2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（二）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（二），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（二）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程（3x﹣1）2＝5x化简成一般式后，二次项系数为9，其一次项系数为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣11 D．11
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
4．（3分）已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝﹣2+16 B．（x﹣4）2＝2+16
C．（x﹣2）2＝﹣2+4 D．（x﹣2）2＝2+4
6．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2向右平移2个单位得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2 B．y＝﹣（x﹣4）2
C．y＝﹣（x﹣2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
7．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，连接EC，若EC∥AB，则∠CAD的度数为（　　）

A．15° B．25° C．35° D．40°
8．（3分）小明要给刚结识的朋友小林打电话，他只记住了电话号码的前5位的顺序，后3位是3，6，8三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在⊙€O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（　　）


A．1 B．﹣3 C．5﹣ D．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点A（a，3）与点B（7，b）关于原点对称，则a+b＝　 　．
12．（3分）如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是　 　．

13．（3分）某村种的水稻前年平均每公顷产7 200kg，今年平均每公顷产8 450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为　 　．
14．（3分）如图1，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则图象最高点的坐标是 　 　．

15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝12，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，BE⊥直线OD于点E．当点D从点B沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为　 　．

16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③关于x的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0有两根m，n，m＜n，则﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的是 　 　（填序号即可）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（8分）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，CQ，求证：AP＝CQ．

19．（8分）小明有两双不同的运动鞋放在一起，上学时间到了，他准备穿鞋上学．
（1）他随手拿出一只，恰好是右脚鞋的概率为　 　；
（2）他随手拿出两只，请用画树状图或列表法求恰好为一双的概率．
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，点E是矩形ABCD边AD的中点，过点E画矩形的一条对称轴交BC于F；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E是AB的中点，在BC上找一点G，使得AG⊥DE；
（3）如图3，在正六边形ABCDEF中，点G是AF上一点，在CD上找一点H，使得EH＝BG；
（4）如图4，在⊙O中，D是劣弧的中点，点B是优弧上一点，在⊙O上找一点I，使得BI∥AC．

21．（8分）如图，BD是⊙O的直径，直线AC切⊙O于点C，DF⊥AC于点F，连接CD、AO、AB，且CD∥AO．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝BD＝10，求线段DF的长度．

22．（10分）如图，用一段长30的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中间也用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长12m．
（1）设AB＝xm，矩形ABCD的面积为ym2，则y关于x的函数关系式为 　 　，x的取值范围为 　 　．
（2）求矩形ABCD面积的最大值，并求出此时BC的长；
（3）在（2）的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲种农作物的年收入W1（单位：元）和种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W1＝60S；乙种农作物的年收入W2（单位：元）和种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W2＝﹣S2+120S，若两种农作物的年收入之和不少于5184元，求BF的取值范围．

23．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．

24．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在线段BC上．
①把点D绕点A逆时针方向旋转90°，恰好落在y轴正半轴的点E处，求点E的坐标；
②若点M在抛物线上，△ADM是以AD为斜边的等腰直角三角形，求点D的坐标．
（3）如图2，若点P在第四象限的抛物线上，过A，B，P作⊙O1，作PQ⊥x轴于Q，交⊙O于点H，求HQ的值．

2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程（3x﹣1）2＝5x化简成一般式后，二次项系数为9，其一次项系数为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣11 D．11
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：一元二次方程（3x﹣1）2＝5x的一般形式9x2﹣11x+1＝0，
其中二次项系数9，一次项系数﹣11，常数项是1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
【分析】根据白色的只有两个，不可能摸出三个进行解答．
【解答】解：A．摸出的是3个白球是不可能事件；
B．摸出的是3个黑球是随机事件；
C．摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；
D．摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【解答】解：∵d＝3＜半径＝4，
∴直线与圆相交，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝﹣2+16 B．（x﹣4）2＝2+16
C．（x﹣2）2＝﹣2+4 D．（x﹣2）2＝2+4
【分析】先移项，再配方，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，
移项，得x2﹣4x＝2，
配方，得x2﹣4x+4＝2+4，
（x﹣2）2＝2+4，
故选：D．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
6．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2向右平移2个单位得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2 B．y＝﹣（x﹣4）2
C．y＝﹣（x﹣2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
【分析】直接根据函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2向右平移2个单位得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2﹣2）2，即y＝﹣（x﹣4）2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解答此题的关键．
7．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，连接EC，若EC∥AB，则∠CAD的度数为（　　）

A．15° B．25° C．35° D．40°
【分析】由旋转的性质可得AC＝AE，∠EAD＝∠CAB＝65°，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，∠EAD＝∠CAB＝65°，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵EC∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB＝65°，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠EAC＝50°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠CAE＝15°，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）小明要给刚结识的朋友小林打电话，他只记住了电话号码的前5位的顺序，后3位是3，6，8三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】让1除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：因为后3位是3，6，8三个数字共6种排列情况，而正确的只有1种，
故第一次就拨通电话的概率是 ．
故选：B．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
9．（3分）如图，在⊙€O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（　　）


