四川省雅安市2021届高三下学期5月第三次诊断考试+数学（理）+答案

这是一份四川省雅安市2021届高三下学期5月第三次诊断考试+数学（理）+答案，共15页。试卷主要包含了答题前，考生务必将自己的姓名，考试结束后，将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。

(本试卷满分150分，答题时间120分钟)
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名。考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸。试题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.若复数z满足z(1－2i)＝3－i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为
A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i
2.设集合A＝{y|y＝2x－1，x∈R}，B＝{x|x2－1≤0}，则A∩B＝
A.[－1，1) B.(－1，1) C.(－1，1] D.[－1，1]
3.已知sin(α－)＝，则cs(－2α)＝
A.－ B.－ C. D.
4.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶(我国南宋时期的数学家，四川人)算法的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出v的值为
A.25 B.100 C.400 D.6
5.已知变量x，y之间的线性回归方程为＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示：
则下列说法错误的是
A.变量x，y之间呈负相关关系 B.可以预测，当x＝30时，＝－10.7
C.m＝4 D.该回归直线必过点(9，4)
6.在多项式(x－1)(2x＋1)4的展开式中，含x2项的系数为
A.－32 B.32 C.－16 D.16
7.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为
A.2 B.5 C.1 D.0
8.函数y＝a3－x(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在双曲线(m>0，n>0)上，则m－n的最大值为
A.6 B.4 C.2 D.1
9.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)，其图象关于点(－，0)对称且相邻两条对称轴之间的距离为，则下列判断正确的是
A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B.当x＝－时，函数f(x)的值为
C.要得到函数f(x)的图象，只需将y＝2cs2x的图象向右平移个单位
D.函数f(x)在[－，]上单调递增
10.在四面体ABCD中，已知平面ABD⊥平面ABC，且AB＝AD＝DB＝AC＝CB＝4，则其外接球表面积为
A. B. C.16π D.20π
11.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A、B为抛物线上的两个动点，且∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作拋物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为
A. B. C.2 D.1
12.设k>0，若存在正实数x，使得不等式lg4x－k·2kx－1≥0成立，则k的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)将答案填在答题卡相应的横线上。
13.在平面直角坐标系下，若x，y满足约束条件，则其可行域的面积为 。
14.在△ABC中，已知向量＝(1，3)，＝(2，t)，||＝1，则角B的余弦值为 。
15.已知圆C：(x－2)2＋y2＝1及点A(0，2)，点P、Q分别是直线x＋y＝0和圆C上的动点，则|PA|＋|PQ|的最小值为 。
16.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：
①异面直线C1P与B1C所成的角不为定值； ②二面角P－BC1－D的大小为定值；
③三棱锥D－BPC1的体积为定值； ④平面A1CP⊥平面DBC1。
其中真命题的序号为 。
三。解答题(本大题共6小题，共70分)解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知等比数列{an}的公比为q(q≠1)，前n项和为Sn，S3＝14，且3a2是2a3与4a1的等差中项。
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<。
18.(12分)成雅高速铁路(又称成雅高铁)是川藏铁路的重要组成部分，于2018年12月顺利通车，它的开通改变了成都到雅安没有直达铁路的历史，在出行人群中越来越受欢迎。现交通部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中采用乘坐成雅高铁出行的占。
(1)请完成2×2列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐成雅高铁出行与年龄有关”？
(2)为提升服务质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法选取5人免费到雅安参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份。由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖每人得800元，40岁以上的旅客若中奖每人得1000元，设旅客抽奖所得的总金额为X元，求X的分布列与数学期望E(X)。
参考公式：，n＝a＋b＋c＋d，参考数据如表：
19.(12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，PA＝AB＝AC＝1。
(1)求证：AC⊥CD；
(2)点E在棱PC上，满足∠DAE＝60°，求二面角B－AE－D的余弦值。
20.(12分)已知椭圆C：的离心率为，且过点P(0，1)。
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过定点M(1，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，已知点N(4，)，设直线AN、BN的斜率分别为k1、k2，判断k1＋k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由。
21.(12分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax－1(a∈R)。
(1)若方程f(x)－g(x)＝0存在两个不等的实根，求a的取值范围。
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，x1，x2是函数h(x)的两个零点，证明：h'(x1x2)<1－a。
请考生在22。23两题中任选一题作答。只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若直线l的极坐标方程为ρcs(θ－)－2＝0，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ＝csθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到曲线C1。
(1)求直线l和曲线C1的直角坐标方程；
(2)已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P(2，0)，求|PA|＋|PB|的值。
23.(10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知f(x)＝|ax－1|(a∈R)，g(x)＝1－|x|。
(1)当a＝1时，解关于x的不等式f(x)≤g(x)；
(2)若f(x)≥g(x)的解集为R，求a的取值范围。
雅安市高中2018级第三次诊断性考试
数学（理科）参考答案及评分标准
一.选择题
1.A 2.C 3.D 4. B 5. C 6. C 7. C 8.B 9.C 10. A 11. D 12.A
二.填空题
13.3 14. 15. 3 16.②③④
三.解答题
17.解：∵是与的等差中项
∴=
∴ ∴..3分
∵∴∴ ∴ ..6分
（2）由（1）得..8分
10分
∵数列为单调递增的数列，∴ ∴ . 分

