.01）．
故答案为或； 2.47．
点评： 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行线分线段成比例定理和计算器的使用．
14．若圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则它的侧面积为 6π ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 圆锥的侧面积：S侧=•底面周长•母线长计算即可．
解答： 解：它的侧面积为：4π×3=6π，
故答案为：6π．
点评： 此题主要考查圆锥的侧面的计算，关键是掌握计算公式．
15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ．
考点： 矩形的性质；勾股定理．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG，然后根据等边对等角的性质可得∠ADG=∠DAG，再结合两直线平行，内错角相等可得∠ADG=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGE=2∠ADG，从而得到∠AED=∠AGE，再利用等角对等边的性质得到AE=AG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，
∴AG=DG，
∴∠ADG=∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠CED，
∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG=4，
在Rt△ABE中，AB===．
故答案为：．
点评： 本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出AE=AG是解题的关键．
16．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 365 ．
考点： 规律型：图形的变化类．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n=14代入进行计算即可．
解答： 解：第1个图案只有1块黑色地砖，
第2个图案有黑色与白色地砖共32=9，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共52=25，其中黑色的有13块，
…
第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有[（2n﹣1）2+1]，
当n=14时，黑色地砖的块数有[（2×14﹣1）2+1]=×730=365．
故答案为：365．
点评： 本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键．
三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程）
17．解方程：．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 由x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
解答： 解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得：（x﹣2）2﹣（x2﹣4）=3，
解得：x=．
检验：当x=时，（x+2）（x﹣2）≠0．
∴x=是原方程的解．
点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．需注意：分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18．如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：AA′=CE．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据正方形的性质得AD=CD，∠ADC=90°，∠CAB=45°，则∠A′DE=90°，再根据旋转的性质得∠CA′B′=∠CAB=45°，则∠A′ED=45°，于是可得A′D=DE，然后根据“SAS”可判断△AA′D≌△CED，则根据全等三角形的性质即可得到结论．
解答： 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′，
∴∠CA′B′=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中，
，
∴△AA′D≌△CED（SAS），
∴AA′=CE．
点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
19．中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调査中．共调査了 200 名中学生家长；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
（4）综合上述信息，用一句话谈谈你的感想．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）用反对的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
（2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数；
（3）用家长总数乘以持反对态度的百分比即可，
（4）从图中可得出家长担心中学生骑电动车上学路上的安全问题．
解答： 解：（1）共调査的中学生家长数：120÷60%=200（名）．
故答案为：200．
（2）赞成的家长数为：200×（1﹣60%﹣25%）=30（名），
如图，
（3）我市城区80000名中学生家长中持反对态度的为80000×60%=48000（名）；
（4）大多数家长担心中学生骑电动车上学路上的安全问题．
点评： 本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出有关信息．
20．如图，两建筑物的水平距离BC是30m，从A点测得D点的俯角α是35°，测得C点的俯角β为43°，求这两座建筑物的高度．（结果保留整数）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
解答： 解：过点D作DE⊥AB，
则四边形BCDE为矩形，
在Rt△ADE中，∠ADE=35°，DE=30，
∴AE=DEtan∠ADE=30×tan35°≈30×0.7≈21；
在Rt△ABC中，∠ACB=43°，CB=30，
∴AB=BCtanβ=30×tan43°≈30×0.93≈28；
则DC=AB﹣AE=28﹣21=7．
∴AB=28m，DC=7m．
即两座建筑物的高度分别为28m，7m．
点评： 本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
21．某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？
考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．
分析： （1）根据购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，以及购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元，得出等式方程求出即可；
（2）利用要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，得出不等式组，求出a的值即可，再利用一次函数的增减性得出答案即可．
解答： 解：（1）设A型每套x元，则B型每套（x+40）元．
由题意得：4x+5（x+40）=1820．
解得：x=180，x+40=220．
即购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元、220元；
（2）设购买A型课桌凳a套，则购买B型课桌凳（200﹣a）套．
由题意得：，
解得：78≤a≤80．
∵a为整数，
∴a=78、79、80．
∴共有3种方案，
设购买课桌凳总费用为y元，
则y=180a+220（200﹣a）=﹣40a+44000．
∵﹣40＜0，y随a的增大而减小，
∴当a=80时，总费用最低，此时200﹣a=120，
