中考数学几何模型加强版 模型17 角平分线和高线的夹角

专题17  角平分线和高线的夹角

1．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.

【解析】66°

【分析】

过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF=，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º-∠BAC，在证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．

【详解】

过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，

∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，

∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，

∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，

∵∠DCE是△DBC的外角，

∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，

由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24º=48º，

∴∠HAC=180º-∠BAC=180º-48º=132º，

∵DH=DF，DG=DF，

∴DH=DG，

∵DG⊥AC，DH⊥BA，

AD平分∠HAC，

∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132º=66º．

故答案为：66．

【点睛】

本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键．

2．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度．

【解析】5

【分析】

先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．

【详解】

解：在△ABC中，
∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，
∵AE是的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=×70°=35°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°
∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°．

故答案为：5.

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．

3．如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠B＝60°，则∠DCE＝_______．

【解析】15°

【解析】

试题分析：根据三角形内角和定理可得：∠ACB=180°－∠A－∠B=90°，根据角平分线的性质可得：∠BCE=90°÷2=45°，根据CD⊥AB，∠B=60°可得：∠BCD=30°，则∠DCE=45°－30°=15°.

考点：（1）、角平分线的性质；（2）、三角形内角和定理

二、解答题

4．（1）如图1，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，请探究与的关系，并说明理由

（2）如图②③，四边形ABCD中，设为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成 锐角，请利用（1）中的结论完成下列问题：

①如图②，若，求的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图）

②如图③，若，请在图③中画出，并直接写出=______（用的代数式表示）

【解析】（1）2∠P＝∠A；理由见解析；（2）①∠P＝（α+β）﹣90°；②∠P＝90°﹣．

【分析】

（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质可得2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，运用等量代换即可得解；

（2）①添加辅助线，延长BA交CD的延长线于F，利用（1）中结论解决问题即可；②添加辅助线，延长AB交DC的延长线于F，同①的思路求解即可．

【详解】

（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．

理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，

∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，

∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，

∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，

2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，

2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，

∴2∠P＝∠A；

（2）①延长BA交CD的延长线于F．

∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，

由（1）可知：∠P＝∠F，

∴∠P＝（α+β）﹣90°；

②如图3，延长AB交DC的延长线于F．

∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，

∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣．

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

5．小学我们已经知道三角形三个内角和是180°，对于如图1中，，交于点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①；②．试探究下面问题：

已知的平分线与的平分线交于点，

（1）如图2，若，，，则_________；

（2）如图3，若不平行，，，则_______．

（3）在总结前两问的基础上，借助图3，探究与、之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明．

【解析】（1）35°；（2）40°；（3）∠D+∠B=2∠E，理由见解析

【分析】

(1)（2）在△CDF和△AEF中，有：∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①；在△ABG和△CEG中, ∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②；①＋②再结合的平分线与的平分线交于点，进行化简得到∠E=（∠B+∠D），然后将∠B和∠D代入即可解答；

（3）根据（1）（2）的推导即可得到∠D+∠B=2∠E．

【详解】

解：（1）如图2在△CDF和△AEF中，有∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①

△ABG和△CEG中, 有∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②

①＋②得：∠D+∠DCF＋∠B+∠EAB＝∠E+∠DAE＋∠E+∠BCE

又∵的平分线与的平分线交于点

∴∠DCF＝∠BCE，∠EAB＝∠DAE

∴∠E=（∠B+∠D）

∵，

∴∠E＝35°

（2）如图3:同(1)可得∠E=（∠B+∠D）

∵，

∴∠E＝40°

（3）解：∠D+∠B=2∠E．

理由如下：

在△CDF和△AEF中，有∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①

△ABG和△CEG中, 有∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②

①＋②得：∠D+∠DCF＋∠B+∠EAB＝∠E+∠DAE＋∠E+∠BCE

又∵的平分线与的平分线交于点

∴∠DCF＝∠BCE，∠EAB＝∠DAE

∴∠E=（∠B+∠D）

∴∠D+∠B=2∠E

【点睛】

考查了平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等的性质，解题方法较多，关键在于选择合适的解题方法．

6．在△ABC中，已知∠A＝α．

（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．

①当α＝70°时，∠BDC度数＝　   　度（直接写出结果）；

②∠BDC的度数为　   　（用含α的代数式表示）；

（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．

（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．

【解析】（1）（1）①125°；②，（2）；（3）

【分析】

（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；

②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；

（2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解；

（3）由折叠的对称性得，结合（1）②的结论可得答案．

【详解】

解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（180°﹣70°）

＝125°

②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（180°﹣∠A）

＝90°+∠A

＝90°+α．

故答案分别为125°，90°+α．

（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE

∴，，

∴＝

即．

（3）由轴对称性质知：，

由（1）②可得，

∴．

【点睛】

本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．

7．如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数.

