2022年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷（含解析）

2022年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下面四个数中，的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 根据国家统计局数据显示，我国冰雪运动参与人数达到人．数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，该几何体是由个大小相同的小正方体堆成的，则该几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 化简的结果是

A.  B.  C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，已知点，都在直线上，则，的大小关系是

A.  B.  C.  D. 不能确定

6. 如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 为了了解学生学科作业量，某中学对学生做周末学科作业的时间进行抽样调查，结果如表：

关于“周末做学科作业时间”这组数据说法正确的是

A. 中位数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 众数是

8. 已知，满足方程组，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为．

A.  B.  C.  D.

10. 二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：

且当时，与其对应的函数值，有下列结论：
；图象的顶点在第三象限；；和是关于的方程的两个根．其中正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分解因式：          ．
12. 在一个不透明的盒子中装有红球和白球共个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在，则盒子中白球大约有______个．
13. 不等式组的解集为______．
14. 如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点，连接，若，则的度数为______．
     

15. 某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商场又用万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元，很快售完，商场第二批销售这种衬衫______件．
16. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“双等腰四边形”，其中这条对角线叫做这个四边形的“等腰线”如果凸四边形是“双等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么凸四边形的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

17. 计算：．
18. 冰墩墩将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，整体形象酷似航天员，凭借憨态可掬的模样和活波调皮的性格，成为新晋“顶流”，同时形成了“一墩难求”的局面，小丽爸爸买了四个外包装完全相同的冰墩墩手办，其中两个为经典造型，两个为冰球造型，在没有拆外包装的情况下，小丽和哥哥各自从这四个手办中随机拿走一个．
    若小丽从这四个手办中拿走一个，则小丽拿走的是经典造型的概率为______；
    若小丽先拿走一个，哥哥再从剩下的三个中随机拿走一个，求小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的概率．

19. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，过点作，交于点．
    求证：四边形是矩形；
    若，矩形的面积为，请直接写出的值．

20. 为了解家长们对“双减政管”的了解情况，从某校名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调查评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
    本次抽取家长共有______人．其中“基本了解”的占______；
    直接补全条形统计图；
    估计此校“非常了解”和“了解较多”的家长一共有多少人？

21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，是轴正半轴上的一个动点，且四边形是平行四边形．
    求和的值；
    若点落在反比例函数的图象上，则边的长为______；
    当的中点落在反比例函数的图象上时，▱的面积是______．

22. 如图，是的直径，点，在上，且平分，过点作的垂线，与的延长线相交于点，与的延长线相交于点．
    求证：与相切；
    若，，则的值为______．
     

23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交，轴于点和，与经过点，的直线交于点．
    求直线的函数解析式及点的坐标；
    点是线段上的动点，连接．
    当分面积为：时，请直接写出点的坐标；
    将沿着直线折叠，点对应点，当点落在坐标轴上时，直接写出点的坐标．

24. 在中，，，将绕点顺时针旋转得到，射线交直线于点，过点作射线，交直线于点．
    如图，当点是的中点时，的长为______，的值为______；
    如图，当点与重合时，求证：四边形是菱形；
    当点，，中有一个点是其它两点构成线段的中点时，请直接写出线段的长．

25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，交轴于点，点是抛物线上的一个动点．
    求抛物线的解析式；
    如图，当点在上方时，作轴，交于点，过中点作轴，交直线于点，作于点，当时，求线段的长；
    如图，取中点，点，是射线上的两个动点点在的左侧，且，将点向上平移个单位长度至点，点是轴正半轴上的一点，且，连接和交于点，请直接写出点的运动路径与抛物线交点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】

【解析】解：


，
故选：．
先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：中，
随增大而增大，
，
，
故选：．
由一次函数系数可得随增大而增大，进而求解．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．
 

6.【答案】

【解析】解：如图，在优弧上取点，连接，，

，
，
，
故选：．
根据的度数可先求出弧所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：、这组数据按照从小到大排列后最中间的数是和，则这组数据的中位数是，故A是正确的，符合题意；
B、这组数据按照从小到大排列后最中间的数是和，则这组数据的中位数是，故B说法错误，不符合题意；
C、出现的最多，众数是，故C说法错误，不符合题意；
D、出现的最多，众数是，故D说法错误，不符合题意．
故选：．
根据众数、中位数的定义计算各量，然后对各选项进行判断．
本题考查了中位数、众数的定义，解答本题的关键是掌握相关概念．
 

8.【答案】

【解析】解：，
得：
，
，
故选：．
把两个方程相加，进行计算即可解答．
本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：在中，，，，
，
故选：．
由锐角三角函数定义得，即可得出答案．
本题是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线经过，，
，抛物线对称轴为直线，
，即，
，错误．
抛物线对称轴为直线，
错误．
，
，关于对称轴对称，
，正确．
抛物线经过，抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，即和是关于的方程的两个根，正确．
故选：．
由抛物线经过，，可得抛物线对称轴为直线，从而可得，，从而判断，由抛物线对称性可得，关于对称轴对称，，关于对称轴对称，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
 

11.【答案】

【解析】解：．
本题应先提出公因式，再运用平方差公式分解．
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】

【解析】解：根据题意，盒子中白球的个数可能是个，
故答案为：．
用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

13.【答案】

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：由作法得垂直平分，
，，
，
设，则，
，为斜边上的中线，
，
，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
利用基本作图得到，，设，则，利用为斜边上的中线得到，则，利用三角形外角性质得到，则利用可求出，从而得到的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

