2022年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷（含解析）

2022年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列实数最小的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成的，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

3. 年月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举．火星与地球的最近距离约为万千米，该数据用科学记数法可表示为千米．

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 下表是有关企业和世界卫生组织统计的种新冠疫苗的有效率，则这种疫苗有效率的中位数是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知每个小方格的边长均为，则与的面积比为

A. ： B. ： C. ： D. ：

8. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是

A.  B.  C.  D.

9. 下列事件中，是必然事件的是

A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B. 任意买一张电影票，座位号是的倍数
C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯

10. 如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分解因式____．
12. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均值都是环，方差分别为，，则两人成绩比较稳定的是______填“甲”或“乙”．
13. ______ ．
14. 不等式组的解集是______．
15. 如图，中，，在轴上，，分别为，的中点，连接，为上任意一点，连接，，反比例函数的图象经过点若的面积为，则的值是______．

16. 如图，在中，，，为边上的中点，过点的直线将的周长平分，交于点，则的长为______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共76分）

18. 在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，请直接写出的长为______ ．

19. 为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
    A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
    B.疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
    C.接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
    D.疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
    志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
    小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是______．
    小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到海报的概率．
20. 某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买，两种型号的新型公交车，已知购买辆型公交车和辆型公交车需要万元，辆型公交车和辆型公交车需要万元．
    求型公交车和型公交车每辆各多少万元？
    公交公司计划购买型公交车和型公交车共辆，且购买型公交车的总费用不高于型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆型公交车？
21. “赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
    求本次抽样调查的人数；
    在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是______；
    将条形统计图补充完整；
    该校共有名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数．

22. 如图，在中，，是边上的中线，以为直径作，连接并延长至，使得，连接．
    求证：是的切线；
    若，求阴影部分的面积．
     

23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、点在点的上方
    求点的坐标及度数；
    设的面积为，直线运动时间为秒．
    当，则能大致反映与的函数关系的图象是______．
    当时，直接写出与的函数表达式；
    在题的条件下，是否存在某一时刻，使得的面积与菱形的面积之比为：如果存在，直接写出值；如果不存在，请说明理由．

24. 如图，中，，，边绕点顺时针旋转角得到线段，连结，，过点作于点．
    如图，若，求的度数；
    如图，若，直接写出的度数；
    如图，若，依题意补全图，并求的度数．

25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点和点．
    求抛物线的解析式；
    如图，点为轴左侧抛物线上一动点，连、和．
    当点在直线上方时，连交于，记，求的最大值及取最大值时点的坐标？
    当点满足时，直接写出点坐标为______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为，
所以最小的实数是．
故选：．
根据实数大小比较的方法进行求解是解决本题的关键．
本题主要考查了实数大小比较，熟练应用实数大小的比较方法进行求解是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：．
根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
 

3.【答案】

【解析】解：火星距离地球的最近距离约为万千米，这个数据用科学记数法可表示为千米，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.，故C选项符合题意；
D.，故D选项不符合题意，
故选：．
根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的性质逐项计算可判断求解．
本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：如图，作，

三角尺是含角的三角尺，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质求解，
本题主要考查平行线的性质定理，解题的关键是利用两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等求解．
 

6.【答案】

【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、，其中处在第位为中位数．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了中位数的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
 

7.【答案】

【解析】解：如图：

由题意得：
，，，，，
，
∽，
，，
，
，，
∽，
，
与的面积比为：，
故选：．
根据题意可得，，，，，从而证明∽，进而利用相似三角形的性质可得，，然后可得，再利用平行线的性质可得，，从而证明∽，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：直线与相交于点，
，
，
，
当时，，
关于的方程的解是，
故选：．
首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
 

9.【答案】

【解析】解：、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；
B、任意买一张电影票，座位号是的倍数，是随机事件；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

10.【答案】

【解析】解：连接，如图，
为的直径，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
先提取公因数 ，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式： ．
【解答】

解： ，
，
．
 

12.【答案】乙

【解析】解：，，，
，
乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：
原式约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解．
本题考查了解一元一次不等式组，遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

15.【答案】

【解析】解：
如图：连接，
中，，在轴上，、分别为，的中点，
，，
，
．
故答案为：．
根据等腰，中位线得出，，应用的几何意义求．
本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，延长至，使得，取的中点，连接，，过点作于点，

为边上的中点，
，
，
，
直线将的周长平分，
，，
，
，
，
，，
，
是中点，是的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
延长至，使得，取的中点，连接，，过点作于点，直线将的周长平分，根据三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作图是解题关键．
 

17.【答案】解：

．

【解析】此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案．
 

18.【答案】

【解析】证明：是边的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：，，
，
，
由得：四边形是平行四边形，，，
，
平行四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
证≌，得，再由，即可得出四边形是平行四边形；
先证，再证平行四边形是矩形，得，，然后由勾股定理求出，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：
画树状图如图：

