专题37 （双）X型相似问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题37  （双）X型相似问题

【规律总结】

已知：∠ABD=∠ACD

结论：相似三角形：                     

相似三角形：                     

【典例分析】

例1．（2020·渠县第二中学九年级期末）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于　　

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】

因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，
∴CE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，
∴△CEF∽△ADF，

∴

∴

解得DF=8，
故选：D．

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．

例2．（2020·山东九年级二模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN=45°，则下列结论：①MN=BM+DN；②△AEF∽△BEM；③=；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是______．（填写正确序号）

【答案】①②③④

【分析】

将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，根据正方形的性质和且∠MAN=45°可证明MN=BM+DN；根据BD是正方形ABCD的对角线，推出∠EBM=∠MAN=45°，于是得到△AEF∽△BEM；根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△FEM，根据相似三角形的性质得到∠EMF=∠ABE=45°，推出△AFM是等腰直角三角形，于是得到；根据全等三角形的性质得到AF=CF，等量代换得到△FMC是等腰三角形．

【详解】

将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，

∴∠M′AD=∠MAB，AM′=AM，BM=DM′，

∵∠MAN=45°，

∴∠DAN+∠MAB=45°，

∴∠M′AN=∠DAN+∠M′AD=∠DAN+∠MAB=45°，

在△AMN和△AM′N中，

，

∴△AMN≌△AM′N（SAS），

∴MN=NM′，

∴M′N=M′D+DN=BM+DN，

∴MN=BM+DN；故①正确；

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠EBM=45°，

∵∠MAN=45°，

∴∠EBM=∠MAN=45°，

∵∠AEF =∠BEM，

∴△AEF∽△BEM，故②正确；

∴，即，

∵∠AEB=∠MEF，

∴△AEB∽△FEM，

∴∠EMF=∠ABE=45°，

∵∠MAN=45°，

∴△AFM是等腰直角三角形，

∴，故③正确；

在△ADF与△CDF中，

，

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴AF=CF，

∵AF=MF，

∴FM=FC，

∴△FMC是等腰三角形，故④正确；

故答案为：①②③④．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

例3．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形中，，点、是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点．

（1）求的长；

（2）设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示）

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）由△ADE∽△GBE，可求出BG的长，再由△HDF∽△GBF，即可求出HD的长；

（2）由△ADE∽△GBE，可求出S△ADE=4S△BGE=4a，再由△HDF∽△GBF，即可求出S△DHF=S△BGF，由三角形的面积公式可求出S△DHF=S△BGF，进而可求四边形的面积．

【详解】

解：（1）∵四边形是平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC=8，

∴△ADE∽△GBE，

∴．

∵，

∴BG=AD=4．

∵AD//BC，

∴△HDF∽△GBF，

∴．

∵，

∴HD=BG=2；

（2）∵△ADE∽△GBE， ，

∴S△ADE=4S△BGE=4a．

∵△HDF∽△GBF，

∴S△DHF=S△BGF．

∵，

∴S△BGF=2S△BGE，

∴S△DHF=S△BGE=a，

∴．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2018·河南九年级其他模拟）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接CD、OD．下列四个结论：①ACOD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④∠ADC=∠BOD．其中正确结论的序号是（   ）

A．①④ B．①②④ C．②③ D．①②③④

2．（2020·河北九年级一模）    如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，且AB＝BC＝4，AD＝2，点E是边BC上的一个动点，EF⊥BC交AD于点F，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为3，则BE的长为（　　）

A．或 B． C． D．或4+

二、填空题

3．（2020·上海浦东新区·九年级三模）如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．

4．（2020·江苏扬州市·九年级一模）如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点C（-1，0），点B在反比例函数的图像上，且y轴平分∠BAC，则k的值是_________．

三、解答题

5．（2021·全国九年级）已知如图，这正方形ABCD中，AB＝4，M是边AD的中线，E是边AB上的一个动点，GM⊥EM交边DC于点P，交边BC的延长线于点G，延长EM交边CD的延长线与F，联结FG

（1）求证：△AME∽△CPG；

（2）设A，E两点的距离为x，△CFG的面积为y，求x，y之间的函数关系式及定义域；

（3）当△PFG时等腰三角形时，求AE的长．

6．（2019·瑞安市新纪元实验学校九年级期末）如图，在中，，，以为直径作半圆交于点，过点的切线交于点，交于点，的延长线与相交于点，若，求，的长．