初中数学北师大版七年级下册第四章 三角形综合与测试导学案

这是一份初中数学北师大版七年级下册第四章 三角形综合与测试导学案，共4页。

1．通过对全等三角形的概念、性质和判定条件的回顾，构建知识结构框架，形成一定的知识系统．
2．熟练掌握全等三角形的性质以及三角形全等的条件，灵活运用它们解决与线段、角有关的问题．
3．通过对一些作图过程的回顾，能较熟练地进行文字语言、符号语言和图形语言之间的表达和相互转化．
4．逐步学会“分析”，并在此基础上有条理、清晰地表述自己的思考过程．
知识梳理
例题精讲
例1 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝4，过BC的中点M
作DM上BC，交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别为E、F，求AE的长．
提示：根据条件可得△ADE≌△ADF，则有AE＝AF，而AE＝
AB－BE，AF＝AC＋CF，因此只要能说明BE＝CF，就可以求出AE的长．
解答：连接DB、DC．因为AD平分∠BAC，所以∠DAE＝∠DAF．又因为DA是△ADE和△ADF的公共边，所以△ADE≌△ADF．所以AE＝AF，DE＝ DF．因为M是BC的中点，且DM⊥BC，所以MB＝MC，∠DMB＝∠DMC＝90º．又因为MD是△MDB和△MDC的公共边，所以△MDB≌△MDC．所以BD＝CD．在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF，所以Rt△BDE≌Rt△CDF．所以BE＝CF．因为AE＝AB－BE，AF＝AC＋CF，AB＝8，AC＝4，AE＝AF，所以AE＋AF＝2AE＝AB＋AC．所以AE＝6．
点评：本题中一共用了三对全等的直角三角形，分别使用了“AAS”、“SAS”、“HL”三种不同的判别方法．在分析中，已知AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可直接得到DE＝DF，但不能直接得到AE＝AF，因此题目中通过说明三角形全等得到这一结论．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
(1)试说明BD＝DE＋CE．
(2)若直线AE绕点A旋转到图②中的位置时(BD (3)若直线AE绕点A旋转到图③中的位置时(BD>CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简洁的语言表述BD与DE、CE的关系，
提示：(1)要说明BD＝DE＋CE，观察图形可得，只需要说明BD＝AE，AD＝CE，由此只需说明△ABD≌△CAE，尽管它们都是直角三角形，但却不能用“HL”去判定，因为只有AB＝AC．因此只能说明∠ABD＝∠CAE，故结论得证；(2)由(1)的分析可知△ABD ≌△CAE，得BD＝AE，AD＝CE，故DE＝AD＋AE＝CE＋BD，即BD＝DE－CE；(3)分析与(2)相似；(4)只需归纳即可．
解答：(1)因为BD⊥AE于点D，CE上AE于点E，所以∠ADB＝∠AEC＝90º．因为∠BAC＝90º，∠ADB＝90º，所以∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝90º，所以∠ABD＝∠CAE．在△ABD和△CAE中，因为∠ABD＝∠CAE，∠ADB＝∠CEA，AB＝CA，所以△ABD≌△CAE( AAS)．所以BD＝AE，AD＝CE．又因为AE＝AD＋DE，所以BD＝DE＋CE．
(2) BD＝DE－CE：因为BD⊥AD于点D，CE⊥AE于点E，所以∠DAB＋∠DBA＝90º，∠CAE＋∠ACE＝90º，因为∠BAC＝90º，所以∠DAB＋∠CAE＝90º．所以∠DBA＝∠EAC．在△DBA和△EAC中，∠BDA＝∠AEC＝90º，∠DBA＝∠EAC，BA＝AC，所以△DBA≌△EAC(AAS)．所以BD＝AE，AD＝CE．所以BD＝AE＝DE－AD＝DE－CE．
(3) BD＝DE－CE．
(4)当点B、C在AE的异侧时，BD＝DE＋CE；当点B、C在AE的同侧时，BD＝DE－CE．
点评：动态几何题是指随着图形中某一个（或几个）元素的运动变化，导致问题的结论改变或保持不变的几何题，解这类题时要善于抓住以下几个特点：
(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；
(2)图形在变化过程中，弄清哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化，原来的等角、等线段是否还存在，
几种变化得到的图形之间存在必然的联系，说理的思路必然也存在联系，因而说理过程也相似，甚至相同．
热身练习
1．下列判断中，正确的是 ( )
A．全等三角形的面积相等
B．面积相等的三角形都是全等的三角形
C．等边三角形都是等积三角形
D．面积相等的直角三角形都是全等直角三角形
2．下列条件中，不能判断两个三角形全等的是 ( )
A．有两边和它们的夹角对应相等 B．有两边和其中一边的对角对应相等
C．有两角和它们的夹边对应相等 D．有两角和其中一角的对边对应相等
3．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，则此图中全等三角形有 ( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图，∠E＝∠F＝90º，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的是________（填写序号）．
5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段________ (不包括AB＝CD和AD＝BC)．
6．如图，点D、E是BC上的两点，且AB＝AC，AD＝AE．要使△ABE≌△ACD，根据“SAS”的判定方法，还需要给出的条件是________或________；根据“SSS”的判定方法，还需要给的条件是________或________．
7．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可以选择的地址有________处．
8．小明把直角三角板放在纸上，用笔画出它的轮廓△ABC，然后把三角板绕着点C旋转了一个角度，又画出了一个△EFC，他用量角器检查，发现∠ACE＝∠BCF，但不知道是什么原因，你能说明其中的理由吗？
9．同学们都知道：有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等．你如何处理和安排这三个条件，使两个三角形全等？请你仿照方案(1)写出方案(2)、(3)、(4)……（至少写三种）设有两边和一角对应相等的两个三角形．
方案(1)：若这个角的对边恰好是这两条边中的大边，则这两个三角形全等．
10．如图，点C是AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形．
(1)试说明AN＝MB．
(2)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转180º，使点A落在CB上，请画出符合要求的图形．
(3)在(2)所得到的图形中，结论“AN＝BM”是否成立？请说明理由．
(4)在(2)所得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于点D，请你判断△ABD的形状，并说明你的理由．
参考答案
1．A 2．B 3．C 4．①②③ 5．答案不惟一，如BO＝DO等 6．略 7．4
8．略 9．略 10．(1) 略 (2)略 (3)成立 (4)△ABD是等边三角形，理由略