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    数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线教学设计

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    这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线教学设计,文件包含精品高中数学新同步精讲讲练33抛物线精练选择性必修第一册学生版docx、精品高中数学新同步精讲讲练33抛物线精练选择性必修第一册教师版含解析docx、精品高中数学新同步精讲讲练33抛物线精讲选择性必修第一册学生版docx、精品高中数学新同步精讲讲练33抛物线精讲选择性必修第一册教师版含解析docx等4份教案配套教学资源,其中教案共42页, 欢迎下载使用。

    3.3   抛物线

    【题组一 抛物线的定义】

    1(2020·全国高二课时练习)已知抛物线上一点P到准线的距离为,到直线:,则的最小值为(  )

    A3 B4 C D

    【答案】A

    【解析】抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离,

    所以过焦点作直线的垂线,

    则该点到直线的距离为最小值,如图所示;

    ,直线,所以,故选A.

    2(2020·全国高二课时练习)若抛物线上的点到其焦点的距离是轴距离的倍,则等于(     )

    A B1 C D2

    【答案】D

    【解析】由题意,3x0=x0+x0= p0p=2.故选D

    3(2020·昆明市官渡区第一中学高二期中())已知抛物线上点(在第一象限)到焦点距离为5,则点坐标为(    )

    A B C D

    【答案】C

    【解析】设

    因为点到焦点距离为5,

    根据抛物线定义:

    解得:

    代入抛物线方程

    故选:C

    4(2020·广东佛山.高二期末)已知抛物线上的点到其焦点的距离为2,则的横坐标是(    )

    A B C D

    【答案】C

    【解析】抛物线焦点,准线方程为

    设点的横坐标为,根据抛物线的定义,.故选:C

    5(2020·定远县民族学校高二月考())已知抛物线的焦点为上一点,且,则(   )

    A B C D

    【答案】D

    【解析】,如图,

    由抛物线的几何意义,可知,所以

    所以,故选D

    6(2020·沙坪坝.重庆八中高二月考)若抛物线y22px(p0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取值范围是(    )

    Ap1 Bp1 Cp2 Dp2

    【答案】D

    【解析】P为抛物线的任意一点,

    P到焦点的距离等于到准线:x的距离,

    显然当P为抛物线的顶点时,P到准线的距离取得最小值

    ,即p2

    故选:D

    7(2019·河南濮阳.高二月考())若点为抛物线上的动点,的焦点,则的最小值为(  )

    A1 B C D

    【答案】D

    【解析】由y2x2,得2p,则

    由抛物线上所有点中,顶点到焦点距离最小可得,|PF|的最小值为.故选D

    【题组二 抛物线的标准方程】

    1(2020·全国高二课时练习)已知抛物线的焦点为F,点是抛物线C上一点,以点M为圆心的圆与直线交于EG两点,若,则抛物线C的方程是(  )

    A B

    C D

    【答案】C

    【解析】作,垂足为点D

    由题意得点在抛物线上,则

    由抛物线的性质,可知,

    因为,所以

    所以,解得:

    ①②,解得:(舍去)

    故抛物线C的方程是

    故选C

    2(2020·定远县育才学校高二月考())设斜率为2的直线过抛物线 的焦点F,且和y轴交于点A.若为坐标原点)的面积为,则抛物线的方程为(   )

    Ay24x By28x Cy2±4x Dy2±8x

    【答案】D

    【解析】的焦点是,直线的方程为,令,所以由的面积为得,,故选.

    3(2020·天津和平.耀华中学高二期末)设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过的垂线,垂足为.,且三角形的面积为,的值为(    )

    A B C D

    【答案】C

    【解析】过点B交直线AC于点M,交轴于点N

    设点

    ……

    又因为,

    所以,

    所以

    所以……

    ①②可解得

    中,

    所以

    所以,

    解得(舍去)

    故选:C

    4(2018·河南洛阳.高二一模())已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线交于点,与抛物线准线相交于,若,则的值为(   )

    A4 B1 C2 D3

    【答案】C

    【解析】依题意F点的坐标为(0),设M在准线上的射影为K
    由抛物线的定义知|MF|=|MK|

    |KN||KM|=21p=2,选C.

