专题22 互补性旋转问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题22  互补性旋转问题

【规律总结】

1、全等型—90°

已知：，平分，、在、上

结论：（1）

（2）

（3）

2、全等型—90°变式：

已知：，平分，在反向延长线上，在上

结论：（1）

（2）

（3）

3、全等型—120°

已知：，，平分，、在、上

结论：（1）

（2）

（3）

4、全等型—任意角

【典例分析】

例1．（2019·全国八年级专题练习）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）.

A．2 B．3 C．6 D．8

【答案】B

【分析】

如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答.

【详解】

解：如图，

连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，
则，，
，
，
≌，
四边形AENF的面积等于的面积，
而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为．
故选B．

【点睛】

本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的．

例2．（2021·上海九年级专题练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________

【答案】

【分析】

过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题；

【详解】

解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，

∵，

，

∴≌

，

 ，

，

即，

，

故答案为．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

例3．（2020·江苏盐城市·汇文实验初中八年级月考）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；

探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．

探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．

实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．

【分析】

延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；

探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；

探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；

实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．

【详解】

解：EF=AE+CF

理由：延长到G，使，连接，

在△BCG和△BAE中，

，

∴（SAS），

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE+∠CBF=60°，

∴∠CBG+∠CBF=60°，

即∠GBF=60°，

在△BGF和△BEF中，

，

∴△BGF≌△BEF（SAS），

∴GF=EF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．

理由：延长到G，使，连接，

在△BCG和△BAE中，

，

∴（SAS），

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=2∠MBN，

∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，

∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，

即∠GBF=∠ABC，

在△BGF和△BEF中，

，

∴△BGF≌△BEF（SAS），

∴GF=EF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．

理由：延长到G，使，连接，

∵，∠BCG+∠BCD=180°，

∴∠BCG=∠BAD

在△BCG和△BAE中，

，

∴（SAS），

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=2∠MBN，

∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，

∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，

即∠GBF=∠ABC，

在△BGF和△BEF中，

，

∴△BGF≌△BEF（SAS），

∴GF=EF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，

∴∠EOF=∠AOB

∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，

∴符合探索延伸中的条件

∴结论EF= AE+CF仍然成立

即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）

答：此时两舰艇之间的距离为210海里．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2019·清华附中上庄学校八年级期末）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论

①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，

其中正确结论的个数是（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

2．（2017·重庆开州区·九年级期末）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．

3．（2018·湖北武汉市·八年级月考）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．

三、解答题

4．（2020·江西萍乡市·八年级期末）（课题研究）旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．

（问题初探）线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．

（1）如图①，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为　   　；

（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；

（形成结论）旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角　   　．

（运用拓广）运用所形成的结论解决问题：

（3）如图③，四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝，求AD的长．

5．（2019·重庆北碚区·西南大学附中八年级月考）如图1，四边形ABCD中，BD⊥AD，E为BD上一点，AE＝BC，CE⊥BD，CE＝ED

（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；

（2）如图2，F为AD上一点，AF＝DE，连接BF，交BF交AE于G，过G作GH⊥AB于H，∠BGH＝75°．求证：BF＝2GH+EG．

6．（2020·济宁市实验初中九年级月考）阅读下面材料：

小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．

参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_       关系时，仍有EF=BE+DF；

（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．