四川省雅安市2022届高三第三次诊断性考试数学（文）试题-

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四川省雅安市2022届高三第三次诊断性考试数学（文）试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．复数在复平面内对应的点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

3．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（       ）

附表：

A．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物有效”

B．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物无效”

C．有99％以上的把握认为“药物有效”

D．有99％以上的把握认为“药物无效”

4．已知函数是奇函数，当时，，则（       ）

A． B． C． D．

5．光线通过一块玻璃，强度要损失．设光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则经过块这样的玻璃后光线强度为： ，那么至少通过（       ）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下（， ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7．如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（       ）

A．60 B．54 C．48 D．24

8．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（       ）

A． B． C． D．

9．已知是等比数列，是其前项积，若，则（       ）

A．1024 B．512 C．256 D．128

10．某高校计划派出甲、乙、丙名男生和，，名女性共名志愿者参与北京冬奥会志愿者工作，现将他们分配到北京、延庆个赛区进行培训，其中名男性志愿者和名女性志愿者去北京赛区，其他都去延庆赛区，则甲和被选去北京赛区培训的概率为（     ）

A． B． C． D．

11．已知函数在上的图象如图所示，则a，b的值分别为（       ）

A． B．

C． D．

12．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（       ）．

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知向量，，满足，则t=___________.

14．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.

15．已知函数，将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度.所得图象关于y轴对称，则___________.

16．己知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．

17．如今快寄成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲､乙两家快寄企业（以下简称快寄甲､快寄乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下表：

据统计表明y与x之间具有线性相关关系，并经计算求得y与x之间的回归方程为.

(1)求；

(2)假定快寄企业平均每单能获纯利润3元，试预测当快寄乙日接单量不低于2500单时，快寄甲日接单量的最小值（结果精确到单）及所获取的日纯利润的最小值.

18．已知数列，满足，；正项等差数列满足，且，，，成等比数列.

(1)求和的通项公式：

(2)证明：.

19．如图，在直三棱柱中，，，，分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

20．已知椭圆C：的右焦点为F，长轴长为4，离心率为.过点的直线与椭圆C交于A，B两点.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)设直线AF，BF的斜率分别为，求的值.

21．设函数.

(1)求的单调区间；

(2)，为的导函数，当时，，求整数的最大值.

22．数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．

（1）当，求以极点为圆心，为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；

（2）设点P是由（1）中的交点所确定的圆M上的动点，直线，求点P到直线l的距离的最大值．

23．已知.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

直接根据交集的定义计算可得；

【详解】

因为，

所以

故选：C

2．A

【解析】

【分析】

先运用复数的除法化简复数，再由复数在复平面中的表示可得选项.

【详解】

解：，在复平面内对应的点坐标为.

故选：A.

3．C

【解析】

【分析】

根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断；

【详解】

解：因为，即，所以有以上的把握认为“药物有效”．

故选：C．

4．D

【解析】

【分析】

计算出的值，利用奇函数的性质可求得结果.

【详解】

当时，，则，

因为函数是奇函数，则.

故选：D.

5．C

【解析】

【详解】

光线经过块玻璃后，强度变为，

光线经过块玻璃后，强度变为，

……

光线经过块玻璃后，强度变为．

由题意，即，

两边同取对数，可得，

∵，

∴，

又，

所以至少通过块玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．选．

点睛：

对于本题中的问题，在实际问题中常用指数函数模型（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）或幂函数模型（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）求解．解题时往往用到对数运算，要注意结合已知条件中给定的值对应求解．

6．D

【解析】

【分析】

根据题意可得，即可求出离心率范围.

【详解】

由题可得渐近线的斜率满足，

所以离心率.

故选：D.

7．A

【解析】

【分析】

根据“长对正，宽相等，高平齐”的原则，想象出几何体是倒下的直三棱柱，根据数据求解即可.

【详解】

该几何体为直三棱柱—，如图所示，其中，所以该几何体的表面积

故选：A.

8．A

【解析】

【分析】

由正弦定理可得，利用余弦定理可求得的值.

【详解】

因为，令，，，

则.

故选：A.

9．B

【解析】

【分析】

根据等比数列的性质求得，进而求得.

【详解】

解： ，则，

则，

故选：B．

【点睛】

利用等比数列的通项公式不难证明等比数列的积的性质.

10．C

【解析】

【分析】

写出名男性志愿者和名女性志愿者去北京赛区的分配方法，即可由古典概型求解.

【详解】

由题意，分配名男性志愿者和名女性志愿者去北京赛区共有

(甲，A), (甲，B), (甲，C), (乙，A), (乙，B), (乙，C)，(丙，A), (丙，B), (丙，C)，9中不同的分配方法，

其中甲和被选去北京赛区培训是其中一种分配方法，

所以甲和被选去北京赛区培训的概率为.

