2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题05 倍长中线模型

这是一份2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题05 倍长中线模型，共92页。

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题5倍长中线模型
经典例题



【例1】问题提出
（1）如图，是的中线，则__________；（填“”“”或“”）

问题探究
（2）如图，在矩形中，，点为的中点，点为上任意一点，当的周长最小时，求的长；

问题解决
（3）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上任意一点，连接，是否存在这样的点，使折线的长度最小？若存在，请确定点的位置，并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．

【例2】如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．
(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；
(2)在(1)的条件下，求的值；
(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．

【例3】．将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．
（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是 ；

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．
【例4】（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．

培优训练



一、解答题
1．已知中，
（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．
（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．

2．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）

3．已知：等腰和等腰中，，，．

（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；
（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．
4．在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．
（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．

（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．

（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．


5．课堂上，老师出示了这样一个问题：
如图1，点是边的中点，，，求的取值范围．

（1）小明的想法是，过点作交的延长线于点，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；
（2）请按照上述提示，解决下面问题：
在等腰中，，，点边延长线上一点，连接，过点作于点，过点作，且，连接交于点，连接，求证．

6．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），

①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
7．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；

拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．
8．如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．
（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；
（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．


9．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　 　；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．

10．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．

11．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．
（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　 　．
②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

12．（阅读）婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
（思考）命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）；
（探究）（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．

13．（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．


14．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

15．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；

（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；

（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．

16．在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转．

（1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________；
（2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当时，直接写出的值．
17．阅读理解：

（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．
18．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．

（1）如图1，①若，请直接写出______；
②连接，若，求证：；
（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．
19．在等腰和等腰中，，连为中点，连．

（1）如图1，请写出与的关系，并说明理由；
（2）将图1中的旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．
20．请阅读下列材料：
问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90°
（1）如图1，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系；
小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：
（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD与AD之间的数量关系，并证明．

21．阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
22．如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、．

（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．

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经典例题



【例1】问题提出
（1）如图，是的中线，则__________；（填“”“”或“”）

问题探究
（2）如图，在矩形中，，点为的中点，点为上任意一点，当的周长最小时，求的长；

问题解决
（3）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上任意一点，连接，是否存在这样的点，使折线的长度最小？若存在，请确定点的位置，并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）＞；（2）；（3）当点与的中点重合时，折线的长度最小，最小长度为4．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出，再根据三角形的三边关系定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据矩形的性质得出，从而可得AE的长，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出的周长最小时，点F的位置，然后利用相似三角形的判定与性质即可得；
（3）如图（见解析），先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线的长度最小时，四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出，，，然后利用轴对称的性质、角的和差可得，，由此利用勾股定理可求出的长，即折线的最小长度；设交于点，根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，由此即可得折线的长度最小时，点Q的位置．
【解析】
（1）如图，延长AD，使得，连接CE
是的中线

在和中，


在中，由三角形的三边关系定理得：，即

故答案为：；

（2）如图，作点关于的对称点，连接FG，则
四边形ABCD是矩形，

垂直平分

点E是BC的中点

，，
则的周长为
要使的周长最小，只需
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值

∴
∴，即
解得；

（3）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则
∴折线的长度为
由两点之间线段最短可知，，当且仅当点四点共线时，折线取得最小长度为
∵在矩形中，
∴，
∵点为的中点
∴
∵点与点关于对称，点与点关于对称
∴，
，
∴

设交于点
在中，
∴
，即
又∵
∴是等边三角形
∴
∵

∴点与的中点重合
综上，当点与的中点重合时，折线的长度最小，最小长度为4．

【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质正确找出折线的最小长度是解题关键．
【例2】如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．
(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；
(2)在(1)的条件下，求的值；
(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．

【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析
【分析】
（1）延长BC交AF的延长线于点G，利用“AAS”证△ADF≌△GCF得AD＝CG，据此知CG＝BC＝BE＋CE，根据EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得证；
（2）设CE＝a，BE＝b，则AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，据此可得答案；
（3）连接DG，证△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再证△AFH∽△DFG得，结合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，从而得出∠ADF＝∠FGH，根据∠ADF＝90°即可得证．
【解析】
解：(1)如图1，延长BC交AF的延长线于点G，

