专题43 步步高型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题43  步步高型问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·江苏徐州市·九年级三模）2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度_____m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．

【答案】6

【分析】

作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝DB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．

【详解】

解：作CE⊥AB于E，

则四边形CDBE为矩形，

∴CE＝DB，CD＝BE，

在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，

∴AB＝DB＝20，

∴CE＝20，

在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，

∴AE＝CE·tan∠ACE≈20×0.70＝14，

∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，

故答案为：6．

【点睛】

本题主要考查利用三角函数解决实际问题，同时涉及矩形有关性质，解题关键在于作出辅助线构造直角三角形进而即可求解．

例2．（2020·山西九年级期中）如图，在斜坡的坡顶平台处有一座信号塔，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡底的点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡长，坡度为，点与点在同一水平面上，且，．

请解答以下问题：

（1）求坡顶到地面的距离；

（2）求信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）过点作，垂足为，根据斜坡的坡度为，设，则，根据勾股定理构造方程，求出k的值，即可求解；

（2）延长交于点，求出PH=24，设，表示出AC=, 在中，根据得到关于x的方程，即可求解．

【详解】

解：（1）如图，过点作，垂足为，

斜坡的坡度为，

．

设，则，

在中，由勾股定理，得

．

，解，得．

．

答：坡顶到地面的距离为．

（2）如图，延长交于点，

由题意可知四边形是矩形，

，．

，，

．

m，

设，则．

m．

在中，，即．

解，得．

答：信号塔的高度约为．

【点睛】

本题为解直角三角形实际应用，根据题意作出直角三角形，解直角三角形是解题关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·重庆南开中学九年级月考）如图，竖直放置的杆，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得为10米，为8米，斜与地面成30°角，则杆的高度为（    ）米．

A． B． C．8 D．6

二、填空题

2．（2020·山东济宁市·）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．

三、解答题

3．（2020·天津河北区·九年级二模）如图，小明的家在某住宅楼的最顶层，他家对面有一建筑物，他很想知道建筑物的高度，他首先量出到地面的距离为，又测得从处看建筑物底部的俯角为，看建筑物顶部的仰角为且，都与地面垂直，点，，，在同一平面内．

（1）求与之间的距离（结果保留根号）；

（2）求建筑物的高度（结果精确到）．

参考数据：，，，．

4．（2020·海口市第九中学九年级其他模拟）如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，斜坡的坡度为，高为，在斜坡下的点处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为，其中在同一直线上．

（1）求的长度；

（2）求大楼的高度．（参考数据：，）

5．（2020·陕西师大附中九年级其他模拟）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上．

6．（2020·西安交通大学附属中学雁塔校区九年级三模）小华和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度PA，检验自己掌握知识和运用知识的能力．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处．此时，量的小华的影长FG＝2m小华身高EF＝1.6m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测频器CD．测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6m，DF＝5m，旗台高BP＝1.2m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG，求旗杆的高度PA（参考数据：sin49°≈0.8，cos49°≈0.7，tan49°≈1.2）．

7．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）