    5(2019·黑龙江香坊.哈尔滨市第六中学校高二期中())已知点在抛物线上,则______;点到抛物线的焦点的距离是______.

    【答案】2    2   

    【解析】点代入抛物线方程得:,解得:

    抛物线方程为:,准线方程为:,点M到焦点的距离等于点M到准线的距离:

    故答案为2,2

    6(2020·全国高二课时练习)已知抛物线的焦点为,准线为.若位于轴上方的动点在准线上,线段与抛物线相交于点,且,则抛物线的标准方程为____

    【答案】

    【解析】如图所示,设

    过点于点

    由抛物线的定义知,

    中,

    从而

    ,所以

    ,所以

    中,

    所以

    所以抛物线的标准方程为

    故答案为

    7(2020·四川省广元市川师大万达中学高二期中)已知抛物线的准线与圆相切,则的值为_____.

    【答案】2

    【解析】抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=

    因为抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x3)2+y2=16相切,

    所以3+=4,解得p=2

    故答案为2

    【题组三 直线与抛物线的位置关系】

    1(2018·湖南衡阳市八中高二期中())过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有( )

    A1 B2 C3 D4

    【答案】C

    【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3

    2(2020·四川南充.高二期末())已知过点M(10)的直线AB与抛物线y2=2x交于AB两点,O为坐标原点,若OAOB的斜率之和为1,则直线AB方程为______

    【答案】2x+y-2=0

    【解析】依题意可设直线AB的方程为:x=ty+1,代入y2=2x

    A(x1y1)B(x2y2),则y1y2=-2y1+y2=2t

    所以,解得

    直线AB的方程为:x=+1,即2x+y-2=0.故答案为2x+y-2=0

    3(2020·四川阆中中学高二月考())直线与抛物线交于两点,若,则弦的中点到直线的距离等于________.

    【答案】

    【解析】如图,直线定点

    而抛物线的焦点

    的中点到准线的距离为

    则弦的中点到直线的距离等于

    故答案为:

    4(2020·昆明市官渡区第一中学高二期末())设抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于两点,过的中点轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点,若,则直线的方程为__________

    【答案】

    【解析】

    抛物线方程为

    抛物线焦点为,准线为

    因为在第一象限,所以直线的斜率

    设直线方程为

    代入抛物线方程消去,得

    的中点作准线的垂线与抛物线交于点

    点的坐标为,可得

    得到,可得

    ,解之得

    所以,直线方程为,即,

    ,故答案为.

    【题组四 弦长】

    1(2019·安徽滁州.高二期末())已知为抛物线上的不同两点,为抛物线的焦点,若,则(    )

    A B10 C D6

    【答案】C

    【解析】设,则

    ,由,得.

    故选C

    2(2020·江西赣州.高二月考())过抛物线的焦点的直线交抛物线两点,且,则弦的长为(    )

    A B4 C D

    【答案】C

    【解析】抛物线的焦点弦公式为:

    由抛物线方程可得:,则弦的长为.本题选择C选项.

    3(2020·河南淇滨。鹤壁高中高二月考())过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若,则的值为(   )

    A10 B8 C6 D4

    【答案】B

    【解析】根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B.

    4(2019·遵义市南白中学())已知过抛物线焦点的直线交其于两点,为坐标原点.若,则的面积为_________.

    【答案】

    【解析】设直线AB的倾斜角为θ(0θπ)

    |AF|3A到准线lx1的距离为3

    2+3cosθ3,即cosθ,则sinθ

    BF2+ BF cos(πθ)

    BF

    ∴△AOB的面积为S

    故答案为:

    5(2020·威远中学校高二月考())过抛物线的焦点作倾斜角为的弦,则的弦长为           .

    【答案】

    【解析】这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题,可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程,然后再将直线方程与抛物线方程联立,并结合韦达定理,即可求得结果.由于抛物线的焦点是,所以直线方程是,联立消,所以,故答案应填.