∵AD∥CG，
∴∠DAF=∠G，
又∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠G=∠EAF，
∴EA=EG，
∵点F为CD的中点，
∴CF=DF，
又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，
∴△ADF≌△GCF(AAS)，
∴AD=CG，
∴CG=BC=BE+CE，
∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；
(2)设CE=a，BE=b，则AE=2a+b，AB=a+b，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，
解得b=3a，b=﹣a(舍)，
∴；
(3)如图2，连接DG，

∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，
∴△ADF≌△DCG(SAS)，
∴∠CDG=∠DAF，
∴∠HAF=∠FDG，
又∵∠AFH=∠DFG，
∴△AFH∽△DFG，
∴，
又∵∠AFD=∠HFG，
∴△ADF∽△HGF，
∴∠ADF=∠FGH，
∵∠ADF=90°，
∴∠FGH=90°，
∴AG⊥GH．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点．
【例3】．将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．
（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是 ；

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．
【答案】（1）且；（2）；证明见解析；（3）且．
【分析】
（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C’进行角的等量代换进行分析即可；
（2）根据题意在上截取,连接，并全等三角形的判定证明和，进而利用勾股定理得出进行分析求解即可；
（3）过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，证明∆BFM≅∆CFO，∆AOD≅∆OBM，进而即可得到结论．
【解析】
解：∵，
∴，
延长AC交BD于点C’，如下图：

∵，
∴，
即，综上且，
故答案为：且；

证明:在上截取,连接




在和中



在和中






即


；
且，理由如下：
过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，
∵BM∥OC，
∴∠M=∠FOC，
∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,
∴∆BFM≅∆CFO（AAS），
∴OF=MF，BM=CO，
∵DO=CO，
∴DO=BM，
∵BM∥OC，
∴∠OBM+∠BOC=180°，
∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，
∴∠OBM=∠AOD，
又∵AO=BO，
∴∆AOD≅∆OBM（SAS），
∴AD=OM=2OF ，∠BOM=∠OAD，
∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，
∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．
∴且．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.
【例4】（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）；（2）见详解；（3），理由见详解
【分析】
（1）根据旋转的性质可证明，，在中根据三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出，根据垂直平分线的性质可得出，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得，证明，得出，利用角的和差关系可推出，再证明，得出，即可得出结论．
【解析】
解：（1）∵
∴
∴
在中根据三角形三边关系可得出：
，即
∴
故答案为：；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，

同（1）可得出，
∵
∴
在中，
∴；
（3），理由如下：
延长AB至N，使BN=DF，连接CN，

∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴（SAS）
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强
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一、解答题
1．已知中，
（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．
（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）通过证明，即可求解；
（2）过点A引交于点F，通过得到，再通过即可求解；
（3）过点作交的延长线于点，，在上取一点，使得，连接，利用全等三角形的性质证明、，即可解决．
【解析】
证明：（1）
由题意可得：
在和中

∴
∴
（2）过点A引交于点F，如下图：

由题意可得：，且
则
又∵
∴平分，
∴
∴在和中

∴
∴
在和中

∴
∴
（3）证明：过点作交的延长线于点，，在上取一点，使得，连接，如下图：

∵
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）

【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2
【分析】
（1）根据SAS证明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的长；
（2）延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，证明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，从而证得结论；
（3）延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，证明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再证明∠AME＝∠1，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出∠3＝2∠1+∠2．
【解析】
解：（1）如图1，∵AM⊥BM，

∴∠AMC＝∠BMD＝90°，
∵AM＝BM，MD＝MC，
∴△AMC≌△BMD（SAS），
∴AC＝BD＝17．
（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，

∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，
又∵BD＝AC，EC＝AC，
∴BD＝EC，
∴BG＝BD，
∴∠G＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，
∵AM⊥BM，AE⊥BE，
∴∠BEC＝∠AMC＝90°，
∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，
∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，
∴△BFM≌△AHM（AAS），
∴FM＝HM，
∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，
∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL），
∵∠FEH＝90°，
∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°，
∵∠AEB＝∠GEC＝90°，
∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，
∵AE＝EG，EM＝EM，
∴△AEM≌△GEM（SAS），
∴∠AME＝∠GME，
∵∠BEM＝∠BAM＝45°，
∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，
∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，
∵∠3＝∠AMG+∠2，
∴∠3＝2∠1+∠2．

