专题13 斜边上的中线问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题13  斜边上的中线问题

【规律总结】

直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”

【典例分析】

例1．（2021·上海九年级专题练习）一副三角板如图摆放，点是角三角板的斜边的中点，.当角三角的直角顶点绕着点旋转时，直角边分别与相交于点则的面积为____________．

【答案】

【分析】

连结证明，根据即可求解．

【详解】

解:连结如图，

点是角三角板的斜边的中点，

平分，

在和中，

，

．

【点睛】

此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．

例2．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上任意一点，点为的中点，过点作交于点．求证：为定值．

【答案】证明见解析

【分析】

连接CD，证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，进一步证明CE+CF=BC=，从而得到结论．

【详解】

证明：连接CD，如图，

∵△ABC是等腰直角三角形，且D为AB的中点，

∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，AD=BD=CD

∴∠DCA=∠DCB=∠DBC=45°

又DE⊥DF

∴∠EDC+∠FDC=90°

而∠FDC+∠FDB=90°

∴∠EDC=∠FDB

在△CDE和△BDF中，

∴△CDE≌△BDF

∴CE=BF

∵BC=AC=a

∴CE+CF=BE+CF=BC=AC=a，

故：为定值．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE=BF是解答此题的关键．

【真题演练】

一、填空题

1．（2020·哈尔滨市萧红中学八年级月考）如图，在中，∠B=60°，CD 为AB 边上的高，E 为AC 边的中点，点 F 在BC 边上，∠EDF=60°，若 BF=3，CF=5，则AC边的长为     ．

【答案】

【分析】

如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理得出，再根据等边三角形的判定与性质得出，然后根据三角形的中位线定理、平行线的性质得出，从而可得，，最后根据三角形全等的判定定理与性质得出，据此根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．

【详解】

如图，过点D作于点G

在中，，

在中，，

，

取BC的中点H，连接DH、EH

是等边三角形

点E是AC边的中点

EH是的中位线

又，

在和中，

则在中，，即

故答案为：．

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、三角形的中位线定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键．

二、解答题

2．（2020·庆云县第二中学八年级期中）已知：在中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】

（1）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△AEC和△CGB一组对应边、一组对应角相等，，；然后利用同角的余角相等，证得；两角及其夹边对应相等则两三角形全等．

（2）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△BCE和△CAM一组对应边、一组对应角相等，，；然后利用同角的余角相等，证得；两角及其中一角的对边对应相等则两三角形全等．

【详解】

（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，

又∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG，

（2）证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC，

又∵∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中，

∴△BCE≌△CAM（AAS）．

【点睛】

本题考查全等三角形判定定理，从题中找到对应边、角的信息，灵活运用三角形判定定理是解题关键．

3．（2020·张家港市梁丰初级中学八年级期中）已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．

（1）试说明：①AE=CF； ②CG=GD；

（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．

【答案】（1）理由见详解；（2）AC=14

【分析】

（1）①由题意易得AD=DC=DB，∠A=∠B=45°，CD⊥AB，进而可证△ADE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质可得；②由直角三角形斜边中线定理可得，进而问题得证；

（2）由（1）可得AE=CF=6，由题意易得，则有EF=CH=10，然后根据勾股定理可求解．

【详解】

解：（1）①AE=CF，理由如下：

∵AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，

∴AD=DC=DB，∠A=∠B=45°，CD⊥AB，

∴∠A=∠BCD=45°，

∵DF⊥DE，

∴∠EDC+∠CDF=90°，

又∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

②CG=GD，理由如下：

∵∠ACB=90°，∠EDF=90°，EG=GF，

∴，

∴CG=GD；

（2）由（1）得：AE=CF=6，CG=GD，，

∴∠GCD=∠GDC，

∵∠GCD+∠CHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°，

∴∠CHD=∠GDH，

∴GH=GD，

∴，

∵CH=10，

∴CH=EF=10，

在Rt△CEF中，，即，

解得：CE=8，

∴AC=AE+CE=14．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．

4．（2019·陇东学院附属中学八年级期末）如图在中，，，为的中点．

（1）写出点到的三个顶点、、的距离的大小关系．

（2）如果点、分别在线段、上移动，移动中保持，请判断的形状，并证明你的结论．

（3）当点、分别在、上运动时，四边形的面积是否发生变化？说明理由．

【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形，证明见解析；（3）四边形的面积不变，理由见解析

【分析】

（1）连接OA，由为的中点可得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可得．

（2）由（1）不难证明，结合已知条件进而证明≌，即可得，，即，所以是等腰直角三角形．

（3）由（2）可得=，进而将四边形的面积转化为的面积，的面积保持不变，故四边形的面积保持不变．

【详解】

（1）连接OA，

中，为的中点，

，，

，

．

（2）是等腰直角三角形，证明如下：

，为的中点，

，

，

，

，

在与中，

，

≌，

，，

，

是等腰直角三角形．

（3）四边形的面积保持不变，理由如下：

由（2）可得： =，

．

的面积保持不变

四边形的面积保持不变．

【点睛】

本题主要考查直接三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质定理并灵活运用是解题关键．

5．（2020·乌兰察布市·内蒙古凉城县宏远中学八年级月考）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点，

（1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．

（2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）△DEF为等腰直角三角，证明见解析

【分析】

（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
（2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．

【详解】

（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=AD．∴∠B=∠DAC=45°  又BE=AF，

 ∴△BDE≌△ADF（SAS）．

∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．

∴△DEF为等腰直角三角形．

（2）△DEF为等腰直角三角形．

证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD，∵AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC=90°，D为BC的中点，

∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），

∴∠DAC=∠ABD=45°．

∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，

∴△DAF≌△DBE（SAS）．∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．

∴△DEF仍为等腰直角三角形．

【点睛】

本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．

6．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，，分别是正方形的边，上的两个动点，且，交于点，，连.求线段长度的最小值.

【答案】最小值为

【解析】

【分析】

根据正方形性质可得AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又根据AE=DF，利用SAS可证得△ABE≌△DAF，于是∠ABE=∠DAF；由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，从而∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AB=1，在Rt△AOD中，根据勾股定理计算出OD的值；根据三角形的三边关系，可得OH+DH＞OD，于是当O、D、H三点共线时，DH的长度最小为OD-OH，据此解答.

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，

又∵AE=DF，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF.

∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，

∴∠AHB=90°，

取的中点，连、，

∴，，在中有，即.

故、、三点共线时最小，

∴最小值为.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理及三角形三条边的关系，确定出点H的位置是解答本题的关键.