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中考经典几何模型与最值问题 专题02 倍长中线模型构造全等三角形
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这是一份中考经典几何模型与最值问题 专题02 倍长中线模型构造全等三角形，文件包含专题02倍长中线模型构造全等三角形教师版docx、专题02倍长中线模型构造全等三角形学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
专题02 倍长中线模型构造全等三角形
【专题说明】
倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【知识总结】
题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
在△ABC中 AD是BC边中线
延长AD到E， 使DE=AD，连接BE
作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE
延长MD到N， 使DN=MD，连接CD
1、如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。
解析：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,
∵D为AC中点
∴AD=DC,
在△ABD和△CED中，
BD=DE,
∠ADB=∠CDE
AD=CD
∴△ABD≌△CED（SAS）
∴EC=AB=10
在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC
10-6＜BE＜10+6
∴4＜2BD＜16
∴2＜BD＜8
2、已知，如图△ABC中，BM是AC边上的中线，求证：BM＜12(AB+BC)
解析：延长BM到D，使MD=BM,连CD
∵BM是BC边上的中线，
∴AM=CM
又BM=DM,∠AMD=∠CMB
∴△ADM≌△CBM，∴AD=BC
在△ABD中，则BD＜AD+AB
即2BM＜AC+BC
∴BM＜12(AB+BC)
3、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.
解析：延长FE,截取EH=EG,连接CH
可证得：△BEG≌△CEH（SAS）
∴∠BGE=∠H,BG=CH
∵CF=BG,
∴CH=CF,∴∠F=∠H=∠FGA
∵EF∥AD
∴∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA[
∴∠CAD=∠BAD
∴AD平分∠BAC.
4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.
解析：延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH,
∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线
∴∠1=∠4=12∠ADB,∠3=∠5=12∠ADC
又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2
∴∠4+∠5=∠2+∠3=90°
∴△EFD≌△HFD（AAS）
∴EF=FH
在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH
在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH
∵CH=BE,FH=EH
∴BE+CF＞EF.
5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？
解析：连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG,
∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G[来
在△DFC和△BDG中，，∴△DFC≌△BDG(AAS)
∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB
又∵ED⊥FD,∴EF=EG
∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°
∴△EBG为直角三角
∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形
【基础训练】
1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.
【解析】倍长AD至点M，得8字全等△BMD≌△CAD（AAS）
∵AF=EF
∴∠FAE=∠FEA，BE=BM
∴AC=BM=BE
2、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.
解析：倍长FD至点M得8字全等△FED≌△MCD（AAS），
所以EF=CM=AC
∴∠CAD=∠EFD=∠BAD
∴EF∥AB
3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.
分析：倍长CE至点M，连BM，证△DCB≌△MCB
如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC,AD=AE，求证：AM⊥CD
解析：倍长AM至点F，连BF和EF，
可证△ABF≌△CAD（SAS）
∠C+∠CAF=∠BAF+∠CAF=90°
∴AM⊥CD
4、如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？
解析 ：如图，延长GE交CB的延长线于点H
∵AD∥BC[
∴∠GAE=∠HBE
∵E为AB边的中点
∴AE=BE
在△AGE和△BHE中，∴△AGE≌△BHE（ASA），∴BH=AG，HE=GE
∵GE⊥EF
∴GF=HF
∵BF=2，AG=1
∴GF=HF=BF+BH =BF+AG =2+1 =3
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，求证：AB=AC．
方法1：
如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴AC=BE，∠E=∠2[来
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2：
如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2
在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（AAS），∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
【巩固提升】
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．
（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．
（2）求证：△ACD≌△EBD．
（3）求证：AB+AC >2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
解析：（1）如图，
（2）证明：如图，∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD
在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS）
（3）证明：如图，
∵△BDE≌△CDA，∴BE=AC，又∵DE=AD，∴AE=2 AD
在△ABE中，AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD
（4）在△ABE中，ABBE由（3）得 AE=2AD，BE=AC
∵AC=3，AB=5，∴532、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：AB=AC．
证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC=EB，∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
3、如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．
求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线，∴BD=AD
在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（SAS），∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB是△AEC的中线，∴BE=AB
∵AC=AB，∴BE=BF
∵∠1=∠F，∴BF∥AC，∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB，∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°，∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中，，∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠2=∠3
∴CE=2CD
CB平分∠DCE
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F，求证：∠AEF=∠EAF．
证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM
∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS）
∴∠1=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线．
证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM
∵点E是BC的中点，∴BE=CE
在△CFE和△BME中，，∴△CFE≌△BME（SAS），∴CF=BM，∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠1=∠M
∴∠1=∠F
∵AD∥EF
∴∠3=∠F，∠1=∠2
∴∠2=∠3
即AD为△ABC的角平分线
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．
解析：如图，延长AF交BC的延长线于点G
∵AD∥BC，
∴∠3=∠G
∵点F是CD的中点
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中，，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠1=∠B
∵AB⊥AF
∴∠1+∠2=90°，∠B+∠G=90°
∴∠2=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EGCG=52.7=2.3
如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．
求证：EG=CG且EG⊥CG．
证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M
由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°，∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD，∴∠FEG=∠M
∵点G为FD的中点，∴FG=DG
在△FGE和△DGM中，，∴△FGE≌△DGM（AAS），∴EF=MD，EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB，∴BE=MD
在正方形ABCD中，BC=CD[
∴BE+BC=MD+CD，即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG，∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°
∴∠2=∠3=45°
∴EG=CG
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
专题02 倍长中线模型构造全等三角形
【专题说明】
倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【知识总结】
题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
在△ABC中 AD是BC边中线
延长AD到E， 使DE=AD，连接BE
作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE
延长MD到N， 使DN=MD，连接CD
1、如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。
解析：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,
∵D为AC中点
∴AD=DC,
在△ABD和△CED中，
BD=DE,
∠ADB=∠CDE
AD=CD
∴△ABD≌△CED（SAS）
∴EC=AB=10
在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC
10-6＜BE＜10+6
∴4＜2BD＜16
∴2＜BD＜8
2、已知，如图△ABC中，BM是AC边上的中线，求证：BM＜12(AB+BC)
解析：延长BM到D，使MD=BM,连CD
∵BM是BC边上的中线，
∴AM=CM
又BM=DM,∠AMD=∠CMB
∴△ADM≌△CBM，∴AD=BC
在△ABD中，则BD＜AD+AB
即2BM＜AC+BC
∴BM＜12(AB+BC)
3、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.
