专题21 双等腰旋转问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题21  双等腰旋转问题

【规律总结】

 “双等腰旋转”是旋转型全等的重要组成部分，也是初中阶段常考的重要题型.与平移、对称类似，利用全等将线段或角的位置转移，把分散的条件集中在一起，在选择题、填空题、解答题经常出现.解答这类问题的关键是掌握基本模型的结构.

【基本模型】

1.已知条件当中若存在两个等腰三角形其顶角顶点重合，则本身就存在双等腰旋转全等：








 

2.已知条件当中若只存在一个等腰三角形，可以利用“已知等腰、构造等腰”的思路构造双等腰旋转：



 

【典例分析】

例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（　　）

A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°

【答案】D

【分析】

根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证△ACD≌△BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，则可计算出∠BEF的度数．

【详解】

解：由旋转性质可得： CD＝CE，∠DCE＝90°．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝45°．

∴∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．

即∠ACD＝∠BCE．

∴△ACD≌△BCE．

∴∠CBE＝∠A＝45°．

∵AD＝BF，

∴BE＝BF．

∴∠BEF＝∠BFE＝ 67.5°．

故选：D．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．

例2．（2020·山西八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则___________度．

【答案】132

【分析】

先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．

【详解】

解：∵，∴，

在和中，，

∴，∴，

∵，

∴，∴，

∴．

故答案为132

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．

例3．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．

（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．

（2）设，．

①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．

【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析

【分析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；

（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；

②由“SAS”可证△ADB≌△AEC得出∠ABD=∠ACE，再用三角形外角的性质即可得出结论．

【详解】

（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴∠ABC=∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

故答案为：90；

（2）①．

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．

∵∠ACE+∠ACB=β，

∴∠B+∠ACB=β，

∵α+∠B+∠ACB=180°，

∴α+β=180°；

② 当点在射线的反向延长线上时，．

理由如下：

∵，

∴，

在△ABD与△ACE中，

，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴，即．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD≌△ACE是解本题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·全国八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF． 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（      ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【答案】D

【分析】

由题意易得，根据全等三角形的性质可进行分析排除．

【详解】

解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC，∠FAC=∠FAB+∠BAC，

∠BAG=∠FAC，AB=AF，AC=AG，，

BG=FC，∠AGB=∠ACF，故①正确；

∠AGC=∠AGB+∠BGC，∠GCF=∠ACF+∠GCA，∠GCA=∠AGC，

∠BGC+∠FCG=∠AGC-∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，

BG⊥CF，故②正确；

∠FAE+∠BAD=90°，AD⊥BC，

∠BAD+∠ABD=90°，∠FAE=∠ABD，故③正确；

如图，设GH与FC交于H点，连接EH，由①②③易得∠FHE=∠EHF，所以EF=EH，

即EF=EH=EG，故④正确；

故选D．

【点睛】

本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．

2．（2019·北京市八一中学）如图，，与的平分线相交于点，于点，为中点，于，．下列说法正确的是(　　)

①；②；③；④若，则．

A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④

【答案】C

【分析】

根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到从而根据三角形的内角和定理得到，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知，再由角平分线的定义与等量代换可知，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出的度数，再求出，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．

【详解】

①中，∵AB∥CD，

∴，

∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，

∴，

∵，

∴

∴AG⊥CG，

则①正确；

②中，由①得AG⊥CG，

∵，，

∴根据等角的余角相等得，

∵AG平分，

∴，

∴，

则②正确；

③中，根据三角形的面积公式，∵为中点，∴AF=CF，∵与等底等高，∴，则③正确；

④中，根据题意，得：在四边形GECH中，，

又∵，

∴，

∵CG平分∠ECH，

∴，

根据直角三角形的两个锐角互余，得.

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，则④错误.

故正确的有①②③，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.

二、填空题

3．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．

【答案】PA2+PB2=2PC2

【分析】

把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；

【详解】

解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB，
∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
故答案为PA2+PB2=2PC2.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.

4．（2020·仪征市实验中学九年级三模）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0α90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC的面积为____．

【答案】30

【分析】

设AO与BC的交点为点G，根据等腰直角三角形的性质证△AOC≌△BOD，进而得出△ABC是直角三角形，设AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再计算△ABC的面积即可．

【详解】

解：设AO与BC的交点为点G，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC＝∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，

∵∠DBO＋∠OGB＝90°，

∵∠OGB＝∠AGC，

∴∠CAO＋∠AGC＝90°，

∴∠ACG＝90°，

∴CG⊥AC，

设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，

∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∴AC2＋BC2＝AB2，

,

解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，

在直角三角形ABC中，S= ，

故答案为：30．

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．

三、解答题

5．（2020·佳木斯市第十二中学九年级期中）在正方形中，对角线、交于点，以为斜边作直角三角形，连接．

（1）如图所示，易证：；

（2）当点的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段、、之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．

【答案】（1）见解析；（2）第二幅图：，第三幅图：

【分析】

（1）在CP上截取CE=BP，连接OE，记OB与CP交于点F，根据正方形的性质证明，得到是等腰直角三角形，所以有，从而证得；

（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP上截取BE=CP，连接OE，记OC与BP交于点F，证明，得到是等腰直角三角形，可以证得；第三幅图的结论是，证明方法一样是构造三角形全等，由可以证出结论．

【详解】

解：（1）如图，在CP上截取CE=BP，连接OE，记OB与CP交于点F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB=OC，，

∵，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴；

（2）第二幅图：，

第三幅图：，

证明第二幅图的结论：

如图，在BP上截取BE=CP，连接OE，记OC与BP交于点F，

同（1）中证明的过程证明，

同理是等腰直角三角形，

∴，

∴；

第三幅图的证明过程是：如图，延长PB至点E，使BE=CP，证明，得到是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．

6．（2020·台州市书生中学八年级期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．

（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．

（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．

（3）如图2，若BC⊥BO，BC＝BO，作BD⊥CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE＝BE+CE．

【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析

【分析】

（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；

（2）可通过证明△ABG与△OBE全等，得到∠APO＝30°，再通过含30°的直角三角形的性质可以推导AP＝2AO；

（3）做辅助线在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，

再通过边角转换证明△ABE与△CBM 全等，即可得到△BEM为等边三角形，从而可证AE＝AM+EM＝CE+BE.

【详解】

解：（1）如图1，△AOB为等边三角形，理由是：

∵将绕OB绕O点旋转至OA

∴∠AOB=60°，

∵AO＝AB

∴△AOB为等边三角形；

（2）AP＝2AO，理由为：

证明：∵△AOB与△BGE都为等边三角形，

∴BE＝BG，AB＝OB，∠EBG＝∠OBA＝60°，

∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA，即∠ABG＝∠OBE，

在△ABG和△OBE中，

∴△ABG≌△OBE（SAS），

∴∠BAG＝∠BOE＝60°，

∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，

∵∠GAO为△AOP的外角，且∠AOP＝90°，

∴∠APO＝30°

在Rt△AOP中，∠APO＝30°，

则AP＝2AO．

（3）补全图形，

在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，

∵△AOB 为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，

∴∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，

∵D为CO的中点，

∴BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，

∴∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，

∴∠BAC＝∠BCA＝15°，

∴∠AEB＝15°+45°＝60°，

在△ABE和△CBM 中，

∵

∴△ABE≌△CBM （SAS），

∴BM＝BE，

∴△BEM为等边三角形，

∴BE＝EM，

∴AE＝AM+EM＝CE+BE；

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质，以及做辅助线证明全等的方法，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质以及做辅助线证明全等的技巧和方法.