15.【答案】

【解析】解：设商场第一批购进这种衬衫件，则商场第二批购进这种衬衫件，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
即商场第二批销售这种衬衫件，
故答案为：．
设商场第一批销售这种衬衫件，则商场第二批销售这种衬衫件，由题意：某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用万元购进这种衬衫，商场又用万元购进了第二批这种衬衫，但单价贵了元，很快售完，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

16.【答案】或

【解析】解：凸四边形是“等腰四边形”，为等腰线，
、为等腰三角形，
当时，
，，
为等边三角形，

，，
，
过作，
，，
，
，
；
当时，
过作，过作交延长于点，

，为等腰三角形，
，
，，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
，，


．
故答案为：或．
分和两种情况分别计算四边形的面积即可．当时，；当时，．
本题考查等腰三角形性质、面积公式，解题关键是准确理解“双等腰四边形”定义．
 

17.【答案】解：


．

【解析】首先计算零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】

【解析】解：若小丽从这四个手办中拿走一个，则小丽拿走的是经典造型的概率为，
故答案为：；

设两个为经典造型分别为甲、乙，两个为冰球造型丙、丁，
画树状图如图所示，

共有种等可能的结果，小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的有种情况，
小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
设两个为经典造型分别为甲、乙，两个为冰球造型丙、丁，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】证明：在平行四边形中，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，
矩形的面积为，
，
，
，，
，
，
故的值为．

【解析】根据平行线的性质得到，求得，根据三角形中位线定理得到，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据平行四边形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次抽取家长共有：人，
“基本了解”的占：，
故答案为：，；

了解较多的人数有：人，
补全统计图如下：


根据题意得：
人，
答：估计此校“非常了解”和“了解较多”的家长一共有人．
由“非常了解”的人数除以所占百分比得出本次抽取家长共有的人数，用总人数乘以“基本了解”的人数所占的百分比即可；
先求出了解较多的人数，再补全统计图即可；
用该校的总人数乘以“非常了解”和“了解较多”的家长所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】 

【解析】解：把点代入直线中得：，
，
，
当时，，
，
点在反比例函数的图象上，
；
四边形是平行四边形，
点的横坐标为，
，
，
，
故答案为：；
点，，
的中点的横坐标为，
四边形是平行四边形，
的中点就是的中点，
的中点落在反比例函数的图象上，
这个中点的坐标为，
，
如图，过作轴，过点作轴，

▱的面积．
故答案为：．
根据点的坐标可得，由此可得点的坐标，确定；
根据平移的性质可得点的横坐标，根据反比例函数关系式可得的坐标；
根据面积差可得▱的面积．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，平行四边形的面积等知识，作辅助线构造矩形是解题的关键．
 

22.【答案】

【解析】证明：连接，

，

又平分，

，
，
又，
，
是半径，
是的切线；
解：连接，

是的直径，
，
，，
，
，
故答案为：．
由题意可证，且，可得，即是的切线；
由勾股定理求出的长，由锐角三角函数的概念可得出答案．
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键．
 

23.【答案】解：设直线的函数解析式为，
将点，的坐标代入得：，
解得：，
，
联立，
解得：，
；
当分面积为：时，：：或：：，
设点的坐标为，其中，
则，，
或，
解得：或，
所以点的坐标为或；
当落在轴负半轴时，，
由题意可知：，，，
，，
此时与点重合，点是线段的中点，
；
当落在轴正半轴时，，
此时，
，
设，
则，，
，
，
解得：，
此时点的坐标为；
当落在轴负半轴时，，
此时，
，
设，
则，，
，
，
解得：，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．

【解析】根据待定系数法求直线的函数解析式，联立方程组，解方程组求交点的坐标；
根据同高的两个三角形，面积比等于底边之比，设出点的坐标，表示，，分两种情况列出方程求解即可；
因为坐标轴的位置不确定，分三种情况分别计算即可．
本题考查了一次函数综合题，考查分类讨论的思想，掌握同高的两个三角形，面积比等于底边之比是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：在中，，，点是的中点，
，，
，
，
故答案为：；；
证明：当点与重合时，即，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形；
解：当旋转角等于时，此时，，，共线，为中点，

，
为的中位线，即为的中点，符合题意，
过点作于，过作于，
则，
平分，
，，
由知，
，
，
，
故DE；
当为中点时，如图，

过点作于，于，则，
平分，
即，
，
，
，
，
设，则，
由题意知，，，，
在中，由勾股定理得：
，
解得或舍，
，
综上所述：或．
由等腰三角形的性质可知，，利用勾股定理可得的长，从而得出答案；
首先根据两组对边分别平行可知，四边形是平行四边形，再说明，可证明结论；
分点为中点或当为中点，分别画出图形，利用等腰三角形的性质从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，菱形的判定与性质，三角函数，勾股定理等知识，利用旋转的性质，画出示意图是解决问题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
 

25.【答案】解：把和代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；

如图，延长交于，

，，
四边形是平行四边形
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将，坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，则， ，
，，
，
解得， 舍去，
．
线段的长是；

作轴，交的延长线于点，

是的中点，，，
，，
，是的中点，
，
设直线的解析式为，
将代入，得--，．
直线的解析式为，
，，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将， 代入得：
，解得，
直线，的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
令，
解得，，
，
，消去得，
点的运动路径为直线，
联立得方程，
解得，不合题意，舍去，
点的运动路径与抛物线的交点的横坐标为．

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
延长交于，证明四边形是矩形，推出，求出直线的解析式为，设，则， ，表示出，，根据求出的值，即可求解；
根据等腰直角三角形的性质得，求出直线的解析式为，可得，设，则，，则直线，的解析式为，直线的解析式为，
联立可得，由，消去得，则点的运动路径为直线，联立得方程，解方程即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数图象和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想是解题的关键．