2021年湖北省武汉市新动力中考数学预测试卷（一）

这是一份2021年湖北省武汉市新动力中考数学预测试卷（一），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
2．（3分）袋子中装有2个黑球和1个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出2个球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球中有1个球是白球
B．摸出的2个球中至少有1个球是黑球
C．摸出的2个球都是黑球
D．摸出的2个球都是白球
3．（3分）如图是科学防控新冠肺炎病毒传染的宣传图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）计算（﹣2x2）4的结果是（ ）
A．8x6B．﹣8x8C．﹣16x8D．16x8
6．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）若点A（﹣2，y1），B（a，y2）都在反比例函数的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2B．﹣2＜a＜0C．a＜﹣2或a＞0D．a＜0
8．（3分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．根据图象判断下列点不在图象上的是（ ）
A．（60，50）B．（120，40）C．（180，30）D．（190，15）
9．（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝2，过点D作DC⊥BE于点C，则阴部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，点A，B是直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于点C，D．若AC＝BD，则3OD2﹣OC2的值为（ ）
A．5B．3C．4D．2
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝ ．
12．（3分）今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：°C）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数和中位数分别是 ．
13．（3分）分式方程的解是 ．
14．（3分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图，小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则信号发射塔PQ的高度为 米．（1.732，用四舍五入法把结果精确到0.1米）
15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m为常数），有下列四个结论：①当x＝m+a和x＝m﹣a时，对应的函数值相等；②当时，二次函数的图象与x轴有两个公共点；③若，点A（t，y1），B（t﹣1，y2）是二次函数图象上两点，则当t＞﹣1时，y1＜y2；④二次函数的图象不经过第四象限，其中正确的结论有 .（填序号）
16．（3分）如图1的四边形纸片ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，先将纸片沿着虚线AC，BD剪成四块，再将这四块小纸片拼成无缝隙、不重叠的两个矩形后，将小矩形放在大矩形里面（重叠部分无缝隙、小矩形无多余），剩下部分恰好是正方形，如图2，则tan∠ABD的值是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
18．（8分）如图，DE∥BC，∠DEF＝∠B，求证：∠A＝∠CEF．
19．（8分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”课程，为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试，测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格，将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图，根据计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数 名；
（2）扇形统计图中表示A级扇形圆心角a的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生900名，如果全部参加这次测过，求优秀的人数大约有多少人．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画（画图过程用虚线，画图结果用实线）：
（1）△ABC的周长为 ；
（2）如图1，点D，P分别是AB与竖格和横格线的交点、画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；
（3）在图1中画△ABC的角平分线BE；
（4）将边AB绕点B逆时针旋转∠ABC的度数得到线段BF，在图2中画出点F．
21．（8分）△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点D是劣弧AC上一点．
（1）如图1，连接CD并延长至点M，连接AD，BD，求证：DA平分∠BDM；
（2）如图2，若BD平分∠ABC交AC于点E，CD的延长线交过点A的⊙O的切线于点F，且AF＝2CE＝2，求⊙O的半径．
22．（10分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”；某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围．
23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为AB的中点，点F是线段CM上一动点，过点F作DE⊥CM分别交边CA，CB于点D，E．
（1）如图1，若DE＝CM，求证：BC＝2DC；
（2）如图2，若点F为CM的中点，求的值；
（3）如图3，若AC＝3，BC＝4，N为DE的中点，当点F从点C到点M运动过程中，直接写出MN的最小值．