A．1 B．﹣3 C．5﹣ D．
【分析】如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．想办法求出OH，IH即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．

∵＝，
∴AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，
∴AH＝＝＝9，
设OA＝OB＝x，
在Rt△BOH中，∵OB2＝OH2+BH2，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，
∴OH＝AH﹣AO＝9﹣5＝4，
∵S△ABC＝•BC•AH＝•（AB+AC+BC）•IH，
∴IH＝＝﹣1，
∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（﹣1）＝5﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是三角形的内心和外心、勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，
∴3a2+3a﹣6＝0，
∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点A（a，3）与点B（7，b）关于原点对称，则a+b＝　﹣10　．
【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由A（a，3）与点B（7，b）关于原点对称，得
a＝﹣7，b＝﹣3，
a+b＝﹣7﹣3＝﹣10．
故答案是：﹣10．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
12．（3分）如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是　　．

【分析】根据圆环面积求法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率．
【解答】解：∵有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，
∴阴影部分面积为：π（42﹣22）＝12π（cm2），大圆的面积为：36πcm2，
∴那么飞镖落在阴影圆环内的概率是：＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率，根据三圆半径依次是2cm，4cm，6cm求出圆环面积与大圆面积是解决问题的关键．
13．（3分）某村种的水稻前年平均每公顷产7 200kg，今年平均每公顷产8 450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为　7200（1+x）2＝8450　．
【分析】由题意得：第一年水稻产量7200（1+x），第二年水稻产量：7200（1+x）（1+x），进而可得方程7200（1+x）2＝8450．
【解答】解：设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意得：
7200（1+x）2＝8450，
故答案为：7200（1+x）2＝8450．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
14．（3分）如图1，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则图象最高点的坐标是 　（6，4）　．

【分析】先连接AE，过点E作EQ垂直AD于Q，再根据函数的起点值求出正方形的边长，根据点P的运动途径得出最高点时点P的位置，求出AP即可得出答案．
【解答】解：由图象可知AP的长度为2，如图，连接AE，过点E作EQ垂直AD于Q，

∵QE∥AB，
∴△ABD∽△QED，
∴＝，
设QD＝x，则AQ＝3x，QE＝x，
则，解得x＝，
∴AB＝AD＝4，
由题意可知当点P运动到B的位置时，图象到最高点，
此时y＝AB＝4，
解法二：直接在直角三角形AOE中用勾股定理求OA再进一步求AB．
故答案为：（6，4）．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要能根据图象的起点值求出正方形的边长．
15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝12，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，BE⊥直线OD于点E．当点D从点B沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为　π　．

【分析】如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．首先判断出点E在以OB为直径的圆上运动，求出点D与C重合时∠EMB的度数，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．

∵OD⊥BE，
∴∠OEB＝90°，
∴点E在以OB为直径的圆上运动，
当点D与C重合时，∵∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠EMB＝2∠BOE＝120°，
∵BC＝12，OH⊥BC，
∴BH＝CH＝6，∠BOH＝∠COH＝60°，
∴OB＝＝4，
∴点E的运动轨迹的长＝＝π．
故答案为π．
【点评】本题考查轨迹、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹，属于中考常考题型．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③关于x的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0有两根m，n，m＜n，则﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的是 　①②③　（填序号即可）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
能得到：a＜0，c＞0，b＞0，
∴bc＞0是正确的；
②图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
可得与x轴的另一个交点（3，0），
当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，正确；
③将图象向下平移一个单位，
得到y＝a（x+1）（x﹣3）﹣1与x轴两个交点m、n，m＜n，
则﹣1＜m＜n＜3，∴正确；
④∵|ax2+bx+c|＝b，
∴ax2+bx+c＝±b，
当ax2+bx+c﹣b＝0时，x1+x2＝﹣＝2，
当ax2+bx+c+b＝0时，x1+x2＝﹣＝2，
∴这四个根的和为4，∴错误；
故正确的是①②③．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，掌握利用对称轴及（﹣1，0）求出x轴的另一个交点坐标，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
18．（8分）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，CQ，求证：AP＝CQ．