【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等．
3．已知：等腰和等腰中，，，．

（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；
（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由已知条件可得，对顶角，则，根据即可的；
（2）过点作的垂线交的延长线于,证明，得,进而可得，再证明即可得证点为中点；
（3）延长至，使得，连接，设交于点，先证明，进而证明，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得，进而证明，再根据,证明，根据已知条件求得最后证明即可．
【解析】
（1）设交于，如图1，

是等腰和是等腰





即




故答案为
（2）如图2，过点作的垂线交的延长线于,








是等腰和是等腰

又







又


即是的中点
（3）延长至，使得，连接，设交于点，如图


即

是等腰和是等腰

在与中，

（SAS）
，
点是的中点

，
（SAS）







（SAS）
，


即
，




【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．
4．在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．
（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．

（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．

（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）线段、和的位置关系为，数量关系为或或
【分析】
（1）根据平行线的性质证得再根据，即可得到，得到．
（2）延长与的延长线相交于点．证明，推出，求出的面积即可解决问题．
（3）位置关系的证明比较简单，数量关系分四种情形：当直线与线段交于一点时，当直线与线段交于一点时，当直线与线段的延长线交于一点时，当直线与线段的延长线交于一点时，画出对应的图形，利用三角形和梯形的面积公式分别证明即可解决问题．
【解析】
（1）证明：如图1，

直线于点，直线于点，
，
，
，
又为边中点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图2，延长与的延长线相交于点，

直线于点，直线于点，
，
，
，
，
又为中点，
，
又，
∴在和中，
，
，
，，，
∵，，
，
，
，
，
，
．
（3）位置关系：，
数量关系：分四种情况讨论
∵直线于点．直线于点，直线于点，
∴，
①如图3，当直线与线段交于一点时，

由（1）可知，
，
即，
，
，
，
∵，
．
②当直线与线段交于一点时，
如图，延长交的延长线于点．

直线于点，直线于点，
，
，
，
又为边中点，
，
在和中，
，
，
．
，
即，
，
，
，
∵，
．
③如图4，当直线与线段的延长线交于一点时．

由（2）得：，
，，
∴，
即，
．
④当直线与线段的延长线交于一点时，
如图，延长交的延长线于点．

直线于点，直线于点，
，
，
，
，
又为中点，
，
又，
∴在和中，
，
，
，，
∴，
即，
．
综上所述，线段、和的位置关系为，数量关系为或或．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，以及三角形和梯形的面积公式的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形熟练运用全等三角形的判定与性质．
5．课堂上，老师出示了这样一个问题：
如图1，点是边的中点，，，求的取值范围．

（1）小明的想法是，过点作交的延长线于点，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；
（2）请按照上述提示，解决下面问题：
在等腰中，，，点边延长线上一点，连接，过点作于点，过点作，且，连接交于点，连接，求证．

【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据已知证明，进而求得，根据三角形三边关系即可求得的取值范围；
（2）过点作交的延长线于，证明，得，再证明，进而证明，即可证明
【解析】
（1）




，即

（2）如图，过点作交的延长线于，


,,
,
,


即

，





又,


【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
6．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），

①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，证明见解析；（3）EF＝2AD，证明见解析．
【分析】
（1）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根据AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可求的；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，进而可知AC∥BM；
（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM≌△EAF，进而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD与EF的数量关系．
【解析】
（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，

由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．
7．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；

拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．
【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6．
【分析】
问题背景：先判断出BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）；
问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN=AM，连接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），则BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．
【解析】
问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC≌△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝4，AC＝3，
∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵DE＝AD，
∴AD＝AE，
∴＜AD＜；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，

由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，
∴AC//BN，
∵AC＝AD，
∴BN＝AD，
∵AC//BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，
，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝3，
∴DE＝6．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
8．如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．
（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；
（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．