即总费用最低的方案是：购买A型80套，购买B型120套．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用以及一次函数的增减性，根据已知得出不等式组，求出a的值是解题关键．
22．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1、2、3、4．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机的摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．
①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．
②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，继而利用概率公式即可求得答案，注意此题属于不放回实验；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明、小强获胜的情况，继而利用概率公式求得其概率，比较概率，则可得到他们制定的游戏规则是否公平，注意此题属于放回实验．
解答： 解：①画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，
∴小明获胜的概率为：=；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，
∴P（小明获胜）==，P（小强获胜）=，
∵P（小明获胜）≠P（小强获胜），
∴他们制定的游戏规则不公平．
点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23． 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长．
考点： 切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出∠1=∠2，再由OA=OC，利用等边对等角得到∠2=∠3，等量代换可得出∠1=∠3，即AC为角平分线；
（2）法1：由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在直角三角形ABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，进而得出半径OE的长，由∠EAO为60°，及OE=OA，得到三角形AEO为等边三角形，可得出AE=OA=OE，即可确定出AE的长；
法2：连接EC，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ADC中，由CD及tan30°，利用锐角三角函数定义求出AD的长，由∠DEC为圆内接四边形ABCE的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到∠DEC=∠B，由∠B的度数求出∠DEC的度数为60°，在直角三角形DEC中，由tan60°及DC的长，求出DE的长，最后由AD﹣ED即可求出AE的长．
解答： （1）证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
则AC平分∠DAB；
（2）解：
法1：如图2，连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2，∠1=30°，
∴AC=2CD=4，
在Rt△ABC中，AC=4，∠CAB=30°，
∴AB===8，
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=OA=AB=4；
法2：如图3，连接CE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2，
∴AD===6，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
又∵∠DEC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，CD=2，
∴DE===2，
∴AE=AD﹣DE=4．
点评： 此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．
24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
考点： 抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题．
专题： 计算题．
分析： （1）由OA与OC的长确定出A与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；
（2）连接AD，与抛物线对称轴于点P，P为所求的点，设直线AD解析式为y=mx+n，把A与D坐标代入求出m与n的值，确定出直线AD解析式，求出抛物线对称轴确定出P横坐标，将P横坐标代入求出y的值，即可确定出P坐标．
解答： 解：（1）∵OA=2，OC=3，
∴A（﹣2，0），C（0，3），
代入抛物线解析式得：，
解得：b=，c=3，
则抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点，
设直线AD解析式为y=mx+n，
把A（﹣2，0），D（2，2）代入得：，
解得：m=，n=1，
∴直线AD解析式为y=x+1，
对称轴为直线x=，
当x=时，y=，
则P坐标为（，）．
点评： 此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数，一次函数解析式，以及对称轴﹣最短线路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB= 8﹣2t ，PD= t ．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）根据BC=8，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动可直接得出QB的长，再根据∠C=90°，PD∥BC可知PD⊥AC，故=，由此可用t表示出PD的长；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，再由PD∥BC得出APD∽ACB，可用t表示出AD及BD的长，再由BQ∥DP可知当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=t，解得t=．故可得出DP≠BD，即四边形PDBQ不能为菱形；设点Q的速度为每秒v个单位长度．则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t．要使四边形PDBQ是菱形，则PD=BD=PQ．再分PD=BD，PD=BQ两种情况即可得出结论．
解答： 解：（1）∵BC=8，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，
∴QB=8﹣2t，AP=2t；
∵∠C=90°，PD∥BC，
∴PD⊥AC，
∴=，即=，即PD=t．
故答案为：8﹣2t，t；
（2）不存在．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8．
∴AB=10．
∵PD∥BC，
∴APD∽ACB，
∴=，即=，
∴AD=t．
∴BD=AB﹣AD=10﹣t．
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=t，解得t=．
当t=时，DP=×=，BD=10﹣×=6．
∴DP≠BD．
∴四边形PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度．
则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t．
要使四边形PDBQ是菱形，则PD=BD=PQ．
当PD=BD，即t=10﹣t．解得t=．
当PD=BQ，t=时，即×=8﹣v，解得v=．
∴当点Q的速度为每秒个单位时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．
点评： 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，在解答（3）时要分PD=BD，PD=BQ两种情况进行讨论，此题难度较大．
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