高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教案及反思

课程目标

学科素养

A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；

B.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题；

C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。

1.数学抽象： 角集与实数集间的一一对应；

2.逻辑推理：弧长公式及扇形的面积公式；

3.数学运算：求扇形的弧长和面积；

4.直观想象：由函数的图象表示函数；

5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.  在平面几何里，度量角的大小用什么单位？

【答案】角度制的单位有：度、分、秒。

 2.1°的角是如何定义的？

【答案】规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。

这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .

日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可以说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值。在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 — 弧度制，它是如何定义呢？

二、探索新知

探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？

角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时，

（1）分别计算相对应的弧长l

（2）分别计算对应弧长与半径之比

思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？

【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；

②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；

1.弧度的概念

 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.

  弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.

约定： 正角的弧度数为正数，

       负角的弧度数为负数，

       零角的弧度数为0.

思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度

数是多少?

【答案】2rad,-3rad.

思考2：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？

【答案】

结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。

2.角度与弧度的换算

思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？

【答案】360º，。

思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度，  1 rad等于多少度？

【答案】

例1.           把 67°30′化成弧度。

【解析】因为

所以。

例2.           把下列各角的弧度化为度数。

（1）

【解析】（1）

注：角度制与弧度制互化时要抓住 180°= rad 这个关键。

注:  常规写法

① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数．

②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.

③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。

填写下列表中特殊角的弧度数或度数。

3. 角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，

          任意角的集合         实数集R

例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）

。（其中R是扇形的半径，是弧长，，S是扇形的面积）。

通过复习初中所学角的单位及定义，类比长度的不同度量制，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过探究与思考，寻找弧长、半径与圆心角之间的关系，进而得弧度的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，进一步巩固弧度制的定义，提高学生分析问题、概括能力。

通过思考，归纳弧度与角度的互化。提高学生分析问题、概括能力。

通过例题学会角度与弧度的转化，提高学生解决问题的能力。

通过例题总结弧度制下的扇形的弧长公式、扇形的面积公式，提高学生的观察、概括能力。

三、达标检测

1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是(　　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

【解析】　B中k＝1时为显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C、D均错，只有A正确．

【答案】　A

2．与30°角终边相同的角的集合是(　　)

A．

B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}

C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}

D．

【解析】　∵30°＝30× rad＝ rad，

∴与30°终边相同的所有角可表示为

α＝2kπ＋，k∈Z，故选D．

【答案】　D

3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)

A．π   B．π   C．π   D．π

【解析】　240°＝240× rad＝πrad，

∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，选A．

【答案】　A

4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_______．

【解析】　由－1 485°＝－5×360°＋315°，

所以－1 485°可以表示为－10π＋π.

【答案】　－10π＋π

5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．

【解析】　设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α，

则2R＋l＝4.①

由扇形的面积公式S＝ lR，得lR＝1.②

由①②得R＝1，l＝2，∴α＝＝2 rad.

∴扇形的圆心角为2 rad.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 1弧度角的定义；

2.角度制与弧度制的联系与区别；

3.弧长公式与扇形的面积公式;

五、作业

习题5.1   5.（2）、（4）,6.（1）,9题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。