【分析】由旋转的性质可得BP＝BQ，∠PBQ＝90°，由“SAS”可证△ABP≌△CBQ，可得AP＝CQ．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．（8分）小明有两双不同的运动鞋放在一起，上学时间到了，他准备穿鞋上学．
（1）他随手拿出一只，恰好是右脚鞋的概率为　　；
（2）他随手拿出两只，请用画树状图或列表法求恰好为一双的概率．
【分析】（1）根据四只鞋子中右脚鞋有2只，即可得到随手拿出一只恰好是右脚鞋的概率；
（2）依据树状图即可得到共有12种等可能的结果，其中两只恰好为一双的情况有4种，进而得出恰好为一双的概率．
【解答】解：（1）∵四只鞋子中右脚鞋有2只，
∴随手拿出一只，恰好是右脚鞋的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两只恰好为一双的情况有4种，
∴拿出两只，恰好为一双的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，点E是矩形ABCD边AD的中点，过点E画矩形的一条对称轴交BC于F；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E是AB的中点，在BC上找一点G，使得AG⊥DE；
（3）如图3，在正六边形ABCDEF中，点G是AF上一点，在CD上找一点H，使得EH＝BG；
（4）如图4，在⊙O中，D是劣弧的中点，点B是优弧上一点，在⊙O上找一点I，使得BI∥AC．

【分析】（1）作矩形的对角线，对角线的交点为O，直线EO交BC于F；
（2）作正方形的对角线，对角线的交点为O，延长EO交DC于F，连接CE、BF，它们相交于M，连接OM并延长交BC于G，连接AG，则AG⊥DE；
（3）连接AD、CF，它们相交于O，延长GO交CD于H，则EH＝BG；
（4）延长AB、DO，它们相交于P，再连接PC交⊙O于I，则BI∥AC．
【解答】解：（1）如图1，EF为所作；
（2）如图2，AG为所作；
（3）如图3，EH为所作；
（4）如图4，BI为所作．

【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了正方形的性质、矩形的性质、圆周角定理和正六边形的性质．
21．（8分）如图，BD是⊙O的直径，直线AC切⊙O于点C，DF⊥AC于点F，连接CD、AO、AB，且CD∥AO．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝BD＝10，求线段DF的长度．

【分析】（1）根据平行线的性质，等腰三角形以及全等三角形的判定和性质得出∠ABO＝∠ACO，由切线的性质得出∠ACO＝90°，进而得出∠ABO＝90°，进而得出结论；
（2）先证明△BOE≌△COE得出BE＝EC，在Rt△ABO中求出sin∠BAO＝，再求出BE，从而求出CD＝2，再根据△ACO∽△CFD，求出DF．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵AC是⊙O的切线，
∴∠ACO＝90°，
∵AO∥CD，
∴∠AOC＝∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠AOC＝∠ODC，
∵AO∥CD
∴∠AOB＝∠ODC，
∴∠AOC＝∠AOB，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°，
∴OB是⊙O的切线；
（2）解：连接BC交AO于点E，
在△BOE和△COE中，
，
∴△BOE≌△COE，
∴∠BEO＝CEO＝90°，
∵AB＝10，BO＝BD＝×10＝5，
∴AO＝＝＝5，
∴sin∠BAO＝＝＝，
在△ABE中，
sin∠BAE＝＝，
∴BE＝×10＝2，
∴BC＝4，
在△BCD中，
∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴CD＝＝＝2，
∵AO∥CD，
∴∠CAO＝∠FCD，
∵∠ACO＝∠CFD，
∴△ACO∽△CFD，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝2．
【点评】本题考查切线的判定和性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定和性质以及直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
22．（10分）如图，用一段长30的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中间也用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长12m．
（1）设AB＝xm，矩形ABCD的面积为ym2，则y关于x的函数关系式为 　y＝﹣3x2+30x　，x的取值范围为 　6≤x＜10　．
（2）求矩形ABCD面积的最大值，并求出此时BC的长；
（3）在（2）的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲种农作物的年收入W1（单位：元）和种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W1＝60S；乙种农作物的年收入W2（单位：元）和种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W2＝﹣S2+120S，若两种农作物的年收入之和不少于5184元，求BF的取值范围．

【分析】（1）用x表示BC的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长12m列不等式，可求x的范围；
（2）由y＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75及二次函数性质、x范围可得x＝6时，y取最大值72，BC＝30﹣3x＝12；
（3）设BF＝tm，可得矩形ABFE的面积为6tm2，矩形EFCD的面积为6（12﹣t） m2，根据两种农作物的年收入之和不少于5184元可得360t﹣36（12﹣t）2+120×6（12﹣t）≥5184，即得6≤BF≤8．
【解答】解：（1）由已知得：BC＝（30﹣3x）m，
∴y＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x，
∵墙长12m，
∴0＜30﹣3x≤12，
解得6≤x＜10（m），
∴x的取值范围为6≤x＜10；
故答案为：y＝﹣3x2+30x，6≤x＜10；
（2）∵y＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
∴抛物线对称轴为x＝5，
而﹣3＜0，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴x＝6时，y取最大值，最大值是72，
此时BC＝30﹣3x＝12，
∴矩形ABCD面积的最大值是72m2，此时BC的长是12m；
（3）设BF＝tm，则CF＝（12﹣t）m，
∴矩形ABFE的面积为6tm2，矩形EFCD的面积为6（12﹣t） m2，
∴W1＝60×6t＝360t，W2＝﹣36（12﹣t）2+120×6（12﹣t），
根据题意得：
360t﹣36（12﹣t）2+120×6（12﹣t）≥5184，
解得6≤t≤8，
∴6≤BF≤8．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式．
23．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 　PQ＝BO　，位置关系是 　PQ⊥BO　；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．

