2021雅安高三下学期5月第三次诊断考试数学（理）含答案

www.ks5u.com雅安市高中2018级第三次诊断性考试

数学(理科)试题

(本试卷满分150分，答题时间120分钟)

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名。考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸。试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.若复数z满足z(1－2i)＝3－i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为

A.1－i     B.1＋i     C.－1－i     D.－1＋i

2.设集合A＝{y|y＝2x－1，x∈R}，B＝{x|x2－1≤0}，则A∩B＝

A.[－1，1)     B.(－1，1)     C.(－1，1]     D.[－1，1]

3.已知sin(α－)＝，则cos(－2α)＝

A.－     B.－     C.     D.

4.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶(我国南宋时期的数学家，四川人)算法的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出v的值为

A.25     B.100     C.400     D.6

5.已知变量x，y之间的线性回归方程为＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示：

则下列说法错误的是

A.变量x，y之间呈负相关关系       B.可以预测，当x＝30时，＝－10.7

C.m＝4                            D.该回归直线必过点(9，4)

6.在多项式(x－1)(2x＋1)4的展开式中，含x2项的系数为

A.－32     B.32     C.－16     D.16

7.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为

A.2     B.5     C.1     D.0

8.函数y＝a3－x(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在双曲线(m>0，n>0)上，则m－n的最大值为

A.6     B.4     C.2     D.1

9.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)，其图象关于点(－，0)对称且相邻两条对称轴之间的距离为，则下列判断正确的是

A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B.当x＝－时，函数f(x)的值为

C.要得到函数f(x)的图象，只需将y＝2cos2x的图象向右平移个单位

D.函数f(x)在[－，]上单调递增

10.在四面体ABCD中，已知平面ABD⊥平面ABC，且AB＝AD＝DB＝AC＝CB＝4，则其外接球表面积为

A.     B.     C.16π     D.20π

11.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A、B为抛物线上的两个动点，且∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作拋物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为

A.     B.     C.2     D.1

12.设k>0，若存在正实数x，使得不等式log4x－k·2kx－1≥0成立，则k的最大值为

A.     B.     C.     D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)将答案填在答题卡相应的横线上。

13.在平面直角坐标系下，若x，y满足约束条件，则其可行域的面积为       。

14.在△ABC中，已知向量＝(1，3)，＝(2，t)，||＝1，则角B的余弦值为         。

15.已知圆C：(x－2)2＋y2＝1及点A(0，2)，点P、Q分别是直线x＋y＝0和圆C上的动点，则|PA|＋|PQ|的最小值为           。

16.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：

①异面直线C1P与B1C所成的角不为定值；    ②二面角P－BC1－D的大小为定值；

③三棱锥D－BPC1的体积为定值；             ④平面A1CP⊥平面DBC1。

其中真命题的序号为           。

三。解答题(本大题共6小题，共70分)解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知等比数列{an}的公比为q(q≠1)，前n项和为Sn，S3＝14，且3a2是2a3与4a1的等差中项。

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<。

18.(12分)成雅高速铁路(又称成雅高铁)是川藏铁路的重要组成部分，于2018年12月顺利通车，它的开通改变了成都到雅安没有直达铁路的历史，在出行人群中越来越受欢迎。现交通部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中采用乘坐成雅高铁出行的占。

(1)请完成2×2列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐成雅高铁出行与年龄有关”？

(2)为提升服务质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法选取5人免费到雅安参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份。由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖每人得800元，40岁以上的旅客若中奖每人得1000元，设旅客抽奖所得的总金额为X元，求X的分布列与数学期望E(X)。

参考公式：，n＝a＋b＋c＋d，参考数据如表：

19.(12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，PA＝AB＝AC＝1。

(1)求证：AC⊥CD；

(2)点E在棱PC上，满足∠DAE＝60°，求二面角B－AE－D的余弦值。

20.(12分)已知椭圆C：的离心率为，且过点P(0，1)。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过定点M(1，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，已知点N(4，)，设直线AN、BN的斜率分别为k1、k2，判断k1＋k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由。

21.(12分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax－1(a∈R)。

(1)若方程f(x)－g(x)＝0存在两个不等的实根，求a的取值范围。

(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，x1，x2是函数h(x)的两个零点，证明：h'(x1x2)<1－a。

请考生在22。23两题中任选一题作答。只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)－2＝0，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ＝cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到曲线C1。

(1)求直线l和曲线C1的直角坐标方程；

(2)已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P(2，0)，求|PA|＋|PB|的值。

23.(10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知f(x)＝|ax－1|(a∈R)，g(x)＝1－|x|。

