高中数学第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试当堂检测题

这是一份高中数学第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试当堂检测题，共11页。试卷主要包含了08≈0等内容，欢迎下载使用。

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)为奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋x＋m，则f(－1)＝( C )
A．－B．
C．－2 D．2
【答案】C
【解析】因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即20＋0＋m＝0，所以m＝－1，f(x)＝2x＋x－1(x≥0)．因为f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2，所以f(－1)＝－2.
2．已知关于x的不等式()x－4>3－2x，则该不等式的解集为( B )
A．[4，＋∞)B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4)D．(－4,1]
【答案】B
【解析】依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>－2x，解得x>－4，故选B．
3．设函数f(x)＝lg2x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为( A )
A．(－1,3)B．(－∞，3)
C．(－∞，1)D．(－1,1)
【答案】A
【解析】∵函数f(x)＝lg2x在定义域内单调递增，f(4)＝lg24＝2，
∴不等式f(a＋1)<2等价于04．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a＝f(1)，b＝f(2－0.3)，c＝f(－20.3)，则( A )
A．bC．b【答案】A
【解析】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以c＝f(－20.3)＝f(20.3)．
又因为y＝2x是R上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(2－0.3)5．已知f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是( B )
A．(0,1)B．[，)
C．(0，)D．(，)
【答案】B
【解析】由题意得解得≤a<，故选B．
6．已知m，n∈(1，＋∞)，且m>n，若lgmn2＋lgnm6＝13，则函数f(x)＝的大致图象为( A )
【答案】A
【解析】由题意，令t＝lgmn，则2t＋＝13，解得t＝或t＝6(舍去)，
所以n＝，即＝1，所以f(x)＝的大致图象为A中的图象．
7．若函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为( C )
A．[，3]B．[，2]
C．[，2)D．[，＋∞)
【答案】C
【解析】先保证对数有意义即－x2＋4x＋5>0，解得－1只需解得≤m<2.
8．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( C )
(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A．2020B．2021
C．2022D．2023
【答案】C
【解析】该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则150×(1＋8%)n－2018>200，则n>2018＋≈2021.8，所以n＝2022.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( AD )
A．y＝x3＋xB．y＝lg2x
C．y＝2x2－3D．y＝x|x|
【答案】AD
【解析】A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；
B中，y＝lg2x为非奇非偶函数，与题意不符；
C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；
D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符，故选AD．
10．下列函数中值域为R的有( ABD )
A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝lg(x2－2)
C．f(x)＝D．f(x)＝x3－1
【答案】ABD
【解析】f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件．
B．由x2－2>0得x>或x<－，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件．
C．f(x)＝
当x>2时，f(x)＝2x>4，
当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件．
D．f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件．
11．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围不能为( BD )
A．(5,8)B．(2,8)
C．[6,8)D．(3,8)
【答案】BD
【解析】因为函数f(x)＝是R上的增函数，
所以解得4≤a<8.
12．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有( BC )
A．1B．2
C．3D．4
【答案】BC
【解析】作出函数f(x)＝的图象如图：
f(x)－b＝0有三个不等实数根，
即函数y＝f(x)的图象与y＝b有3个不同交点，
由图可知，b的取值范围是(1,3]，故b可取2,3.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数g(x)过点(9,2)，则f(2)＝__9__.
【答案】9
【解析】由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9,2)，可得：y＝ax图象过点(2,9)，
所以a2＝9，又a>0，所以a＝3.所以f(2)＝32＝9.
14．已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a,3a－1]上的奇函数，则a＝__1__，b＝__1__.
【答案】1 1
【解析】因为f(x)是定义在[－2a,3a－1]上的奇函数，
所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1，
因为函数f(x)＝为奇函数，
所以f(－x)＝＝＝－，
即b·2x－1＝－b＋2x，所以b＝1.
15．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.
【答案】6
【解析】由<0.01，得2n>＝40，故n的最小值为6.
16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；
③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；
④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)．
【答案】①②③
【解析】∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，
∴指数函数的底数为2，故①正确；
当t＝5时，S＝32>30，故②正确；
∵t1＝1，t2＝lg23，t3＝lg26，
∴t1＋t2＝t3，故③正确；
根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)计算3lg32＋＋lg 50＋lg 2；
(2)已知2a＝3,4b＝6，求2b－a的值．
【解析】(1)3 lg32＋＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.
(2)由2a＝3，得a＝lg23，又由4b＝6，即22b＝6，得2b＝lg26，
所以2b－a＝lg26－lg23＝lg22＝1.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－1－5(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3,20)．
(1)求a的值及y＝f(x)的零点；
(2)求不等式f(x)≥－2的解集．
【解析】 (1)根据题意，函数f(x)＝ax－1－5的图象过点(3,20)，则有20＝a2－5，
又由a>0，且a≠1，则a＝5，
f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0，
则x＝2，即函数f(x)的零点为2.
(2)f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15，
解可得x≥lg515，即不等式的解集为[lg515，＋∞)．
19．(本小题满分12分)(2019·河南南阳市高一期中测试)设函数f(x)＝lg2(4x)·lg2(2x)的定义域为[，4]．
(1)若t＝lg2x，求t的取值范围；
(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．
【解析】(1)∵≤x≤4，∴－2≤lg2x≤2，
∴－2≤t≤2.
∴t的取值范围是[－2,2]．
(2)y＝f(x)＝lg2(4x)·lg2(2x)＝(2＋lg2x)(1＋lg2x)，
由(1)知t＝lg2x，t∈[－2,2]，
∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－.
当t＝－，即lg2x＝－，x＝时，ymin＝－，
当t＝2，即lg2x＝2，x＝4时，ymax＝12.
20．(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【解析】(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，
解得.
所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本最低为Q＝·1502－·150＋＝100 (元/102kg)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)∵f(x)＝2x，
∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.
因为f(x)的定义域是[0,3]，所以0≤2x≤3,0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．
(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.
∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；
当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.
22．(本小题满分12分)若函数f(x)满足f(lgax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
【解析】(1)令lgax＝t(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝ (at－a－t)．
∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．
∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，
∴f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，
∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，
只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.
∴≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，
∴2－≤a≤2＋.又a≠1，
∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]．
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150