2021眉山高三下学期第三次诊断性考试（5月）数学（理）含答案

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眉山市高中2021届第三次诊断性考试

数学(理工类)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数

A.－－i     B.－＋i     C.－i     D.＋i

2.某校高三(1)班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为

A.27     B.23     C.15     D.7

3.在△ABC中，“A<B”是“sinA<sinB”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分又不必要条件

4.某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈情况，随机抽取了A，B，C，D，E，F，G，H这8类商品，收集了这几类商品分别在新规实施前后的消费者评价得分，绘制成右图所示的雷达图。根据统计图判断，下面的叙述一定不正确的是

A.新规实施后，D类商品的评价得分提升幅度最大

B.新规实施后，H，F类商品的评价得分低于新规实施前

C.这8类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分

D.有7类商品的评价得分高于新规实施前

5.直线l经过圆C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0的圆心C，且倾斜角为，则直线l的方程为

A.x－y＋＋1＝0      B.x－y－－1＝0

C.x－3y＋＋3＝0     D.x－3y－－3＝0

6.某四棱台的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为

A.44＋12     B.40＋12     C.40＋12     D.44＋12

7.已知函数f(x)＝sin(4x－)，若将f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的图象关于y轴对称，则φ的最小值是

A.     B.     C.     D.

8.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)。现给图中△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择。则不同的涂色方法种数是

A.48     B.54     C.72     D.108

9.已知双曲线C：(a>0，b>0)，给出以下条件：

①实轴长为3；②过点(，－5)；③渐近线方程为3x±4y＝0；④离心率为。

上述条件中，使双曲线C的方程为的所有条件是

A.②     B.①③     C.②③     D.②③④

10.2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物。为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法。2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期(放射性物质质量衰减一半所用的时间)是5730年。以此推算出该文物大致年代是(参考数据：≈－19034.7，≈－34881)

A.公元前1400年到公元前1300年     B.公元前1300年到公元前1200年

C.公元前1200年到公元前1100年     D.公元前1100年到公元前1000年

11.阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数λ(λ>0，λ≠1)的动点的轨迹。已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA＝2sinB，acosB＋bcosA＝3，则△ABC面积的最大值为

A.3     B.3     C.6     D.6

12.若函数f(x)＝x2ex－ax－alnx有2个零点，则实数a的取值范围是

A.(0，e)     B.(0，2e)     C.(e，＋∞)     D.(2e，＋∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a＝(t，1)，b＝(1，2)，且|a－b|＝，则实数t＝          。

14.计算＝          。

15.中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”。如图所示的鳖臑ABCD中，AB⊥面BCD，CD⊥BC，若CD＝1，AC＝，且顶点A，B，C，D均在球O上，则球O的表面积为          。

16.已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，A是C的准线上一点，面积为4的等边△AFB的顶点B恰在抛物线C上，若直线BF与抛物线C的另一个公共点为D，则|BD|＝          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和Sn满足an·Sn＝(Sn－1)2。

(1)证明：数列为等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式。

18.(本小题满分12分)

某城市为改善保障性租赁住房的品质，对保障性租赁住房进行调研，随机抽取了200名保障性租赁住房的租赁人进行问卷调查，并对租赁房屋的品质进行满意度测评，收集整理得到如下2×2列联表：

(1)完成上述列联表；通过计算判断是否有90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的满意程度与年龄段(“30岁及以下”和“30岁以上”)有关系？

(2)现从满意度评分为“不满意”的人中按照表中年龄段分层抽取了6名租赁人进行座谈。若从这6人中随机抽取3人给予一定的租赁优惠，记“所抽取的3人中年龄在30岁及以下”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

附表及公式：。

19.(本小题满分12分)

如图1是由正方形ACC1A1和长方形BCC1B1组成的平面图形，且AC＝2BC＝4，D，E分别是A1C1，BC的中点。将其沿CC1折起，使得二面角A－CC1－B的平面角大小为60°，如图2。在图2中，

(1)判断直线C1E与平面ABD的位置关系，并证明你的结论；

(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值。

20.(本小题满分12分)

已知O为坐标原点，A，B分别为椭圆C：的右顶点和上顶点，△AOB的面积为1。设M，N是椭圆C上的两个动点，且OM⊥ON，当|OM|＝|ON|时，|MN|＝。

(1)求a，b的值；

(2)过O作线段MN的垂线，垂足为H，求的取值范围。

21.(本小题满分12分)

已知f(x)＝ex－cosx＋ax2－x。

(1)当a＝1时，求f(x)的极值；

(2)若f(x)≥(a－1)x，求a的值。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知射线l：y＝x(x≥0)，曲线C1：(t为参数)。以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ。

(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；

(2)设射线l与C1交于点M，与C2交于O，N，求|MN|的值。

23.[选修4一5：不等式选讲](10分)

已知f(x)＝|x＋|＋|1－2x|。

(1)解不等式f(x)≤－x；

(2)令f(x)的最小值为M，正数a，b满足a＋2b＝M，求证：a2b2＋≥。