    6(2018·民勤县第一中学高二期末())过抛物线y2=4x的焦点,作倾斜角为的直线交抛物线于PQ两点,O为坐标原点,则POQ的面积为_________.

    【答案】

    【解析】设PQ,则,过抛物线y2=4x的焦点(10),倾斜角为的直线为x-y-1=0,即x=1+y,代入y2=4x得:,即

    【题组五 定点定值】

    1.(2019·山西太行中学高二月考())已知为抛物线的焦点,过的动直线交抛物线两点.当直线与轴垂直时,

    (1)求抛物线的方程;

    (2)设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点,抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列,求点的坐标.

    【答案】(1)(2)

    【解析】(1)因为,在抛物线方程中,令,可得

    于是当直线与轴垂直时,,解得

    所以抛物线的方程为

    (2)因为抛物线的准线方程为,所以

    设直线的方程为

    联立消去,得

    ,则

    若点满足条件,则

    因为点均在抛物线上,所以

    代入化简可得

    代入,解得

    代入抛物线方程,可得

    于是点为满足题意的点.

    2(2019·安徽六安一中高二月考())已知是抛物线的焦点,点在抛物线上,且.

    (1)求抛物线的标准方程;

    (2)是抛物线上的两个动点,且为坐标原点,求证:直线过定点.

    【答案】(1);(2)证明见解析

    【解析】(1)由题意得,,解得,

    因为点在抛物线,,解得,

    ,所以,即拋物线的标准方程为.

    (2),,

    因为,所以,即得,

    因为点在抛物线,所以,,

    代入得,因为,,

    设直线的方程为,联立,,

    ,所以,

    所以直线的方程为,过定点.

    3(2019·黄石市教育科学研究院高二期末())已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,M(x0,1)C,|MF|=.

    (1)p的值;

    (2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

    【答案】(1)(2)

    【解析】(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,x0+=x0,解得x0=2p,

    又点M(x0,1)C,所以2px0=1,解得x0=1,p=.

    (2)(1)M(1,1),C:y2=x.

    当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),

    则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.

    当直线l不垂直于x轴时,A(x1,y1),B(x2,y2),

    则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,kAM·kBM=·=.

    设直线l的斜率为k(显然k≠0k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).

    联立消去x,ky2-y-3k-1=0,

    所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,kAM·kBM===-.

    综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.

    4(2018·湖南天心.长郡中学高二开学考试())在直角坐标系中,曲线Cy=与直线交与M,N两点,

    ()k=0时,分别求C在点MN处的切线方程;

    ()y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.

    【答案】()()存在

    【解析】

    【分析】()由题设可得,或.

    ,故=处的导数值为C处的切线方程为

    ,即.

    =-处的导数值为-C处的切线方程为

    ,即.

    故所求切线方程为.

    ()存在符合题意的点,证明如下:

    P(0b)为复合题意得点,,直线PMPN的斜率分别为.

    代入C得方程整理得.

    .

    ==.

    时,有=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,

    OPM=OPN,所以符合题意.

    5(2020·定远县育才学校高二月考())已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点为抛物线上一点.

    (1)的方程; 

    (2)若点上,过的两弦,若,求证:直线过定点.

    【答案】(1) (2)证明见解析.

    【解析】(1)当焦点在时,设的方程为,代人点,即.当焦点在轴时,设的方程为,代人点,即

    综上可知:的方程为.

    (2)因为点上,所以曲线的方程为.

    设点

    直线,显然存在,联立方程有:.,

    .

    直线直线过定点.

    6(2020·长春兴华高中高二期末())已知抛物线C过点

    求抛物线C的方程;

    过点的直线与抛物线C交于MN两个不同的点均与点A不重合,设直线AMAN的斜率分别为,求证:为定值.

    【答案】(1)(2)见解析.

    【解析】(1)由题意得,所以抛物线方程为

    (2),直线MN的方程为

    代入抛物线方程得

    所以

    所以,

    所以是定值.

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