数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线教学设计

3.3   抛物线

【题组一 抛物线的定义】

1．(2020·全国高二课时练习)已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为(  )

A．3 B．4 C． D．

【答案】A

【解析】抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，

所以过焦点作直线的垂线，

则该点到直线的距离为最小值，如图所示；

由，直线，所以，故选A.

2．(2020·全国高二课时练习)若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于(     )

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】由题意，3x0=x0+，∴x0=∴ ∵p＞0，∴p=2.故选D．

3．(2020·昆明市官渡区第一中学高二期中(文))已知抛物线上点(在第一象限)到焦点距离为5，则点坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，

因为点到焦点距离为5即,

根据抛物线定义：，

解得：，

代入抛物线方程，

得即

故选：C

4．(2020·广东佛山.高二期末)已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】抛物线焦点，准线方程为，

设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.故选:C

5．(2020·定远县民族学校高二月考(理))已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，如图，

由抛物线的几何意义，可知，所以，

所以，故选D．

6．(2020·沙坪坝.重庆八中高二月考)若抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是(    )

A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2

【答案】D

【解析】∵设P为抛物线的任意一点，

则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，

显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．

∴，即p＞2．

故选：D．

7．(2019·河南濮阳.高二月考(文))若点为抛物线上的动点，为的焦点，则的最小值为(  )

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】由y＝2x2，得，∴2p，则，

由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为．故选D．

【题组二 抛物线的标准方程】

1．(2020·全国高二课时练习)已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是(  )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】作，垂足为点D．

由题意得点在抛物线上，则得．①

由抛物线的性质，可知，，

因为，所以．

所以，解得：．②．

由①②，解得：(舍去)或．

故抛物线C的方程是．

故选C．

2．(2020·定远县育才学校高二月考(文))设斜率为2的直线过抛物线 的焦点F，且和y轴交于点A．若为坐标原点)的面积为，则抛物线的方程为(   )

A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝±4x D．y2＝±8x

【答案】D

【解析】的焦点是，直线的方程为，令得，所以由的面积为得，，故选.

3．(2020·天津和平.耀华中学高二期末)设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，

设点，

由得，

即……①，

又因为,

所以,

所以，

所以……②，

由①②可解得，

在中，，

，

所以，

所以,

解得或(舍去)，

故选：C

4．(2018·河南洛阳.高二一模(文))已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则的值为(   )

A．4 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】依题意F点的坐标为(，0)，设M在准线上的射影为K
由抛物线的定义知|MF|=|MK|，

则|KN|：|KM|=2：1，，得p=2，选C.

5．(2019·黑龙江香坊.哈尔滨市第六中学校高二期中(文))已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.

【答案】2    2   

【解析】点代入抛物线方程得：，解得：；

抛物线方程为：，准线方程为：，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：

故答案为2,2

6．(2020·全国高二课时练习)已知抛物线的焦点为，准线为．若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为____．

【答案】

【解析】如图所示，设，

过点作于点，

由抛物线的定义知，，，；

在中，，，

从而；

又，所以，

即，所以；

在中，，，

所以，

所以抛物线的标准方程为．

故答案为．

7．(2020·四川省广元市川师大万达中学高二期中)已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_____.

【答案】2；

【解析】抛物线y2=2px(p＞0)的准线方程为x=﹣，

因为抛物线y2=2px(p＞0)的准线与圆(x﹣3)2+y2=16相切，

所以3+=4，解得p=2．

故答案为2

【题组三 直线与抛物线的位置关系】

1．(2018·湖南衡阳市八中高二期中(文))过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有( )

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条

2．(2020·四川南充.高二期末(文))已知过点M(1，0)的直线AB与抛物线y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为______．

【答案】2x+y-2=0

【解析】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+1，代入y2=2x得，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2=-2，y1+y2=2t，

所以，∴，解得，

∴直线AB的方程为：x=+1，即2x+y-2=0．故答案为2x+y-2=0．

3．(2020·四川阆中中学高二月考(文))直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.

