专题09 新定义问题（2）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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※知识精要
新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题
目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义
的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。
※要点突破
解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
【典例分析】
例1．（2020·东北师大附中明珠学校八年级期中）若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【分析】
根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（），f（），…f（）的值，再计算结果即可．
【详解】
由f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（）＝1，f（）＝2，
f（）＝2，f（）＝2，f（）＝2，
f（）＝3，f（）＝3，f（）＝3，
∴f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，
故选：D．
【点睛】
本题考查了新定义问题，准确理解新定义的基本意义是解题的关键.
例2．（2020·浙江宁波市·七年级期末）现定义两种运算“”“ *”，对于任意两个孩数，，，则的结果是_________．
【答案】90
【分析】
首先理解两种运算“⊕”“*”的规定，然后按照混合运算的顺序，有括号的先算括号里面的，本题先算6⊕8，3⊕5，再把它们的结果用“*”计算．
【详解】
解：由题意知，（6⊕8）*（3⊕5）=（6+8-1）*（3+5-1）=13*7=13×7-1=90．
故答案为：90．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算．考查了学生读题做题的能力．理解两种运算“⊕”“*”的规定是解题的关键．
例3．（2021·广东佛山市·七年级期末）对于有理数、，定义了一种新运算“※”为：
如：，．
（1）计算：①______；②______；
（2）若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值；
（3）若，，且，求的值．
【答案】（1）①5；②；（2）1；（3）16．
【分析】
(1)根据题中定义代入即可得出；
(2)根据，讨论3和 的两种大小关系，进行计算；
(3)先判定A、B的大小关系，再进行求解．
【详解】
（1）根据题意：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
① 若，
则，解得，
②若，
则，解得(不符合题意)，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，
得，
∴．
【点睛】
本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键．
【好题演练】
一、单选题
1．（2020·北京西城区·北师大实验中学七年级期中）一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式．例如，是对称整式，不是对称整式．
①所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该和仍为对称整式；
②一个多项式是对称整式，那么该多项式中各项的次数必相同
③单项式不可能是对称整式
④若某对称整式只含字母，，，且其中有一项为，则该多项式的项数至少为3．
以上结论中错误的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】
根据对称整式的概念逐一辨析即可．
【详解】
①两个对称整式求和后，与原来对称整式的字母相同，且项数次数等都相同，则这个整式仍然是对称整式，故正确；
②例如：是对称整式，但是每一项的次数不相同，故错误；
③例如：是单项式，也是对称整式，故错误；
④已知其中一项为，
若互换，则有项为：；
若互换，则有项为：，；
若互换，则有项为：；
∴该多项式的项数至少为6，
综上，结论错误的有②③④，
故选：B．
【点睛】
本题考查整式的新定义问题，仔细审题，理解题意是解题关键．
2．（2021·全国七年级）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．6858B．6860C．9260D．9262
【答案】B
【分析】
由可得≤，再根据和谐数为正整数，得到1≤n≤9，可得不超过2019的正整数中，“和谐数”共有10个，依次列式计算即可求解．
【详解】
解：由≤2019，可得≤，
∵和谐数为正整数，
∴1≤n≤9，且为正整数，
则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为…+=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方、整式的乘法与乘法公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
二、填空题
3．（2020·东北师大附中明珠学校八年级期中）对于任意实数，若规定＝ad﹣bc，则当x2﹣2x﹣5＝0时，＝_____．
【答案】9
【分析】
原式利用题中的新定义化简，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
则原式＝（x+1）（x﹣1）﹣x（4﹣x）
＝x2﹣1﹣4x+x2
＝2x2﹣4x﹣1
＝2（x2﹣2x）﹣1
＝10﹣1
＝9．
故答案为：9．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键。
4．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”，若等腰三角形有一个内角为80°，则它的特征值_________．
【答案】或
【分析】
可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．
【详解】
解：①当80°为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：（180-80）÷2=50°，
∴特征值k=80÷50=，
②当80°为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°＝20°
∴特征值k=20÷80=，
综上所述，特征值k为或，
故答案为或．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．
三、解答题
5．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
（2）深入探究
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上试探究线段与的数量关系，并给予证明；
【答案】（1）①是；②；（2）证明见解析．
【分析】
（1）①设等腰直角三角形的直角边长为，再求解斜边的长为，由结合勾股高三角形的定义可得答案； ②根据勾股定理得到根据勾股高三角形的定义得到，再列方程，解方程可得答案；
（2）由△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，可得： 再由勾股定理可得：，从而可得结论．
【详解】
解：（1）①设等腰直角三角形的直角边长为，
则斜边长，
∵等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
② ，，
由勾股定理可得：
∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，
∴，
∴，

解得，（负根舍去）；
（2）AD=CB，
证明如下：∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，
∴，


∴
∴，
都为线段，
∴．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，勾股高三角形的定义，利用平方根的含义解方程，等腰直角三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．
6．（2020·全国九年级专题练习）若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b．定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．
（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；
（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．
【答案】（1）6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；（2）这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．
【分析】
（1）根据“尼尔数”的定义，设P表示的数为x（x是能被3整除的自然数），则，分别令，，解方程，判断x的解是不是能被3整除的自然数即可；证明所有“尼尔数”一定被9除余3时，可设P表示的数为3m，则K可化为9m2＋3，由m为整数得9m2＋3被9除余3；
（2）设这两个尼尔数分别是K1，K2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P1，P2分别记为3m1，3m2，则K1－K2＝9m12－9m22＝189，m12－m22＝21，再根据m1，m2都是整数，可解出m1，m2，从而得到K1，K2．
【详解】
(1)设P表示的数为x（x是能被3整除的自然数），则，，
，
令，得，令，得，
∴6不是尼尔数，39是尼尔数．
证明：设P表示的数为3m，则a＝(3m－1)，b＝(3m＋1)，
K＝(3m－1)2＋(3m＋1)2－(3m－1)(3m＋1)＝9m2＋3，
∵m为整数，∴m2为整数，
∴9m2＋3被9除余3；
(2)设这两个尼尔数分别是K1，K2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P1，P2分别记为3m1，3m2.
∴K1－K2＝9m12－9m22＝189，
∴m12－m22＝21，
∵m1，m2都是整数，
∴，
∴，
∴.
∴这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用、方程的整数解问题、学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键．