考点16 相似三角形与位似—2021年《三步冲刺中考•数学》（广东专版）之第1步小题夯基础

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第一步 小题夯基础


考点16 相似三角形与位似
真题回顾



1．（2020成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解析】∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴，
∴DE=，
故选：D．
2．（2020绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．
【解析】设投影三角尺的对应边长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴8：x＝2：5，
解得x＝20．
故选：A．
3．（2020遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
4．（2020河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（　　）
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR



【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=，OM＝2，OD=，OB=，OA=，OR=，OQ＝2，OP＝2，OH＝3，ON＝2，由=2，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．
【解析】∵以点O为位似中心，
∴点C对应点M，
设网格中每个小方格的边长为1，
则OC=，OM=，OD，OB=，OA=，OR=，OQ，OP=，OH=，ON=，
∵，
∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，
∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，
故选：A．
5．（2020重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：C．
6．（2020潍坊）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵DE＝3，DF＝4，
∴AE＝6，AB＝8，
∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．
故选：C．
7．（2020天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）

A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴，
解得，DC＝17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选：A．
8．（2020牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF＝6，
∴AF，
∴，
∴AE＝5，
∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．
故选：B．
9．（2020泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）

A．10﹣4 B．3－5 C． D．20﹣8
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH=BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH=，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BEBC＝2－2，则计算出HE＝2－4，然后根据三角形面积公式计算．
【解析】作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH=BC＝2，
在Rt△ABH中，AH，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BEBC＝2（－1）＝2－2，
∴HE＝BE﹣BH＝2－2﹣2＝2－4，
∴DE＝2HE＝4－8
∴S△ADE=×（4－8）×=10﹣4．
故选：A．

10．（2020哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．
【解析】∵EF∥BC，
∴，
∵EG∥AB，
∴，
∴，
故选：C．

11．（2020安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，则BD的长度为（　　）

A． B． C． D．4
【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．
【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cosA，
∴AB，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A，
∴，
故选：C．
12．（2020嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【解析】∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．

12．（2020无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD，线段PQ在边BA上运动，PQ，有下列结论：
①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【分析】①利用图象法判断即可．
②当∠ADQ＝∠CPB时，△ADQ∽△BPC．
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积
=，当x取最大值时，可得结论．
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，此时四边形P′CD′Q′的周长最小．求出CF的长即可判断．
【解析】①利用图象法可知PC＞DQ，故①错误．
②∵∠A＝∠B＝60°，∴当∠ADQ＝∠CPB时，△ADQ∽△BPC，故②正确．
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积
=，
∵x的最大值为，
∴x时，四边形PCDQ的面积最大，最大值=，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，此时四边形P′CD′Q′的周长最小．

过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
由题意，DD′＝2AD•sin60°=，HJ=，DD′=，CJ=，FH=，
∴CH＝CJ+HJ，
∴CF，
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝，故④错误，
故选：D．
13．（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（　　）

A． B．2 C．4 D．2
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【解析】∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF=．
故选：D．
14．（2020遂宁）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE=AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】①正确．证明∠EOB＝∠EOC＝45°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
②正确．利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可．
③正确．设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题．
④错误，通过计算正方形ABCD的面积为48．
⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．
【解析】如图，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠BOC＝90°，
∵BE＝EC，
∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，
连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故②正确，
设BE＝EC＝a，则AEa，OA＝OC＝OB＝ODa，
∴，即AEAO，故③正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQS四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴CD＝2OE，OE∥CD，
∴，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴，
∵EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，
故选：B．
15．（2020湘潭）若，则　 　．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
【解析】由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，
则．
故答案为：．
16．（2020盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为　 　．

【分析】由平行线得三角形相似，得出AB•DE，进而求得AB，DE，再由相似三角形求得结果．
【解析】∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴AB•DE＝16，
∵AB+DE＝10，
∴AB＝2，DE＝8，
∴，
故答案为：2．












模拟预测


1．(2019深圳南山一模)如图,已知△OAB与△OA'B'是相似比为1∶2的位似图形,点O为位似中心,若△
OAB内一点P(x,y)与△OA'B'内一点P'是一对对应点,则点P'的坐标为(　　)
A.(-x,-y)　     B.(-2x,-2y)
C.(-2x,2y)　     D.(2x,-2y)
【解析】∵P(x,y),相似比为1∶2,点O为位似中心,∴P'的坐标是(-2x,-2y).
故选B.
2．(2019茂名茂南一模)如图,在△ABC中,E、F分别是AB、AC的中点.若△ABC的面积是8,则四边形
BEFC的面积是 (　　)

A.4　    B.5　    C.6　    D.7
【分析】由E、F分别是AB、AC的中点,可知EF是△ABC的中位线,利用中位线定理可知EF∥BC,且,再利用相似三角形的预备定理可得△AEF∽△ABC,利用相似三角形的面积比等于相似比
的平方,可求△AEF的面积,从而可求四边形BEFC的面积.
【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC, ,
∴△AEF∽△ABC,
∴S△AEF∶S△ABC=1∶4.
又∵S△ABC=8,∴S△AEF=2,
∴S四边形BEFC=S△ABC-S△AEF=8-2=6.
故选C.
3．(2020佛山禅城模拟,10)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,交BD于F点,下列结论:
①BF为∠ABE的平分线;②DF=2BF;③2AB2=DF·DB;
④sin∠BAE=.其中正确的为 (　　)
 
A.①③　    B.①②④ C.①④　    D.①③④
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义,难度较大,注意掌握辅助线的作法以及相似三角形的探寻.
【解析】①∵四边形ABCD是菱形,
∴BF为∠ABE的平分线.故①正确.
②连接AC交BD于点O,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=AD.
当∠ABC=60°时,△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∴BE=EC= BC= AD,
∴由△ADF∽△EBF知,DF=2BF.
∵∠ABC的度数不定,
∴DF不一定等于2BF.故②错误.
③∵AE⊥BC,AD∥BC,∴AE⊥AD,∴∠FAD=90°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=OD= DB,AD=AB,
∴∠AOD=∠FAD=90°.
又∵∠ADO=∠FDA,∴△AOD∽△FAD,
∴AD∶DF=OD∶AD,∴AD2=DF·OD,
∴AB2=DF· DB,即2AB2=DF·DB.故③正确.
④连接CF,
在△ABF和△CBF中, 
∴△ABF≌△CBF(SAS),
∴∠BCF=∠BAE,AF=CF.
在Rt△EFC中,sin∠ECF==,
∴sin∠BAE=.故④正确.