【答案】

【解析】如图，直线过定点，，

而抛物线的焦点为，，

弦的中点到准线的距离为，

则弦的中点到直线的距离等于．

故答案为：．

4．(2020·昆明市官渡区第一中学高二期末(理))设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．

【答案】

【解析】

抛物线方程为，

抛物线焦点为，准线为，

设，

因为在第一象限，所以直线的斜率，

设直线方程为，

代入抛物线方程消去，得，

，

过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，

设点的坐标为，可得，

，

，

得到，可得，

，，解之得，

所以，直线方程为，即,

，故答案为.

【题组四 弦长】

1．(2019·安徽滁州.高二期末(理))已知为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，则(    )

A． B．10 C． D．6

【答案】C

【解析】设，则，

又，∴，∴，，

∴，由，得，∴.

故选C．

2．(2020·江西赣州.高二月考(理))过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为(    )

A． B．4 C． D．

【答案】C

【解析】抛物线的焦点弦公式为：，

由抛物线方程可得：，则弦的长为.本题选择C选项.

3．(2020·河南淇滨。鹤壁高中高二月考(文))过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为(   )

A．10 B．8 C．6 D．4

【答案】B

【解析】根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B.

4．(2019·遵义市南白中学(理))已知过抛物线焦点的直线交其于两点，为坐标原点．若，则的面积为_________.

【答案】

【解析】设直线AB的倾斜角为θ(0＜θ＜π)，

∵|AF|＝3，∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3，

∴2+3cosθ＝3，即cosθ，则sinθ．

∵BF＝2+ BF cos(π﹣θ)

∴BF

∴△AOB的面积为S．

故答案为：．

5．(2020·威远中学校高二月考(文))过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则的弦长为           .

【答案】

【解析】这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程，然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于抛物线的焦点是，所以直线方程是，联立消得，所以，故答案应填.

6(2018·民勤县第一中学高二期末(文))过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_________.

【答案】

【解析】设P，Q，则，过抛物线y2=4x的焦点(1，0)，倾斜角为的直线为x-y-1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：，即，∴，∴∴

【题组五 定点定值】

1.(2019·山西太行中学高二月考(理))已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点．当直线与轴垂直时，．

(1)求抛物线的方程；

(2)设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，，的斜率成等差数列，求点的坐标．

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)因为，在抛物线方程中，令，可得．

于是当直线与轴垂直时，，解得．

所以抛物线的方程为．

(2)因为抛物线的准线方程为，所以．

设直线的方程为，

联立消去，得．

设，，，，则，．

若点，满足条件，则，

即，

因为点，，均在抛物线上，所以．

代入化简可得，

将，代入，解得．

将代入抛物线方程，可得．

于是点为满足题意的点．

2．(2019·安徽六安一中高二月考(文))已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.

【答案】(1);(2)证明见解析

【解析】(1)由题意得,,解得,

因为点在抛物线上,则,解得,

又,所以,即拋物线的标准方程为.

(2)设,,

因为,所以,即得,

因为点、在抛物线上,所以,,

代入得,因为,则,

设直线的方程为,联立,得,

则,所以,

所以直线的方程为，过定点.

3．(2019·黄石市教育科学研究院高二期末(理))已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.

(1)求p的值;

(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,

又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.

(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.

当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),

则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.

当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.

设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).

联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,

所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.

综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.

4．(2018·湖南天心.长郡中学高二开学考试(理))在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，

(Ⅰ)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)存在

【解析】

【分析】(Ⅰ)由题设可得，，或，.

∵，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为

，即.

故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为

，即.

故所求切线方程为或.

(Ⅱ)存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.

将代入C得方程整理得.

∴.

∴==.

当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.

5(2020·定远县育才学校高二月考(文))已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.

(1)求的方程； 

(2)若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.

【答案】(1)或； (2)证明见解析．

【解析】(1)当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即.当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即，

综上可知：的方程为或.

(2)因为点在上，所以曲线的方程为.

设点，

直线，显然存在，联立方程有：.,

即即.

直线即直线过定点.

6．(2020·长春兴华高中高二期末(文))已知抛物线C；过点．

求抛物线C的方程；

过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．

【答案】(1)．(2)见解析．

【解析】(1)由题意得，所以抛物线方程为．

(2)设，，直线MN的方程为，

代入抛物线方程得．

所以，，．

所以,

所以，是定值．