【解析】，

【解析】

【分析】

由AD是高易得∠DAC与∠C互余，即可求出∠DAC，由三角形内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠ABO与∠BAO，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数.

【详解】

解：是的高

在中

在中

、是角平分线

在中，

【点睛】

本题考查了三角形中的角度计算，熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键.

8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=15°，∠B=40°．

（1）求∠C的度数．

（2）若：∠EAD=α，∠B=β，其余条件不变，直接写出用含α，β的式子表示∠C的度数．

【解析】（1）70°；（2）∠C=β+2α．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案；

（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案．

【详解】

（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵∠B=40°，

∴∠BAD=90°-40°=50°，

∵∠EAD=15°，

∴∠BAE=50°-15°=35°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=35°，

∴∠BAC=70°，

∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-70°-40°=70°；

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵∠B=β，

∴∠BAD=90°-β，

∵∠EAD=α，

∴∠BAE=90°-β-α，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=90°-β-α，

∴∠BAC=180°-2β-2α，

∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-（180°-2β-2α）-β=β+2α．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．

9．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数.

【解析】

【解析】

【分析】

先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数，再根据角平分线的性质求出∠ABE的度数，二者作差即可得出答案.

【详解】

解：∵是的高，

∴∠ABD=，

∵是的角平分线，

∴∠ABE=，

∴.

【点睛】

本题考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的性质.在图形中找出这一数量关系是解题的关键.

10．如图，在中，是角平分线，是延长线上一动点，于点下，试探索与、的数量关系.

【解析】，见解析.

【解析】

【分析】

过点C作于点G，首先根据三角形的内角和定理，求出∠BCA的度数；然后根据角平分线的性质，求出∠ACE；再根据三角形的外角的性质，求出∠CED的度数，进而求出∠ECG，再根据同角的余角相等得出∠ECG=∠D即可．

【详解】

解：如图，过点C作于点G

，，

，

在中，∠ACB=180°-（∠A+∠ABC）
∵CE是角平分线，

∴∠ACE=90°-∠A-∠ABC

∴∠DEC=90°+∠A-∠ABC

∵

∴∠ECG=90°-∠DEC

∴，

【点睛】

此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．此题还考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的角平分线把这个角分成两个大小相同的角．

11．如图，在中，，，平分，于，于，求.

【解析】.

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠ACE，根据三角形的外角的性质求出∠FED，根据三角形内角和定理计算即可．

【详解】

解：∵∠A=42°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-70°-42°=68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB=34°，
∴∠FED=∠A+∠ACE=76°，
∵DF⊥CE，
∴∠EDF=90°-∠FED=14°，
故答案为14°．

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理以及三角形的角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．

12．如图，在中，，为内一点，使得，求的度数．

【解析】150°

【解析】

【分析】

作于点，延长交于点，连接，,故，证，从而.由，得，故.

【详解】

如图，作于点，延长交于点，连接，则

，

，

，

得.

又，

所以，又

因此，从而.

由，得，

故.

【点睛】

考核知识点：全等三角形判定和性质，等腰三角形性质.作好辅助线是关键.

13．如图，在中，是的平分线，为上一动点，，交的延长线于点.

（1）若，，求的度数；

（2）当点在上运动时，探求与、之间的数量关系，并证明.

【解析】（1），（2），见解析.

【解析】

【分析】

（1）先根据三角形外角的性质及角平分线求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数；

（2）先根据三角形外角的性质及角平分线得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出与、之间的数量关系.

【详解】

解：（1）∵是的平分线，

∴，

∴,

∵，

；

（2）∵是的平分线，

∴，

∴,

∵，

；

∵,

∴

,

即.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理及其推论、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键.

14．如图，在中，，于，平分，试用表示.

【解析】.

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可得,根据三角形外角的性质得,再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论.

【详解】

解：∵，

∴，

∴,

∵平分，

∴，

∵于，

∴,

∵,

∴,

即.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论.灵活转化角之间的关系是解题的关键.