【分析】（1）由正方形的性质得出BO⊥AC，BO＝CO，由中位线定理得出PQ∥OC，PQ＝OC，则可得出结论；
（2）连接O'P并延长交BC于点F，由旋转的性质得出△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，证得∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，△O'PE≌△FPC（AAS），则O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，证得△O'BF为等腰直角三角形．同理△BPO'也为等腰直角三角形，则可得出结论；
（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．证明△O'GP≌△BCP（SAS），得出∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，得出∠O'PB＝90°，则△O'PB为等腰直角三角形，由直角三角形的性质和勾股定理可求出O'A和O'B，求出BQ，由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点O为对角线AC的中点，
∴BO⊥AC，BO＝CO，
∵P为BC的中点，Q为BO的中点，
∴PQ∥OC，PQ＝OC，
∴PQ⊥BO，PQ＝BO；
故答案为：PQ＝BO，PQ⊥BO．
（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接O'P并延长交BC于点F，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，
∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，
∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，
又∵点P是CE的中点，
∴CP＝EP，
∴△O'PE≌△FPC（AAS），
∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，
∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，
∴BO'＝BF，
∴△O'BF为等腰直角三角形．
∴BP⊥O'F，O'P＝BP，
∴△BPO'也为等腰直角三角形．
又∵点Q为O'B的中点，
∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，
∴△PQB的形状是等腰直角三角形；
（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．

∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECG＝45°，
由旋转得，四边形O'ABG是矩形，
∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∵点P是CE的中点，
∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，
∴△O'GP≌△BCP（SAS），
∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，
∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，
∴∠O'PB＝90°，
∴△O'PB为等腰直角三角形，
∵点Q是O'B的中点，
∴PQ＝O'B＝BQ，PQ⊥O'B，
∵AB＝1，
∴O'A＝，
∴O'B＝＝＝，
∴BQ＝．
∴S△PQB＝BQ•PQ＝×＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在线段BC上．
①把点D绕点A逆时针方向旋转90°，恰好落在y轴正半轴的点E处，求点E的坐标；
②若点M在抛物线上，△ADM是以AD为斜边的等腰直角三角形，求点D的坐标．
（3）如图2，若点P在第四象限的抛物线上，过A，B，P作⊙O1，作PQ⊥x轴于Q，交⊙O于点H，求HQ的值．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）①如图1，作DF⊥AB．证明△AOE≌△DFA（AAS），可得结论．
②将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AT，取DT的中点M，连接AM，则△ADM是等腰直角三角形．设D（m，m﹣4），则T（m﹣6，﹣m﹣2），可得M（m﹣3，﹣3），利用待定系数法求出m即可．
（3）如图，连接PA，BH．设P（m，m2﹣m﹣4）．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）将（﹣2，0），（4，0）代入解析式y＝ax2+bx﹣4，
，解得，，
∴y＝x2﹣x﹣4．

（2）①如图1，作DF⊥AB．
∵∠EAF+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠EAF＝∠ADF，
∵AE＝AD，∠AOE＝∠AFD＝90°，
∴△AOE≌△DFA（AAS），
∴AO＝DF＝2，
∵BF＝DF＝2，
∴AF＝4＝OE，
∴E（0，4）．

②将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AT，取DT的中点M，连接AM，则△ADM是等腰直角三角形．

∵C（0，﹣4），B（4，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设D（m，m﹣4），则T（m﹣6，﹣m﹣2），
∵TM＝DM，
∴M（m﹣3，﹣3），
当点M落在抛物线上时，﹣3＝（m﹣3）2﹣（m﹣3）﹣4，
解得m＝4+（舍弃）或4﹣，
∴D（4﹣，﹣）．

（3）如图，连接PA，BH．设P（m，m2﹣m﹣4）．

∵PQ⊥AB，
∴Q（m，0），
∴QA＝m+2，BQ＝4﹣m，PQ＝﹣m2+m+4，
∵∠AQP＝∠BQH，∠PAQ＝∠H，
∴△AQP∽△HQB，
∴＝，
∴＝，
∴HQ＝＝2．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题、
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