专题12 倍长中线问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题12  倍长中线问题

【规律总结】

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【典例分析】

例1．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（    ）

A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4

【答案】B

【分析】

先延长到，且，并连接，由于，，利用易证，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，可得，从而易求．

【详解】

解：延长到，使，连接，则AE=2AD，

∵，，，

∴，

，

在中，，

即，

∴．

故选：．

【点睛】

此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

例2．（2019·山东临沂市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．

【答案】4

【分析】

根据垂直的定义得到∠BCD=，延长CD到H使DH=CD，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．

【详解】

∵ DC⊥BC，

∴ ∠BCD=，

∵ ∠ACB=，

∴ ∠ACD=，

如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，

∵ D 为 AB 的中点，

∴ AD=BD，

在 ΔADH 与 ΔBCD 中，

，

∴ ΔADH≅ΔBCD(SAS)，

∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，

∴点A到CD的距离为4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．

例3．（2021·辽宁葫芦岛市·九年级期末）在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转．

（1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________；

（2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；

（3）旋转过程中，若当时，直接写出的值．

【答案】（1）；（2）具有，证明见解析；（3）14或．

【分析】

（1）；当点落在的延长线上时，∠ADE=90º，点为的中点，直角三角形斜边中线的性质，再证△ACE≌△BCE（SAS）利用性质得AE=BE即可；

（2）成立（具有）延长到点，使，连接，由点为的中点，可知是的中位线，有结论，先证，再证，即可；

（3）分两种情况∠BCD再BC的左边与右边，构造Rt△ECH，∠HCE =60º或Rt△CGE，∠GCE=30º，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）结论即可．

【详解】

（1）当点落在的延长线上时，∠ADE=90º，

∵点为的中点，

∴AF=EF=FD，

∴，

∵BC=AC，∠ACB=90º，CD=DE，∠CDE=90º，

∴∠DCE=∠DEC=45º，

∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90º+45º=135º，

∴∠ACE=360º-∠ACB-∠BCE=360º-90º-135º =135º=∠BCE，

∵CE=CE，

∴△ACE≌△BCE（SAS），

∴AE=BE，

∴，

故答案为：；

（2）成立（具有）

证明：

延长到点，使，连接，

∵点为的中点，

∴是的中位线，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）14或．

过E作EH⊥BC于H，

∴在Rt△ECD中，CE=2，

∵∠BCD=105º，

∴∠HCE=105º-∠DCE=60º，

∴CH=，EH=，

∵BC=，

∴BH=BC-CH=-，

∴FD2=；

延长BC，过E作EG⊥BC于G，

∵∠BCD=105º，∠DCE=45º，

∴∠GCE=180º-∠ACD-∠DCE=30º，

∴GE=，

∴CG=，

∴

∴FD2=．

综上所述，的值为或．

【点睛】

本题考查直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，三角形的旋转变换，三角形中位线，解直角三角形，勾股定理的应用，涉及的知识多，习题难度大，关键是利用数形结合的思想画出准确的图形，画图时应注意分类来画是解题关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2021·全国八年级）如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　

A． B． C． D．以上都有可能

【答案】C

【分析】

如图，延长ED到T，使得DT＝DE，连接CT，TF，证明△EDB≌△TDC（SAS），推出BE＝CT，由CT＋CF＞FT，可得BE＋CF＞EF．

【详解】

解：如图，延长到，使得，连接，．

，，

，

在和中，

，

，

，

，

，

故选：．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．（2020·四川绵阳富乐国际学校）如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】

①根据面积法可得，，从而可得①正确；②由是中线，无法得出，故可判断②错误；③运用SAS证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在上截取，连接，运用证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④．

【详解】

解：①过作于，于，过作于，

是角平分线，，，

，

，

，

，故①正确；

②

，

平分，

，

是中线，

无法得出，故②错误；

③延长到使，连接，

是中线，

，

在和中，

在中，

，，

，故③正确；

④在上截取，连接，

是角平分线，

，

在和中，

，

，

在中，，

，

即，故④正确；

综上①③④正确．

故选B．

【点睛】

此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．

二、填空题

3．（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在正方形中，分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________．

【答案】

【分析】

根据中点这个条件考虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形，综合等腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方形的边长，最后利用三角函数值快速求解．

