人教版七年级下册第八章 二元一次方程组综合与测试教案

8.2 第 2 课时 加减法

【教学目标】

1. 用代入法、加减法解二元一次方程组.

2. 了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.

3. 会用二元一次方程组解决实际问题.

4. 在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意  识和能力.
5. 将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体, 进一步提高解方程组的技能.

【教学重点与难点】

用代入消元法解二元一次方程的步骤。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙 10 元钱， 乙借给丙 8 元钱，

丙又给甲 12 元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？ 二、师生互动，课堂探究

（一）提高问题，引发讨论

x  y  22

我们知道，对于方程组2x  y  40

①

② , 可以用代入消元法求解。

这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？ 利用这种关系你能发现新的消元方法吗？

（二）导入知识，解释疑难1.问题的解决

上面的两个方程中未知数y 的系数相同，②－①可消去未知数 y，得(2x+y)-(x+y)=40-22

即 x=18,把 x=18 代入①得 y=4。另外，由①－②也能消去未知数 y， 得(x+y)-(2x+y)=22-40

即-x=-18,x=18,把 x=18 代入①得 y=4.

4x 10 y  3.6 ①

2. 想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组

15x 10 y  8

分析：这两个方程中未知数 y 的系数互为相反数， 因此由①＋②可消去未知数 y，从

而求出未知数 x 的值。

58

解：由①＋②得 19x=11.6 x=

95

x  58

58 9

 95

把 x= 95 代入①得 y=- 95 ∴这个方程组的解为9

x  

 95

3. 加减消元法的概念

从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可  以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

4. 例题讲解

3x  4 y  16 ①

用加减法解方程组

5x  6 y  33

分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，   试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。

解：①×3,得 9x+12y=48 ③

②×2,得 10x-12y=66 ④

③＋④,得 19x=114

x=6

把 x=6 代入①，得 3×6+4y=16

1

4y=-2, y=-

2

x  6



所以，这个方程组的解是 y   1

 2

议一议：本题如果用加减法消去 x 应如何解？解得结果与上面一样吗？ 解：①×5，得 15x+20y=80 ③

②×3,得 15x-18=99 ④

③-④,得 38y=-19

1

y=-

2

1 1

把 y=-

2

代入①，得 3x+4×(-

)=16

2

3x=18

x=6

x  6



所以，这个方程组的解为 y   1

1

如果求出 y=-

2



1

后，把 y=

2

2

代入②也可以求出未知数 x 的值。

5. 做一做

 2x  3y  2x  3y  7

 4 3 ①

解方程组 2x  3y 2x  3y

  8 ②

 3 2

分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。

14x  3 y  84 ①

解：化简方程组，得

10x  3 y  48

③－④，得 4x=36

x=9

把 x=9 代入④（也可代入③，但不佳），得 10×9-3y=48

-3y=-42

y=14

x  9

∴这个方程组的解为 y  14

点评:当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把 2x+ 3y 和2x-3y 当成两个整体,用换元法,设 2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以 A、B 为未知数的二元一次方程组.

6. 想一想

(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么? (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些? 师生共析:

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数, 可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等, 可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍, 该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.

第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号, 合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边, 常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.

(三)归纳总结,知识回顾

本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的  两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.

作业：

1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.

(1)

(2)

3x  2 y  15

5x  4 y  23

7m  3n  1

2n  3m  2

①

② ,消元方法       .

① ,消元方法       .

②

2.用加减法解下列方程组:

(1)

(3)

4x  y  2

4x  3y  6

3x  2 y  5

4x  3y  1

(2)

(4)

3x  2 y  1

x  4 y  7

x  4 y  9

x  4 y  10

参考答案

1.(1)①×②-②消去 y (2)①×2+②×3 消去 n

x  19

2.(1)

x  0

 y  2

(2)

x  1

 y  2

(3)

x  1

 y  1

 2

(4)  1

  

 y  

 8