高中数学人教版新课标A 必修5模块综合检测

模块综合检测

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B等于(　　)

A

答案:B

2下列结论正确的是(　　)

A.若ac>bc,则a>b

B.若a8>b8,则a>b

C.若a>b,c<0,则ac<bc

D.a>b

答案:C

3等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a7+a12=30,则S13的值是(　　)

A.130 B.65

C.70 D.75

解析:因为a2+a7+a12=(a2+a12)+a7=2a7+a7=3a7=30,所以a7=10.

所以S1a7=130.

答案:A

4已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于(　　)

A.10 B.9

C.8 D.5

解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A

∵A∈cos A

∵cos Ab=5或b=).

故选D.

答案:D

5若在等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则a8等于(　　)

A.35 

B.63

C.2

±2

答案:B

6若在△ABC中,a=4,b=A=30°,则角B的度数等于(　　)

A.30° B.30°或150°

C.60° D.60°或120°

答案:D

7在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,则角B的取值范围是(　　)

A

C

答案:A

8某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,若旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为(　　)

A.31 200元 B.36 000元 

C.36 800元 D.38 400元

解析:设需A,B型车分别为x,y辆(x,y∈N),则x,y需满z,则z=1 600x+2 400y,画出可行域如图中阴影所示,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z最小等于36 800.故选C.

答案:C

9若x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,则(　　)

A.x+y≥2 

B.xy≤

C.x+y≤2 

D.xy≥2

解析:∵xy=1+(x+y)≤

∴(x+y)2-4(x+y)-4≥0,

∴x+y≥2

当且仅当x=y.

答案:A

10若数列{an}满足a1=0,an+n∈N*),则a20等于(　　)

A.0 B

解析:由a1=0,an+n∈N*),

得a2=aa4=0,…由此可知数列{an}是周期数列,周期为3,所以a20=a2=

答案:B

11若在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　)

A.(0,2)  B.(-2,1)

C.(-∞,-2)∪(1,+∞)  D.(-1,2)

解析:由题意,得x(x-2)+2x+(x-2)<0,

即x2+x-2<0,解得-2<x<1.

答案:B

12已知集合A={t|t2-4≤0},对于满足集合A的所有实数t,关于x的不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,则x的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)∪(3,+∞)

B.(-∞,1)∪(3,+∞)

C.(-∞,-1)

D.(3,+∞)

解析:由题意知A={t|-2≤t≤2},设f(t)=(x-1)t+x2-2x+1,由条件知f(t)在区间[-2,2]上恒为正值.

于是

解得x>3或x<-1.

答案:A

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)

13某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于　　　　. 

解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,

所以Sn-1+2n)≥100.所以2n≥51,n≥6.

答案:6

14已知点P(x,y)的坐标满足条O为坐标原点,则|PO|的最小值等于　　　　　,最大值等于　　　　　. 

答案:

15在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,ca与b的大小关系是　　　　　. 

解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos 120°.

∵c2a2=a2+b2+ab,

即a2=b2+ab,a2-b2=ab>0.

∴a2>b2,即a>b.

答案:a>b

16已知数列{an}满足a1=t,an+1-an+2=0(t∈N*,n∈N*).记数列{an}的前n项和的最大值为f(t),则f(t)=　　　　　. 

答案:

三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17(12分)设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.

解(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9,

所以数列{an}的通项公式为an=11-2n.

(2)由(1)知,Sn=nan-n2.

因为Sn=-(n-5)2+25,

所以当n=5时,Sn取得最大值.

18(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C岛,经测算,A船行驶了1B船的速度.

解如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=1∠ABC=120°.

由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos 120°,

即700=100+BC2+10BC,得BC=20.

设B船速度为v,行驶时间),路程为BC=20海里,则有v/时),即B船的速度为15海里/时.

19(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满

(1)求角A的大小;

(2)若a=△ABC面积的最大值.

解(1)因(2c-b)cos A=acos B.

由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,

整理得2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B.

所以2sin Ccos A=sin (A+B)=sin C.

在△ABC中,0<C<π,所以sin C≠0.

所以cos A0<A<π,故A

(2)由(1)得Aa=

则cos Ab2+c2=bc+20.

由基本不等式,得b2+c2≥2bc,

则bc+20≥2bc,所以bc≤20,当且仅当b=c时,等号成立,

故三角形的面积SA=

所以△ABC面积的最大值

20(12分)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数n项和.

解(1)设等差数列{an}的公差为d,

由已知条件可

解

故数列{an}的通项公式为an=2-n.

(2)设数n项和为Sn,

即Sn=a

则S1=a1=1,

∵当n>1

=

=

∴Sn

当n=1时,S1=1也符合该公式.

综上可知,数n项和Sn

21(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集,其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?

解设片集甲播放x集,片集乙播放y集,

则

要使收视率最高,则只要z=60x+20y最大即可.

M(2,4).

由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y取得最大值200万.

故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.

22(14分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Tn为数≤λan+1对任意n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.

解(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知d=1或d=0(舍去),

因此a1=2.故an=n+1.

(2)∵由(1)可

∴Tn

∵Tn≤λan+1对任意n∈N*恒成立,

≤λ(n+2),

即λ≥n∈N*恒成立.

当且仅当n=2时,取“=”.

∴λ的最小值.