24．（12分）已知抛物线C1：的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线C1上一点，并且∠DAB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）将抛物线C1平移到顶点在原点，记为抛物线物C2，如图2，点P是抛物线C2上不与原点重合的点，直线y＝kx+b与抛物线只有唯一公共点P，交y轴于点Q，过点Q的直线QS交抛物线于点R、S（R，S与点P不在同一象限），且，点T是PS中点，求证：RT∥y轴．
2021年湖北省武汉市新动力中考数学预测试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：A．
2．（3分）袋子中装有2个黑球和1个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出2个球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球中有1个球是白球
B．摸出的2个球中至少有1个球是黑球
C．摸出的2个球都是黑球
D．摸出的2个球都是白球
【分析】根据随机事件的具体意义进行判断即可．
【解答】解：袋子中装有2个黑球和1个白球，随机摸出2个球，根据抽屉原理可知，
随机摸出2个球，至少有1个黑球，
故选：B．
3．（3分）如图是科学防控新冠肺炎病毒传染的宣传图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：A．主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
B主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
C．主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意．
D．主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
故选：A．
5．（3分）计算（﹣2x2）4的结果是（ ）
A．8x6B．﹣8x8C．﹣16x8D．16x8
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣2x2）4＝（﹣2）4•（x2）4＝16x8．
故选：D．
6．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
∴P（两次都是白球）＝，
故选：A．
7．（3分）若点A（﹣2，y1），B（a，y2）都在反比例函数的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2B．﹣2＜a＜0C．a＜﹣2或a＞0D．a＜0
【分析】利用k2+1＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，分别分析即可得出答案．
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，
∵点A（﹣2，y1），B（a，y2）都在反比例函数的图象上，且y1＜y2，
∴点A（﹣2，y1）在第三象限，
∴a＞0或a＜﹣2，
故选：C．
8．（3分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．根据图象判断下列点不在图象上的是（ ）
A．（60，50）B．（120，40）C．（180，30）D．（190，15）
【分析】由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；运用待定系数法求出每段函数y关于x的函数再判断点是否满足函数关系式即可．
【解答】解：当0≤x≤150时，设y关于x的函数表达式y＝mx+n（m≠0），
把点（150，35），（0，60）代入，
，
解得
所以y＝﹣x+60（0≤x≤150时）；
当x＝60时，y＝﹣10+60＝50，故点（60，50）在图象上，故本选项不合题意；
当x＝120时，y＝﹣20+60＝40，故点（120，40）在图象上，故本选项不合题意；
当150≤x≤200时，设y关于x的函数表达式y＝kx+b（k≠0），
把点（150，35），（200，10）代入，
，
解得，
∴y＝﹣0.5x+110（150≤x≤200）；
当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，故（180，30）不在图象上，故本选项符合题意；
D、当x＝190时，y＝﹣0.5×190+110＝15，故点（190，15）在图象上，故本选项不合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝2，过点D作DC⊥BE于点C，则阴部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OA，易求得圆O的半径为2，扇形的圆心角的度数，然后根据S阴影＝S△AOB+S△OAD+S扇形ODE﹣S△BCD即可得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴⊙O的半径为2，
∵AD∥OB，
∴∠DAO＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠AOD＝60°，
∵∠AOB＝∠AOD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∵DC⊥BE于点C，
∴CD＝OD＝，OC＝OD＝1，
∴BC＝2+1＝3，
∴S阴影＝S△AOB+S△OAD+S扇形ODE﹣S△BCD
＝2××2×+﹣3×
＝π+，
故选：C．
10．（3分）如图，点A，B是直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于点C，D．若AC＝BD，则3OD2﹣OC2的值为（ ）
A．5B．3C．4D．2
【分析】延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y＝x上的两点，A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．根据AC＝BD得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