18.解：（1）由已知可得，岁及以下采用乘坐成雅高铁出行的有
人············..1分
列联表如表:
·········.····4分
由列联表中的数据计算可得的观测值
·································6分
由于，故有的把握认为“采用乘坐成雅高铁出行与年龄有关”.····························································7分
（2）采用分层抽样的方法，从“岁及以下”的人中抽取人，
从“岁以上”的人中抽取人，···································8分
的可能取值为:
···········································10分
故分布列如表:
数学期望.·············12分
19．解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为∠PCD＝90，所以PC⊥CD，
所以CD⊥平面PAC，
所以CD⊥AC．······························································4分
（Ⅱ）因为底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直．
如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系．

则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)．
设，则，
又∠DAE＝60°，则，
即，解得． ···································· 8分
则，，
所以.
因为，所以．
又，故二面角B-AE-D的余弦值为．·······················……12分
另解：同上，E(0，，)．
设是平面BAE的法向量，解得法向量，
设是平面DAE的法向量，解得法向量，
，由图可知，二面角的余弦值为.
20.解：（1），·············································1分
由题知，则
椭圆的标准方程··········································4分
（2）（i）若的斜率不存在，则
此时······································.5分
（ii）若的斜率存在，设，设的方程为：，
，·······················6分
由韦达定理得：·········································7分
，·················································8分
··············································11分
所以：为定值1.··············································12分
另解：（2）当直线AB的斜率为0时，，·········5分
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则：
，···································6分
，·········································7分
则：，··············································8分
，··················································11分
所以：为定值1.·················································12分
21题：解：（1）由题意，，可得a＝eq \f(1＋ln x,x)（x>0），·············1分
转化为函数T(x)＝eq \f(1＋ln x,x)与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点，········2分
T′(x)＝eq \f(－ln x,x2)(x>0)，
故当x∈(0,1)时，T′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，T′(x)<0，
故T(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，·······················4分
所以T(x)max＝T(1)＝1.
又Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝0，故当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))时，T(x)<0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))时，T(x)>0. ·······5分
可得a∈(0,1)．························································6分
另解：则：，·········1分
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时，恒成立，不满足题意；······3分
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时，单调递减，
则，当
····························5分
综上：·······················································6分
(2)证明： h′(x)＝eq \f(1,x)－a， 因为x1，x2是ln x－ax＋1＝0的两个根，
故ln x1－ax1＋1＝0，ln x2－ax2＋1＝0⇒a＝eq \f(ln x1－ln x2,x1－x2)，·················..·8分
要证h′(x1x2)<1－a，
只需证x1x2>1，即证ln x1＋ln x2>0，即证(ax1－1)＋(ax2－1)>0，
即只需证明 a>eq \f(2,x1＋x2)成立，即证eq \f(ln x1－ln x2,x1－x2)>eq \f(2,x1＋x2).·························9分
不妨设0令t＝eq \f(x1,x2)∈(0,1)，φ(t)＝ln t－eq \f(2t－1,t＋1)，······································11分
φ′(t)＝eq \f(1,t)－eq \f(4,t＋12)＝eq \f(t－12,tt＋12)>0，
则h(t)在(0,1)上单调递增，则φ(t)< φ(1)＝0，
故（*）式成立，即要证不等式得证．······································12分
22. 解 ：（1）直线l的直角坐标方程为：························2分
曲线C的极坐标方程为：，即，
化为直角坐标方程：.
将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
得到曲线：. ··············································5分
（2）直线的极坐标方程为，
展开可得：.
可得直角坐标方程：.
可得参数方程：（为参数）. ····························7分
代入曲线的直角坐标方程可得：.
解得，.
∴
.·······································10分
23.解：（1）或
解出或无解, 所以，原不等式的解集为[0，1]····················5分
另解：（1）当时，等价于，则
∴或无解
综上，原不等式的解集为[0，1]···········································5分
（2）当时，，因为，所以恒成立，即恒成立，所以满足的解集为；
而，
当时，，
当时，，作出的图像如上图所示，
要使的解集为，则需或，解得或；
综上可得：a的取值范围是. ·····································10 分
40岁及以下
40岁上
合计
乘成雅高铁
40
10
50
不乘成雅高铁
20
30
50
合计
60
40
100