解析：延长FE,截取EH=EG,连接CH
可证得：△BEG≌△CEH（SAS）
∴∠BGE=∠H,BG=CH
∵CF=BG,
∴CH=CF,∴∠F=∠H=∠FGA
∵EF∥AD
∴∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA[
∴∠CAD=∠BAD
∴AD平分∠BAC.
4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.
解析：延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH,
∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线
∴∠1=∠4=12∠ADB,∠3=∠5=12∠ADC
又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2
∴∠4+∠5=∠2+∠3=90°
∴△EFD≌△HFD（AAS）
∴EF=FH
在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH
在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH
∵CH=BE,FH=EH
∴BE+CF＞EF.
5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？
解析：连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG,
∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G[来
在△DFC和△BDG中，，∴△DFC≌△BDG(AAS)
∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB
又∵ED⊥FD,∴EF=EG
∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°
∴△EBG为直角三角
∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形
【基础训练】
1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.
【解析】倍长AD至点M，得8字全等△BMD≌△CAD（AAS）
∵AF=EF
∴∠FAE=∠FEA，BE=BM
∴AC=BM=BE
2、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.
解析：倍长FD至点M得8字全等△FED≌△MCD（AAS），
所以EF=CM=AC
∴∠CAD=∠EFD=∠BAD
∴EF∥AB
3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.
分析：倍长CE至点M，连BM，证△DCB≌△MCB
如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC,AD=AE，求证：AM⊥CD
解析：倍长AM至点F，连BF和EF，
可证△ABF≌△CAD（SAS）
∠C+∠CAF=∠BAF+∠CAF=90°
∴AM⊥CD
4、如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？
解析 ：如图，延长GE交CB的延长线于点H
∵AD∥BC[
∴∠GAE=∠HBE
∵E为AB边的中点
∴AE=BE
在△AGE和△BHE中，∴△AGE≌△BHE（ASA），∴BH=AG，HE=GE
∵GE⊥EF
∴GF=HF
∵BF=2，AG=1
∴GF=HF=BF+BH =BF+AG =2+1 =3
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，求证：AB=AC．
方法1：
如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴AC=BE，∠E=∠2[来
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2：
如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2
在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（AAS），∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
【巩固提升】
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．
（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．
（2）求证：△ACD≌△EBD．
（3）求证：AB+AC >2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
解析：（1）如图，
（2）证明：如图，∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD
在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS）
（3）证明：如图，
∵△BDE≌△CDA，∴BE=AC，又∵DE=AD，∴AE=2 AD
在△ABE中，AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD
（4）在△ABE中，ABBE
∵AC=3，AB=5，∴53
求证：AB=AC．
证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC=EB，∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
3、如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．
求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线，∴BD=AD
在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（SAS），∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB是△AEC的中线，∴BE=AB
∵AC=AB，∴BE=BF
∵∠1=∠F，∴BF∥AC，∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB，∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°，∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中，，∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠2=∠3
∴CE=2CD
CB平分∠DCE
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F，求证：∠AEF=∠EAF．
证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM
∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS）
∴∠1=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线．
证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM
∵点E是BC的中点，∴BE=CE
在△CFE和△BME中，，∴△CFE≌△BME（SAS），∴CF=BM，∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠1=∠M
∴∠1=∠F
∵AD∥EF
∴∠3=∠F，∠1=∠2
∴∠2=∠3
即AD为△ABC的角平分线
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．
解析：如图，延长AF交BC的延长线于点G
∵AD∥BC，
∴∠3=∠G
∵点F是CD的中点
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中，，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠1=∠B
∵AB⊥AF
∴∠1+∠2=90°，∠B+∠G=90°
∴∠2=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EGCG=52.7=2.3
如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．
求证：EG=CG且EG⊥CG．
证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M
由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°，∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD，∴∠FEG=∠M
∵点G为FD的中点，∴FG=DG
在△FGE和△DGM中，，∴△FGE≌△DGM（AAS），∴EF=MD，EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB，∴BE=MD
在正方形ABCD中，BC=CD[
∴BE+BC=MD+CD，即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG，∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°
∴∠2=∠3=45°
∴EG=CG
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