【解答】解：延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y＝x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．
∵C、D两点在交双曲线y＝（x＞0）上，则CE＝，DF＝．
∴BD＝BF﹣DF＝b﹣，AC＝﹣a．
又∵AC＝BD，
∴﹣a＝（b﹣），
两边平方得：a2+﹣2＝3（b2+﹣2），即a2+＝3（b2+）﹣4，
在直角△ODF中，OD2＝OF2+DF2＝b2+，同理OC2＝a2+，
∴3OD2﹣OC2＝3（b2+）﹣（a2+）＝4．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝ 3 ．
【分析】先算出（﹣3）2 的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
【解答】解：＝＝3，
故答案为：3．
12．（3分）今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：°C）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数和中位数分别是 36.5℃，36.5℃ ．
【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为36.3，36.3，36.5，36.5，36.5，36.7，36.8，
这组数据中36.5出现次数最多，有3次，
所以这组数据的众数为36.5℃，中位数为36.5℃，
故答案为：36.5℃，36.5℃．
13．（3分）分式方程的解是 x＝ ．
【分析】将分式方程化为整式方程，解整式方程，最后检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得：2＝x﹣1﹣3（x﹣2），
解得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根．
故答案为：x＝．
14．（3分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图，小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则信号发射塔PQ的高度为 94.6 米．（1.732，用四舍五入法把结果精确到0.1米）
【分析】延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB＝AC﹣BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．
【解答】解：设PC为x米，
在直角△APC中，∠PAC＝45°，
则AC＝PC＝x米；
∵∠PBC＝60°
∴∠BPC＝30°
在直角△BPC中，BC＝PC＝x米，
∵AB＝AC﹣BC＝60米，
则x﹣x＝60，
解得：x＝90+30，
则BC＝（30+30）米．
在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（30+30）＝（30+10）米．
∴PQ＝PC﹣QC＝90+30﹣（30+10）＝60+20≈94.6（米）．
答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米．
15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m为常数），有下列四个结论：①当x＝m+a和x＝m﹣a时，对应的函数值相等；②当时，二次函数的图象与x轴有两个公共点；③若，点A（t，y1），B（t﹣1，y2）是二次函数图象上两点，则当t＞﹣1时，y1＜y2；④二次函数的图象不经过第四象限，其中正确的结论有 ①④ .（填序号）
【分析】根据二次函数图像性质分别讨论各个结论得出结果即可．
【解答】解：y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1，
∴二次函数的顶点坐标为（m，2m+1），对称轴为x＝m，
①当x＝m+a和x＝m﹣a时，正好关于对称轴对称，
∴①正确；
②当时，顶点纵坐标2m+1＞0，
又∵抛物线开口方向向上，
∴二次函数的图象与x轴没有公共点，
故②不正确；
③若，点A（t，y1），B（t﹣1，y2）是二次函数图象上两点，
由于图象开口方向向上，故离对称轴越远函数值越大，
当y1＜y2时，B点离对称轴远，
即（t+）2＜（t﹣1+）2，
∴t＞﹣1不正确；
④当x＝0时，y＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，
故函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴，
当m＜0时，顶点位于原点的左侧，
故图象不过第四象限，
当m＝0时，函数为y＝x2+1≥1，
此时函数不过第四象限，
当m＞0时，顶点位于x轴上侧，
此时函数图象也不过第四象限，
综上，二次函数的图象不经过第四象限正确，
故答案为：①④．
16．（3分）如图1的四边形纸片ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，先将纸片沿着虚线AC，BD剪成四块，再将这四块小纸片拼成无缝隙、不重叠的两个矩形后，将小矩形放在大矩形里面（重叠部分无缝隙、小矩形无多余），剩下部分恰好是正方形，如图2，则tan∠ABD的值是 ．
【分析】由题意，CB＝CD，AB＝AD，AC垂直平分线段BD，设AC交BD于O．设OB＝OD＝a，OC＝b，则AO＝a+b，利用相似三角形的性质求出a，b的关系，可得结论．
【解答】解：由题意，CB＝CD，AB＝AD，AC垂直平分线段BD，设AC交BD于O．
设OB＝OD＝a，OC＝b，则AO＝a+b，
∵∠ABC＝∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠CBO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBO，
∴△AOB∽△BOC，
∴OB2＝AO•OC，
∴a2＝b（a+b），
∴a2﹣ab﹣b2＝0，
∴a＝b或a＝b（舍弃），
∴tan∠ABD＝＝＝1+＝1+＝，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得 x≥2 ；