(1)当a＝1时，解关于x的不等式f(x)≤g(x)；

(2)若f(x)≥g(x)的解集为R，求a的取值范围。

雅安市高中2018级第三次诊断性考试

数学（理科）参考答案及评分标准

一.选择题

1.A    2.C    3.D    4. B   5. C    6. C   7. C    8.B    9.C   10. A    11. D   12.A

二.填空题

13.3    14.   15. 3   16.②③④  

三.解答题

17.解：∵是与的等差中项

∴=

∴ ∴..3分

∵∴∴  ∴    ..6分

（2）由（1）得..8分

10分

∵数列为单调递增的数列，∴ ∴  .     ..12分

18.解：（1）由已知可得，岁及以下采用乘坐成雅高铁出行的有

人············..1分

列联表如表:

·········.····4分

由列联表中的数据计算可得的观测值

·································6分

由于，故有的把握认为“采用乘坐成雅高铁出行与年龄有关”.····························································7分

（2）采用分层抽样的方法，从“岁及以下”的人中抽取人，

从“岁以上”的人中抽取人，···································8分

的可能取值为:

···········································10分

故分布列如表:

数学期望.·············12分

19．解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，

因为∠PCD＝90，所以PC⊥CD，

所以CD⊥平面PAC，

所以CD⊥AC．······························································4分

（Ⅱ）因为底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直．

如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系．

则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)．

设，则，

又∠DAE＝60°，则，

即，解得． ···································· 8分

则，，

所以.

因为，所以．

又，故二面角B-AE-D的余弦值为．·······················……12分

另解：同上，E(0，，)．

设是平面BAE的法向量，解得法向量，

设是平面DAE的法向量，解得法向量，

，由图可知，二面角的余弦值为.

20.解：（1），·············································1分

由题知，则

椭圆的标准方程··········································4分

（2）（i）若的斜率不存在，则

此时······································.5分

（ii）若的斜率存在，设，设的方程为：，

，·······················6分

由韦达定理得：·········································7分

，·················································8分

        ··············································11分

所以：为定值1.··············································12分

另解：（2）当直线AB的斜率为0时，，·········5分

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则：

，···································6分

，·········································7分

则：，··············································8分

，··················································11分

所以：为定值1.·················································12分

21题：解：（1）由题意，，可得a＝（x>0），·············1分

转化为函数T(x)＝与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点，········2分

T′(x)＝(x>0)，

故当x∈(0,1)时，T′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，T′(x)<0，

故T(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，·······················4分

所以T(x)max＝T(1)＝1.

又T＝0，故当x∈时，T(x)<0，当x∈时，T(x)>0. ·······5分

可得a∈(0,1)．························································6分

另解：则：，·········1分

①当时，恒成立，不满足题意；······3分

②当时，单调递减，

则，当

····························5分

综上：·······················································6分

(2)证明：　h′(x)＝－a，   因为x1，x2是ln x－ax＋1＝0的两个根，

故ln x1－ax1＋1＝0，ln x2－ax2＋1＝0⇒a＝，·················..·8分

要证h′(x1x2)<1－a，

只需证x1x2>1，即证ln x1＋ln x2>0，即证(ax1－1)＋(ax2－1)>0，

即只需证明 a>成立，即证>.·························9分

不妨设0<x1<x2，故ln <＝.(*)····························10分

令t＝∈(0,1)，φ(t)＝ln t－，······································11分

φ′(t)＝－＝>0，

则h(t)在(0,1)上单调递增，则φ(t)< φ(1)＝0，

故（*）式成立，即要证不等式得证．······································12分

22. 解 ：（1）直线l的直角坐标方程为：························2分

曲线C的极坐标方程为：，即，

化为直角坐标方程：.

将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，

得到曲线：.  ··············································5分

（2）直线的极坐标方程为，

展开可得：.

可得直角坐标方程：.

可得参数方程：（为参数）.  ····························7分

代入曲线的直角坐标方程可得：.

解得，.

∴

.·······································10分

23.解：（1）或

解出或无解,  所以，原不等式的解集为[0，1]····················5分

另解：（1）当时，等价于，则

∴或无解

综上，原不等式的解集为[0，1]···········································5分

（2）当时，，因为，所以恒成立，即恒成立，所以满足的解集为；

而，

当时，，

当时，，作出的图像如上图所示，

要使的解集为，则需或，解得或；

综上可得：a的取值范围是. ·····································10 分