【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）连接AF，根据HL证Rt△ADF≌△APF即可证明DF=PF；
（2）延长AC、BF交于点G，根据AAS证△AOC≌△GBC，即可证明BE=DE，又因为AD=AO，所以可得AE=AO+BE；
（3）证△ACE是等腰直角三角形，结合（2）的结论证明： 即可得出△CDH的底和高，进而求出面积．
【解析】
解：（1）如图1，连接AF，

∵四边形AOBP是正方形，△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，
∴AO=AD=AP，

在Rt△ADF和Rt△APF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△APF（HL），
∴DF=PF；
（2）AE=AO+BE，理由如下： 如图2，延长AC、BF交于点G，连接

∵C为OB中点， ∴OC=BC，
∵AO∥BP，
∴∠OAC=∠G，∠O=∠CBG，
在△△AOC和△GBC中，
，
∴△AOC≌△GBC（AAS），
∴BG=AO，
∵△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，
∴AO=AD，∠OAC=∠CAE，
∴AD=BG，∠CAE=∠G，
∴△AEG为等腰三角形，
∴AE=EG，


∵，
∴AE=AO+BE；
（3） ∵AO∥PB，
∴∠OAC+∠CAE+∠CEA+∠CEB=180°，
∵∠ACH+∠ECH+∠CAE+∠CEA=180°，
∴∠OAC+∠CEB=∠ACH+∠ECH，
∵CH平分∠ACE，∠CAO=∠CEB，
∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH，
又∵∠OAC=∠CAE， 由（2）知∠AEC=∠CEB，
∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH=∠CAE=∠CEA=45°， 即△ACE是等腰直角三角形，
CH平分∠ACE，

如图3，由（2）知：


∵OA=a，BE=b，



【点睛】
本题主要考查平形线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练应用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　 　；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．

【答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【分析】
（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【解析】
（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．

∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．
10．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．

【答案】（1）SAS，＜AD＜；（2）见解析；（3）2AD=MN，AD⊥MN，理由见解析
【分析】
（1）阅读理解：由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三边关系即可得出结论．
（2）问题解决：延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF=CN，由线段垂直平分线的性质得出MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论．
（3）问题拓展：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，由（1）得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠BAD=∠E，AB=CE，证出∠ACE=∠MAN，证明△ACE≌△NAM得出AE=MN，∠EAC=∠MNA，则2AD=MN．延长DA交MN于G，证出∠AGN=90°，得出AD⊥MN即可．
【解析】
解：（1）阅读理解：如图1中，∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE=AC=8，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：BE-AB＜AE＜BE+AB，
∴8-5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，
∴＜AD＜，
故答案为：SAS，＜AD＜；
（2）问题解决：证明：如图2中，延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，

同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），
∴BF=CN，
∵DM⊥DN，FD=ND，
∴MF=MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN．
（3）问题拓展：解：结论：2AD=MN，AD⊥MN．
理由：如图3中，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，延长DA交MN于G．

由（1）得：△BAD≌△CED，
∴∠BAD=∠E，AB=CE，
∵∠BAM=∠NAC=90°，
∴∠BAC+∠MAN=180°，
即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°，
∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°，
∴∠ACE=∠MAN，
∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，
∴AB=MA，AC=AN，
∴CE=MA，
∴△ACE≌△NAM（SAS），
∴AE=MN，∠EAC=∠MNA，
∴2AD=MN．
∵∠NAC=90°，
∴∠EAC+∠NAG=90°，
∴∠MNA+∠NAG=90°，
∴∠AGN=90°，
∴AD⊥MN．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．
11．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．
（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　 　．
②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①AP＝2PM；②成立，证明见解析
【分析】
（1）由“SAS”可证△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根据三角形的内角和定理计算，得出结论；
（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；
②延长PM＝MH，连接CH，由“SAS”可证△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可证△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可证△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．
【解析】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE＝∠CBD，
∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，
∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；
（2）①解：AP＝2PM，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，点M是边BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，
∵AM⊥BC，点M是边BC的中点，
∴PB＝PC，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＝∠PCB＝30°，
∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC，
∴AP＝2PM，
故答案为：AP＝2PM；
②解：①中的结论成立，
理由如下：延长PM至H，是MH＝PM，连接AF、CH，
∵∠BPC＝120°，
∴∠CPF＝60°，
∵PF＝PC，
∴△PCF为等边三角形，
∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，
∴∠BCP＝∠ACF，
在△BCP和△ACF中，
，
∴△BCP≌△ACF（SAS），
∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP＝60°，
在△CMH和△BMP中，
，
∴△CMH≌△BMP（SAS），
∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，
∴CH∥BP，
∴∠HCP+∠BPC＝180°，
∴∠HCP＝60°＝∠AFP，
在△AFP和△HCP中，
，
∴△AFP≌△HCP（SAS），
∴AP＝PH＝2PM．