【详解】

如图，连接B ，延长交于点，则，，

根据翻折的性质可得为等腰三角形，，

作于点，设，则正方形边长为，

则，，，，

由，得，则，解得，

则，

设，则，

设，则，

此时作，，

，则，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，及三角函数的应用，综合性比较强，难度较大，熟练掌握做辅助线的方法是解决问题的一个关键点，再有就是结合图中构造出的全等或相似，准确列式计算也是本题的一个关键点．

4．（2020·成都市树德实验中学九年级月考）如图，在矩形中，分别为边，的中点，与、分别交于点、．已知，，则的长为______________．

【答案】

【分析】

延长，交于，已知，，则，因为为中点，即可得，通过，根据对应边成比例可得FN、CN的长；同理延长，交于点，即可求出CM的长，即可得MN．

【详解】

解：延长，交于，

∵四边形为矩形，，

∴，，，

∵为中点，∴，

在中，，

由勾股定理得：，

∵，，为中点，，

∴，

在与中，，

∴，

∴，即，

∵，∴，∴，

∵，∴，，

延长，交于点，

∵为中点，∴，

在与中，

∴，∴，

∴，，

∴，∵，∴，

∴，∴，

∴

，

即的长度为．

【点睛】

本题考查全等三角形、相似三角形的判定与性质相结合，注意构造辅助线构造8字型全等及相似是解题的关键，属于中等偏难题型．

三、解答题

5．（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）阅读理解：

（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．

（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．

（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】

（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，

（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系，

（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，

【详解】

（1）如图1延长到点，使得，再连接，

∵AD为中线，

∴BD=CD，

在△ADC和△    EDB中，

∵CD=BD，

∠ADC=∠EDB，

AD=ED，

∴△ACD≌△EBD（SAS），

∴AC=EB=6，

，

∵，

∴，

∴，

（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，

由D为BC中点，BD=CD，

在△FDC和△GDB中，

∵CD=BD，

∠FDC=∠GDB，

FD=GD，

∴△FCD≌△GBD（SAS），

∴FC=GB，

∵，DF=DG，

∴EF=EG，

在△BEG中EG<EB+BG，即，

（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，

由是边上的中点，

∴BD=CD，

在△ADC和△GDB中，

∵CD=BD，

∠ADC=∠GDB，

AD=GD，

∴△ACD≌△GBD（SAS），

∴AC=GB，∠DAC=∠G，

∵BE=AC，

∴BE=BG，

∴∠BED=∠G=∠CAD．

【点睛】

本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，

6．（2020·重庆西南大学银翔实验中学八年级月考）在等腰和等腰中，，连为中点，连．

（1）如图1，请写出与的关系，并说明理由；

（2）将图1中的旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．

【答案】(1)OM=，理由见解析；（2）（1）结论成立，理由见解析

【分析】

（1）延长OM至E，使ME=MO，连接DE，AE，可判断四边形AODE为平行四边形，得到AO=DE，根据三角形，四边形内角和定理，结合条件可判定△BOC≌△EDO，得到BC=OE，进而得出结论；

（2）延长MO至E，使ME=OM,连接DE，AE利用（1）中的方法即可得出结论．

【详解】

（1）解：OM=，理由如下：

如图OM至E，使ME=OM，连接DE，AE

∵AM=DM，EM=OM，

∴四边形AODE为平行四边形，

∴AO=DE，

又∵AO=BO，

∴OB=DE，

∵∠BOC+∠AOD=360°－∠COD－∠AOB=180°，

又∠EDO+∠DOA=180°，

∴∠BOC=∠EDO，

又OC=OD，

在△BOC和△EDO中，

∴△BOC≌△EDO，

∴BC=OE，

又∵OM=OE

∴OM=BC；

（2）（1）中结论任然成立，理由如下：

延长OM至E，使ME=MO，连接DE，AE

∵AM=DM，EM=OM，

AODE为平行四边形，

∴AO=DE

又∵AO=BO，

∴OB=DE，

∵∠BOC+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，

又∠EDO+∠DOA=180°，

∴∠BOC=∠EDO，

又OC=OD，

在△BOC和△EDO中，

∴△BOC≌△EDO，

∴BC=OE，

又∵OM=OE，

∴OM=BC；

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题关键是正确做出辅助线利用平行四边形的性质得出全等三角形最后得出结论．