专题18 等腰直角三角形构建三垂直全等问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题18  等腰直角三角形构建三垂直全等问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·无锡市玉祁初级中学八年级月考）如图，，，，，垂足分别为、，，，则的长（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

证△CEB和△ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到结论；

【详解】

解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E=∠ADC=90°，

∴∠EBC+∠BCE=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠EBC=∠DCA，

在△CEB和△ADC中，

∴△CEB≌△ADC

∴BE=DC，CE=AD

∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，

∴CE=1.7cm，

∴DC=CE-DE=0.8cm，

∴BE=0.8cm；

故选：A．

【点睛】

本题考查垂直性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键．

例2．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，斜边交线段于点，若，则的长为________．

【答案】3

【分析】

作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，由勾股定理得出BC＝6，证出DG是△ABC的中位线，得出DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4，证明△MDG≌△EMH（ASA），得出MG＝EH，由三角形面积关系得出DG＝2EH＝3，得出MG＝EH＝，再证明∆DGF~∆EHF，从而求出GF，进而即可得出答案．

【详解】

作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，如图所示：

则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，

∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC＝，

∵DG∥BC，D是AB的中点，

∴DG是△ABC的中位线，

∴DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4，

∵△DME是等腰直角三角形，

∴∠DME＝90°，DM＝ME，

∵∠DMG＋∠GDM＝∠DMG＋∠EMH＝90°，

∴∠GDM＝∠EMH，

在△MDG和△EMH中，

∴△MDG≌△EMH（ASA），

∴MG＝EH，

∵S△MDF＝2S△MEF，

∴DG＝2EH＝3，

∴MG＝EH＝，

∵DG∥EH，

∴∆DGF~∆EHF，

∴，

∵GH=MH-MG=DG-MG=3-=，

∴GF=×=1，

∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3，

故答案是：3．

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．

例3．（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点．

（1）当时，求直线的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图2所示，设线段延长线上一点，作直线，过、两点分别作于点，于点，若，BN=3，求的长；

（3）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，试猜想的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．

（4）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边，点为直角顶点，在第二象限作等腰直角，则动点在直线______上运动．（直接写出直线的解析式）

【答案】（1）y＝x＋5；（2）7；（3）的面积不改变，；（4）y=5-x．

【分析】

（1）令y＝0可求得x＝−5，从而可求得点A的坐标，令x＝0得y＝5m，由OA＝OB可知点B的纵坐标为5，从而可求得m的值；

（2）依据AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质可知ON＝AM，OM＝BN，最后由MN＝AM＋BN可求得MN的长；

（3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG＝5，然后证明△BFP≌△GEP，从而得到BP＝GP＝BG，进而求出的面积；

（4）由△ABO≌△BEG，得BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0），从而得到点E的坐标，进而即可得到答案．

【详解】

（1）令y=0，代入，得，解得：x=-5，

令x=0，代入，得y=5m，

∴A（−5，0），B（0，5m），

∵OA＝OB，

∴5m＝5，即m＝1．

∴直线的解析式为：y＝x＋5；

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，

∴∠AMO＝∠BNO＝90°，

∴∠AOM＋∠MAO＝90°，

∵∠AOM＋∠BON＝90°，

∴∠MAO＝∠NOB，

在△AMO和△ONB中，

，

∴△AMO≌△ONB，

∴ON＝AM，OM＝BN．

∵AM＝4，BN＝3，

∴MN＝AM＋BN＝7；

（3）的面积不改变，理由如下：

如图3所示：过点E作EG⊥y轴于G点，连接AP，

∵△AEB为等腰直角三角形，

∴AB＝EB，∠ABO＋∠EBG＝90°，

∵EG⊥BG，

∴∠GEB＋∠EBG＝90°．

∴∠ABO＝∠GEB．

在△ABO和△EGB中，

∴△ABO≌△BEG，

∴BG＝AO＝5，OB＝EG，

∵△OBF为等腰直角三角形，

∴OB＝BF，

∴BF＝EG．

在△BFP和△GEP中，

∴△BFP≌△GEP，

∴BP＝GP＝BG＝，

∴的面积=BP∙OA=××5=；

（4）由（3）可知：△ABO≌△BEG，

∴BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0）

∴OG=5+5m，

∵点E在第二象限，

∴点E（-5m，5+5m），

设x=-5m，y=5+5m，

∴y=5-x，即动点在直线y=5-x上运动，

故答案是：y=5-x．

【点睛】

本题主要考查一次函数的图像和性质与几何图形的综合，添加合适的辅助线构造“一线三直角”全等三角形模型，是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，反比例函数的图象经过等腰直角三角形的顶点和顶点，反比例函数的图象经过等腰直角三角形的顶点，，边交轴于点，若，点的纵坐标为1，则的值是（    ）

A． B． C． D．-6

2．（2020·福建龙岩市·八年级期末）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以为腰作等腰直角三角形，则直线的解析式是（    ）

A． B． C． D．或

二、填空题

3．（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）如图，点的坐标为，点的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰，连接交轴于点，点的坐标是______．

4．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，点在线段上，于，于，，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿…运动），当点到达终点时，，同时停止运动.过，分别作的垂线，垂足为，.设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为__________．

三、解答题

5．（2021·上海九年级专题练习）已知是等腰直角三角形，，．直角顶点C在x轴上，锐角顶点B在y轴上，过点A作轴，垂足为点D．当点B不动，点C在x轴上滑动的过程中．

（1）如图1，当点C的坐标是，点A的坐标是时，请求出点B的坐标；

（2）如图2，当点C的坐标是时，请写出点A的坐标；

（3）如图3，过点A作直线轴，交y轴于点E，交BC延长线于点F．AC与y轴交于点G．当y轴恰好平分时，请写出AE与BG的数量关系．

6．（2020·四川大学附属中学西区学校八年级期中）在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．

（1）如图①，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰，若已知，，试求C点的坐标．

（2）如图②，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为b，以B为顶点， 为腰作等腰，当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，求式子的值．

（3）如图③，E为x轴负半轴上的一点，且，于点F，以OB为边作等边，连接EM交OF于点N，求式子的值．