（2）解不等式②，得 x≥3 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 x≥3 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得x≥2；
（2）解不等式②，得x≥3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（4）原不等式组的解集为x≥3，
故答案为：x≥2，x≥3，x≥3．
18．（8分）如图，DE∥BC，∠DEF＝∠B，求证：∠A＝∠CEF．
【分析】根据平行线的性质得出∠EFC＝∠DEF，求出∠B＝∠EFC，根据平行线的判定得出AB∥EF，根据平行线的性质得出即可．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠EFC，
又∵∠DEF＝∠B．
∴∠B＝∠EFC，
∴AB∥EF，
∴∠A＝∠CEF．
19．（8分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”课程，为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试，测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格，将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图，根据计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数 40 名；
（2）扇形统计图中表示A级扇形圆心角a的度数是 54° ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生900名，如果全部参加这次测过，求优秀的人数大约有多少人．
【分析】（1）从两个统计图中可得“B级”的频数为12人，占调查人数的30%，可求出调查人数，
（2）求出“A级”所占的百分比即可；求出“C级”人数即可补全条形统计图；
（3）求出“A级”即优秀所占的百分比即可．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）360°×＝54°，40×35%＝14（人），
故答案为：54°，补全条形统计图如图所示：
（3）900×＝135（人），
答：该校八年级900名学生中优秀的大约有135人．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画（画图过程用虚线，画图结果用实线）：
（1）△ABC的周长为 9+ ；
（2）如图1，点D，P分别是AB与竖格和横格线的交点、画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；
（3）在图1中画△ABC的角平分线BE；
（4）将边AB绕点B逆时针旋转∠ABC的度数得到线段BF，在图2中画出点F．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，AC，可得结论．
（2）连接CD交网格线于Q，点Q即为所求作．
（3）取格点E，作射线BE即可．
（4）取格点P，作射线CP，取格点M，N连接MN交CP于C′，作射线BC′，取格点Q，K，作直线QK交射线BC′于点F，点F即为所求作．
【解答】解：（1）∵AB＝＝5，AC＝＝，BC＝4，
∴△ABC的周长＝9+，
故答案为：9+．
（2）如图1中，点Q即为所求作．
（3）如图2中，射线BE即为所求作．
（4）如图2中，点F即为所求作．
21．（8分）△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点D是劣弧AC上一点．
（1）如图1，连接CD并延长至点M，连接AD，BD，求证：DA平分∠BDM；
（2）如图2，若BD平分∠ABC交AC于点E，CD的延长线交过点A的⊙O的切线于点F，且AF＝2CE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和同弧所对的圆周角相等可得结论；
（2）连接OC，OB，AO，并延长AO交BC于点N可得点A，O都在BC的垂直平分线上，根据“AAS”可得△ADE≌△ADF，最后利用相似三角形和勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ADM+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADM＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADM＝∠ADB，即DA平分∠BDM．
（2）连接OC，OB，AO，并延长AO交BC于点N．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴点A，O都在BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，BN＝CN，
∵AF是⊙的切线，
∴AO⊥AF，
∴AF∥BC，
∴∠ACB＝∠CAF，
∵∠CAD＝∠CBD＝∠ABC＝CAF，即∠CAD＝∠FAD，
又AD＝AD，∠ADF＝∠ADB，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF＝2，
∴CA＝3，
∵∠CBE＝∠ABD＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，
∴△BCE∽△CAF，
∴，即，
∴BC＝，CN＝，AN＝，
设⊙O的半径是r，
则r2＝（）2+（﹣r）2，
解得：r＝．
22．（10分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”；某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式；
（2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润；
②根据题意，可以得到差价利润和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，
即y与x的函数关系式是y＝﹣100x+2400；
（2）①设总利润为w元，