共有种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到海报的结果有种，
小张和小李两个人中有一个人抽到海报的概率为．

【解析】小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是，
故答案为：；
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到海报的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设型公交车每辆万元，型公交车每辆万元，
由题意得：，
解得：，
答：型公交车每辆万元，型公交车每辆万元；
设该公司购买辆型公交车，则购买辆型公交车，
由题意得：，
解得：，
答：该公司最多购买辆型公交车．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设型公交车每辆万元，型公交车每辆万元，由题意：购买辆型公交车和辆型公交车需要万元，辆型公交车和辆型公交车需要万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设该公司购买辆型公交车，则购买辆型公交车，由题意：购买型公交车的总费用不高于型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
 

21.【答案】

【解析】解：总人数人；
阴影部分扇形的圆心角，
故答案为：；
优秀的人数为：人，
形统计图如图所示：


测试成绩达到优秀的学生人数有：人，
答：该校名学生中测试成绩达到优秀的学生有人．
由良好的人数除以占的百分比求本次抽样调查的人数；
根据一般的人数所占百分比即可求出圆心角的度数；
求出优秀的人数即可画出条形图；
求出优秀占的百分比，乘以即可得到结果．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】解：，是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
是的切线；
，，
，，
则阴影部分的面积．

【解析】证明≌，得到，根据切线的判定定理得到答案；
求出，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式计算得到答案．
本题考查的是切线的性质和判定和扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键．
 

23.【答案】

【解析】解：如图，过点，作，分别交于点，，

，
，，
，
，
，
即，
四边形为菱形，
，，
，
由题意可分两种情况：
当时，如图所示，

由题意得：，，
，
，
；
当时，如图所示，过点作于，

则可得四边形为矩形，
，
，
，
，
故与的函数关系的图象为选项，
故选：；
当时，如图所示，设直线交于，

则可知，
，，
，
四边形为矩形，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
，
，
，，，
，
，
；
存在，
，
：：，
，
当时，可得，
不符合，舍去，
当时，可得，
，
当时，可得，
或不符合，舍去，
综上，当或时，的面积与菱形的面积之比为：．
过点，作，分别交于点，，由点的坐标可得和的长度，再利用三角函数可得的度数，利用勾股定理得的长度，再根据菱形的性质可得点的坐标；
当时，可得；当时，过点作于，可得，从而得出答案；
设直线交于，首先利用待定系数法求出直线的解析式，得出，从而解决问题；
根据，利用中三种情形，分别列出方程，可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，待定系数法求函数解析，解一元二次方程，三角形的面积，二次函数的图象与性质等知识，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，注意分类讨论是解题的关键．
 

24.【答案】解：边绕点顺时针旋转角得到线段，
，
，是等边三角形，
，，
又，
，，
于点，
；
如图，结论：，
证明：过点作于，
，，
，又，
，
，又，
，
；
如图，过点作于．
，
，，，
又，
，
，
，
，

于点，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
又，
，
，
又，
，
．

【解析】根据，得到是等边三角形，求出，得到，得到答案；
过点作于，根据，得到，求出，证明，得到；
证明过程与类似，可以求出的度数．
本题考查的是几何变换即旋转的性质，掌握旋转的性质并正确找出对应关系是解题的关键，注意三角形确定的判定定理和性质定理的灵活运用以及直角三角形的性质的运用．
 

25.【答案】或

【解析】解：直线经过点和点，
当时，当时，，
，，
抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
，解得，
抛物线的解析式为．
过点作轴，垂足为，
抛物线的解析式为，
当时，，解得或，
，
，，
，，．
设，
，，




，
，
．

，
当时，有最大值，
此时
根据题意可知，，
．
需要分两种情况：
当点在直线上方时，设直线交轴于点，
，
，
∽，
：：，即：：，
，即．
直线的解析式为：，
令，解得舍去或，
；
当点在直线下方时，设直线交轴于点，

，
，
，
点是的中点，
，
直线的解析式为：，
令，解得舍去或，
．
综上，点的坐标为：或．
由直线解析式可得出点和点的坐标，代入抛物线解析式即可求出抛物线的解析式；
由中的抛物线的解析式可求出点，，的坐标，进而可求出直线的解析式，过点作轴的垂线交轴于点，由三角形的面积之间的关系可得出，再利用二次函数的性质求出的最大值和最小值，由此可得出结论；
分两种情况：当点在直线上方时，设直线交轴于点，易证∽，可得出点的坐标，进而得出直线的解析式，联立即可得出点的坐标；当点在直线下方时，设直线交轴于点，易得是等腰三角形，得出点的坐标，进而可得出直线的解析式，联立即可得出点的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数的图象与性质，求一次函数和二次函数交点，分类讨论思想等知识，注意分类讨论，得到直线的解析式是解题关键．