故选：C

11．C

【解析】

【分析】

先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后根据函数的最小值和特殊值列方程组求解即可

【详解】

，

由图象可知，得，

，

因为的最小值为，

当时，，解得，

当时，，解得，与不符，

所以，

故选：C

12．D

【解析】

【分析】

把方程恰有3个不同的实数根，转化成在区间内函数与函数的图象有三个交点，数形结合去解决即可.

【详解】

由题意可得，函数是周期为4的偶函数．

根据，，画出内的图象如图所示．

关于x的方程恰有3个不同的实数根，

则在区间内函数与函数的图象有三个交点，

则，解得．

故选：D

13．

【解析】

【分析】

由向量垂直得向量的数量积为0，列出关于的方程，即可求解.

【详解】

解：因为，则，即，解得.

故答案为：.

14．

【解析】

【分析】

分析可知、、两两垂直，将三棱锥补成正方体，计算出正方体的体对角线长，可得出三棱锥的外接球半径，利用球体的表面积公式可求得结果.

【详解】

因为，，则，，

同理可证，，所以，、、两两垂直，

将三棱锥补成正方体，如下图所示：

正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径，

设三棱锥的外接球半径为，则，所以，，

因此，三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：.

15．##1.5

【解析】

【分析】

先通过平移变换得到函数，再根据为偶函数，求得，进而得到求解.

【详解】

由题意得平移后的函数为，且为偶函数，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

16．

【解析】

【分析】

设，由已知可得，利用的面积建立关系即可求出.

【详解】

设，可得，

则,

因为，

所以，

则可得，则内切圆半径为，

由椭圆定义可得，又，

所以，

即，则可得，所以离心率为.

故答案为：.

17．(1)

(2)快寄乙日接单量最小值为2010单，快寄乙日纯利润最小值为元

【解析】

【分析】

（1）求出样本中心点，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解；

（2）由（1）结合题意列出不等式，求出的最小值，从而可得出答案.

(1)

解：，，

所以；

(2)

解：由题意y与x之间的回归方程为，

由，解得，

所以快寄乙日接单量最小值为2010单，

所以快寄乙日纯利润最小值为元.

18．(1)，

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用等比等差数列的通项公式通过基本量法计算即可；

（2）写出通项，可得其为等比数列，根据等比数列求和公式求和后比较即可得证.

(1)

∵，∴，即.

又当时，有，且，∴，而也符合上式

∴数列是首项､公比均为设正项等差数列，∴；

设正项等差数列的公差为d，∵，且，，成等比数列，

∴，即，解得：或（舍），

∴，故，;

(2)

证明：由（1）可得，，

∴

19．(1)见解析，(2)

【解析】

【详解】

试题分析：(1)要证平面，转证即可；（2）点到平面的距离可视为三棱锥的高，通过等体积建立方程，解之即可.

试题解析：

(1)证明：如图，连接,

因为该三棱柱是直三棱柱，,则四边形为矩形，

由矩形性质得过的中点M,

在 中，由中位线性质得，

又，,

.

 (2)解： ， ,

，

，

又点M到平面的的距离为，

设点与平面的距离为，

由可得，即，

解得，即点到平面的距离为.

点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

20．(1)

(2)0

【解析】

【分析】

（1）根据题意列出关于的方程组即可求解；

（2）设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，，根据，代入，即可求解.

(1)

解：由已知有，解得，

所以椭圆C的标准方程为：；

(2)

解：由已知直线l斜率不为零，设直线l的方程为，

由，消去x得，

令得，

设，，则有，，

易知，

∴，

所以的值为0.

21．(1)答案见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）求导后，分别在和两种情况下讨论单调性即可；

（2）将不等式转化为，利用导数可求得在上单调递减，在上单调递增，其中，由此可求得，由的范围可求得结果.

(1)

由题意知：定义域为，；

当时，，在上单调递增；

当时，若，；若时，；

在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；

(2)

当时，，；

由得：，即；

令，则；

令，则，

在上单调递增，

又，，

，使得，此时，

则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，，即，

又，，整数的最大值为.

【点睛】

思路点睛：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的基本思路是采用参变分离的方式，将问题转化为变量与函数最值的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，进而得到变量的取值范围.

22．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由可得，然后解出的值即可；

（2）将圆和直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后可求出答案.

【详解】

（1）由可得，所以或

所以或

因为，所以

所以交点的极坐标为

（2）由（1）可得圆M的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为

直线的直角坐标方程为

所以点P到直线l的距离的最大值为

23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）分别在、和时，去绝对值符号，解不等式求得结果；

（Ⅱ）将问题转化为在上恒成立，由绝对值不等式的解法和分离变量法可得，根据可得结果.

【详解】

（Ⅰ）当时，；

当时，，解集为；

当时，，解得：，；

当时，恒成立，；

综上所述：的解集为；

（Ⅱ）当时，，

则恒成立等价于恒成立，

，即，，

当时，，，即实数的取值范围为.

【点睛】

易错点睛：本题易错点在于采用分离变量法求解恒成立问题时，忽略了函数最值点能否取得的问题，造成求解参数范围时丢掉了临界值.