【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．（阅读）婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
（思考）命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）；
（探究）（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．

【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4．
【思考】
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用等量代换计算．结论可得；
（1）过点作，交的延长线于点，利用同角的余角相等得出和，进而得到；再证明，结论可得；
（2）过点作，交的延长线于点，易证，得到，．再进一步说明，可得，结论可得．
【解析】
解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
理由如下：如下图，

∵，为的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
即：．
∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
故答案为：真命题．
【探究】
（1）如下图，过点作，交的延长线于点，

∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴．
在和中，

∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，

∴．
∴．
即是的中点．
（2）如下图，过点作，交的延长线于点，

∵，
∴．
在和中，

∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，

∴．
在和中，

∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合运用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，利用中点添加平行线构造全等三角形是解题的关键．
13．（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．


【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．
【分析】
（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【解析】
解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；

（3）AF+CF＝AB．
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．

【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
14．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；
【分析】
（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【解析】
（1）①如图1，

延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如图2，

分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，

过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
15．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；

（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；

（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．

【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】
（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；
（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到；
（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．
【解析】
（1）延长到点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴；
（2）证明:延长到点使,连接，
由（1）知，

∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3），
延长到，使，连接，


，
，
，
，
，
点在一条直线上，
，
∴，
∴在和中，
，，，
∴≌，
，
∵，
．
【点睛】
本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．
16．在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转．

（1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________；
（2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当时，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）具有，证明见解析；（3）14或．
【分析】
（1）；当点落在的延长线上时，∠ADE=90º，点为的中点，直角三角形斜边中线的性质，再证△ACE≌△BCE（SAS）利用性质得AE=BE即可；
（2）成立（具有）延长到点，使，连接，由点为的中点，可知是的中位线，有结论，先证，再证，即可；
（3）分两种情况∠BCD再BC的左边与右边，构造Rt△ECH，∠HCE =60º或Rt△CGE，∠GCE=30º，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）结论即可．
【解析】
（1）当点落在的延长线上时，∠ADE=90º，
∵点为的中点，
∴AF=EF=FD，
∴，
∵BC=AC，∠ACB=90º，CD=DE，∠CDE=90º，
∴∠DCE=∠DEC=45º，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90º+45º=135º，
∴∠ACE=360º-∠ACB-∠BCE=360º-90º-135º =135º=∠BCE，
∵CE=CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，
∴，
故答案为：；

（2）成立（具有）
证明：

延长到点，使，连接，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）14或．
过E作EH⊥BC于H，
∴在Rt△ECD中，CE=2，
∵∠BCD=105º，
∴∠HCE=105º-∠DCE=60º，
∴CH=，EH=，
∵BC=，
∴BH=BC-CH=-，
∴FD2=；

延长BC，过E作EG⊥BC于G，
∵∠BCD=105º，∠DCE=45º，
∴∠GCE=180º-∠ACD-∠DCE=30º，
∴GE=，
∴CG=，
∴
∴FD2=．

综上所述，的值为或．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，三角形的旋转变换，三角形中位线，解直角三角形，勾股定理的应用，涉及的知识多，习题难度大，关键是利用数形结合的思想画出准确的图形，画图时应注意分类来画是解题关键．
17．阅读理解：

（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系，
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，
【解析】
（1）如图1延长到点，使得，再连接，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△ EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
，
∵，
∴，
∴，

（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，
由D为BC中点，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EG
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，
由是边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．

【点睛】
本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，
18．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．

（1）如图1，①若，请直接写出______；
②连接，若，求证：；
（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．
②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论．
（2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论．
【解析】
（1）①∵，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为．
②如图，延长至点，使得，连接，

∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）．
如图，延长至点，使得，连接，

∵，，
∴≌，
∴，，
∵．
∴≌，
∴．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．
19．在等腰和等腰中，，连为中点，连．

（1）如图1，请写出与的关系，并说明理由；
（2）将图1中的旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．
【答案】(1)OM=，理由见解析；（2）（1）结论成立，理由见解析
【分析】
（1）延长OM至E，使ME=MO，连接DE，AE，可判断四边形AODE为平行四边形，得到AO=DE，根据三角形，四边形内角和定理，结合条件可判定△BOC≌△EDO，得到BC=OE，进而得出结论；
（2）延长MO至E，使ME=OM,连接DE，AE利用（1）中的方法即可得出结论．
【解析】
（1）解：OM=，理由如下：
如图OM至E，使ME=OM，连接DE，AE


∵AM=DM，EM=OM，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴AO=DE，
又∵AO=BO，
∴OB=DE，
∵∠BOC+∠AOD=360°－∠COD－∠AOB=180°，
又∠EDO+∠DOA=180°，
∴∠BOC=∠EDO，
又OC=OD，
在△BOC和△EDO中，

∴△BOC≌△EDO，
∴BC=OE，
又∵OM=OE
∴OM=BC；
（2）（1）中结论任然成立，理由如下：
延长OM至E，使ME=MO，连接DE，AE


∵AM=DM，EM=OM，
AODE为平行四边形，
∴AO=DE
又∵AO=BO，
∴OB=DE，
∵∠BOC+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，
又∠EDO+∠DOA=180°，
∴∠BOC=∠EDO，
又OC=OD，
在△BOC和△EDO中，

∴△BOC≌△EDO，
∴BC=OE，
又∵OM=OE，
∴OM=BC；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题关键是正确做出辅助线利用平行四边形的性质得出全等三角形最后得出结论．
20．请阅读下列材料：
问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90°
（1）如图1，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系；
小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：
（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD与AD之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）AB+CD＞AD；（2）不成立，AB+CD=AD；证明见解析

【分析】
（1）根据条件作出图形，利用DM=EM、BM=MC便可得到是四边形BECE是平行四边形，再结合EM=DM,且∠AMD=90°，得到等腰三角形，最后根据三角形三边关系求解．
（2）增加AM平分∠BAD，便可以得到点A.B.E必然共线，故（1）的结论不成立，通过（1）的分析，边可以证明其数量关系．
【解析】
解：（1）AB与CD不平行
根据题意,延长DM使DM=EM，连接BE，AE，EC，BD

由于M是BC的中点，故BM=MC
∴四边形BECE是平行四边形
∴CD=BE
又 EM=DM，且∠AMD=90°
∴是等腰三角形
∴AD=AB
在中，


(2)若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD
则（1）的结论不成立
关系为：
证明：由于M是BC的中点，故BM=MC
∴四边形BECE是平行四边形
∴CD=BE
又 EM=DM,且∠AMD=90°
∴是等腰三角形
∴AD=AE
又AM平分∠BAD
∴点A.B.E必然共线
∴
【点睛】
本题比较综合，涉及到画图能力，平行四边形判定，等腰三角形性质应用，三角形三边关系等，解题的关键在于熟悉各个知识点的灵活运用．
21．阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
【答案】详见解析
【分析】
延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．
【解析】
如图，延长至点，使得，并连结，

∵是三角形的中线，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．
22．如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、．

（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．
【答案】（1）且．理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出、、三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出，从而证明；
（2）延长至，使，连接交于，连接、，首先通过SAS证明，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明，从而可证明结论仍然成立；
（3）连接，首先根据题意确定当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，然后根据平行四边形的判定及性质得出有最小值就是的长，最后利用勾股定理求解即可．
【解析】
解：（1）且．
理由如下：如图1，连接．

∵正方形和等腰，
∴，
∴、、三点共线．
∵，为的中点，，
∴．
∴，．
∴，
即，
∴．
（2）仍然成立．
理由如下：如图2，延长至，使，连接交于，连接、．

∵，，，
∴，
∴，，
∴．
∵是正方形，
∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形．
又∵，
∴且．
（3）如下图，连接，

当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，由（2）知，
∴，
即有最小值，就是的长，
由勾股定理得．
【点睛】
本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．