w＝（x﹣10）（﹣100x+2400）+（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∵12≤x＜24，
∴当x＝19时，w取得最大值，此时w＝7300，
答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是7300元；
②线下月利润与线上月利润的差为W元，
W＝（x﹣10）（﹣100x+2400）﹣（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣15）2+3300，
令W＝800，则800＝﹣100（x﹣15）2+3300，
解得x1＝10，x2＝20，
∴当10≤x≤20时，W的值不小于800，
又∵12≤x＜24，
∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是12≤x≤20．
23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为AB的中点，点F是线段CM上一动点，过点F作DE⊥CM分别交边CA，CB于点D，E．
（1）如图1，若DE＝CM，求证：BC＝2DC；
（2）如图2，若点F为CM的中点，求的值；
（3）如图3，若AC＝3，BC＝4，N为DE的中点，当点F从点C到点M运动过程中，直接写出MN的最小值．
【分析】（1）通过证△CDE∽△CBA，得出＝，再根据DE＝AB即可得证；
（2）根据△CDE∽△CBA，得出＝＝，再由△CDE面积得CD•CE＝CF•DE，经过代换比例式中的线段最后得出＝﹣2，再根据CF＝AB得出最后结果；
（3）由（2）中得出的线段关系可以得出用DE的代数式表示的MN，最后根据二次函数性质求出最值即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥CM，
∴∠CFE＝90°，
∴∠FCE+∠CEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CDE+∠CEF＝90°，
∴∠FCE＝∠CDE，
∵M是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CM＝AB＝MA＝MB，
∴∠B＝∠BCM，即∠B＝∠FCE，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
∵DE＝CM，
∴DE＝AB，
∴＝＝＝，
即BC＝2CD；
（2）由（1）知△CDE∽△CBA，
∴＝＝，①
∴＝+＝﹣1+﹣1＝﹣2，
由△CDE面积得CD•CE＝CF•DE，
∴＝﹣2＝﹣2，②
由①得CD＝，CE＝，
将上式代入②得，
∴＝﹣2＝﹣2＝﹣2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴＝﹣2＝﹣2＝﹣2，
∵CM＝AB，F是CM的中点，
∴CF＝CM＝AB，
∴＝﹣2＝4﹣2＝2；
（3）连接CN，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵N为直角三角形DCE斜边DE的中点，
∴CD＝DE，
同理CM＝AB＝，①
由（2）知CD＝＝DE，CE＝＝DE，
由△CDE面积得CD•CE＝CF•DE，
∴CF＝＝DE，②
又∵CN＝CD＝DE，③
在Rt△CNF中，NF2+CF2＝CN2，
在Rt△MNF中，MN2＝NF2+MF2＝NF2+（CM﹣CF）2＝NF2+CM2+CF2﹣2CM•CF＝CN2+CM2﹣2CM•CF，
将①②③代入上式得，MN2＝DE2﹣DE+＝（DE﹣）2+，
即MN＝，
当DE＝时，MN有最小值即＝．
24．（12分）已知抛物线C1：的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线C1上一点，并且∠DAB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）将抛物线C1平移到顶点在原点，记为抛物线物C2，如图2，点P是抛物线C2上不与原点重合的点，直线y＝kx+b与抛物线只有唯一公共点P，交y轴于点Q，过点Q的直线QS交抛物线于点R、S（R，S与点P不在同一象限），且，点T是PS中点，求证：RT∥y轴．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出tan∠OEC＝＝＝tan∠DAB，当点D在x轴上方时，求出直线AD的表达式为y＝（x+1），进而求解；当点D在x轴下方时，同理可解；
（3）求出点P的坐标为（k，k2），则设QS的表达式为y＝mx﹣k2，利用，则，即SG＝4RH，即xS＝4xR，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣②；
（2）在OB上取一点E，连接CE，使BE＝CE，
则∠OEC＝2∠ABC＝∠DAB，
设点E的坐标为（x，0），则BE＝3﹣x＝CE，
而OC＝，
在Rt△OCE中，CE2＝OC2+OE2，即x2＝（3﹣x）2+（）2，解得x＝，
则tan∠OEC＝＝＝tan∠DAB，
当点D在x轴上方时，
则AD∥CE，故直线AD的表达式为y＝（x+1）②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点D的坐标为（，）；
当点D在x轴下方时，
同理可得，点D的坐标为（，﹣）；
综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）；
（3）平移后抛物线的表达式为y＝x2③，
设PQ的表达式为y＝kx+b④，
联立③④并整理得：x2＝kx+b，
则△＝k2﹣4××（﹣b）＝0，解得b＝﹣k2，
当b＝﹣k2时，则x2＝kx﹣k2，
解得x＝k，即点P的坐标为（k，k2），
则点Q的坐标为（0，﹣k2），
设QS的表达式为y＝mx﹣k2⑤，
联立③⑤得：mx﹣k2＝x2，
则xR+xS＝2m，xRxS＝k2，
分别过点R、S向y轴作垂线，垂足分别为H、G，
则SG∥RH，则△QRH∽△QSG，
∵，则，
即SG＝4RH，即xS＝4xR，
而xR+xS＝2m，xRxS＝k2，
解得xR＝﹣k，xS＝﹣2k，
则xT＝（xS+xP）＝（k﹣2k）＝﹣k＝xR，
∴RT∥y轴．
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800