（新高考地区专用）2021届高考考前冲刺卷 数学（十一）

（新高考）2021届高考考前冲刺卷

数 学（十一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数(i为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列说法中正确的是（    ）

A．命题“p且q”为真命题，则p､q恰有一个为真命题

B．命题“，”，则“，”

C．命题“函数有三个不同的零点”的逆否命题是真命题

D．设等比数列的前n项和为，则“”是“”的充分必要条件

4．等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（    ）

A． B． C． D．

5．已知偶函数在上单调递增，若，则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．在区间上任取一个实数，则使得直线与圆有公共点的概率

是（    ）

A． B． C． D．

7．已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（    ）

A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大

B．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病

D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关

10．对于给定的异面直线、，以下判断正确的是（    ）

A．存在平面，使得，

B．存在直线，使得同时与、垂直且相交

C．存在平面、，使得，，且

D．对于任意点，总存在过且与、都相交的直线

11．已知，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的最大值为

C．在上单调递增 D．在上单调递减

12．关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．是的极大值点

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数，使得恒成立

D．对任意两个正实数，，且，若，则

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵佶建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种．小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为_________．

14．已知外接圆的直径为d，，，，则_________．

15．设；，若是的必要不充分条件，则的取值范围为________．

16．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为_________；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则_________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列满足，，，．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设数列的前项和．证明：．

18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为，，点D在边AC上，且，．

（1）求角B的大小；

（2）求面积的最大值．

19．（12分）某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩X服从正态分布，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．

（1）已知，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？

（2）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？

20．（12分）如图，，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）．

（1）求证：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

21．（12分）已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为．

（1）求双曲线的方程；

（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值．

22．（12分）已知，．

（1）若在点处的切线斜率为，求实数的值；

（2）若有两个零点，且，求证：．

1．【答案】D

【解析】，，

所以，故选D．

2．【答案】B

【解析】因为复数，所以，，

所以，

所以在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限，故选B．

3．【答案】D

【解析】A选项，“p且q”为真命题，则都是真命题，所以A选项错误；

B选项，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以B选项错误；

C选项，，，为单调递增函数，只有个零点，所以原命题是假命题，其逆否命题也是假命题；

D选项，（等比数列公比），所以D选项正确，

故选D．

4．【答案】B

【解析】因为是等差数列，且，得，

对于A，，故错误；

对于B，，，故正确；

对于C，，，故错误；

对于D，，故错误，

故选B．

5．【答案】D

【解析】因为偶函数在上单调递增，

所以在上单调递减，且，

由，得，解得，故选D．

6．【答案】C

【解析】圆的圆心为，半径为1，

要使直线与圆有公共点，

则圆心到直线的距离，解得．

在区间中随机取一个实数，

则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为，

故选C．

7．【答案】D

【解析】不妨设，，，且，

因为，所以，

设，，，，

所以，

由于，故，故选D．

8．【答案】D

【解析】设曲线上的点，，；

曲线上的点，，，

，，

，，

，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】ABD

【解析】选项A，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，

则观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确；

选项B，根据的观测值越小，原假设“X与Y没关系”成立的可能性越大，

则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项B正确；

选项C，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，

不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确；

选项D，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，

是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关，

是独立性检验的解释，所以选项D正确，

故选ABD．

10．【答案】BC

【解析】对于A选项，若存在平面，使得，，则，与题设条件矛盾，假设不成立，A选项错误；

对于B选项，作直线，使得且，则直线、确定平面，如下图所示：

过点作直线，使得．

①若与相交，则直线即为所求作的直线，

，，所以，，

，所以，

即直线同时与、垂直且相交；

②若直线与异面，过直线作平面，使得，

设直线与确定的平面为，且，由线面平行的性质定理可得，

，则，

，，

，，同理可知，

由图可知，，

，，则，同理可知，直线与也相交．

此时，存在直线，使得同时与、垂直且相交．

综上所述，存在直线，使得同时与、垂直且相交，B选项正确；

对于C选项，作直线，使得直线与相交且，直线与确定平面，

作直线，使得直线与相交且，直线与确定平面，

，，，所以，同理可得，

因为直线与相交，且直线与确定平面，所以，

因此，存在平面、，使得，，且，C选项正确；

对于D选项，若点既不在直线上，也不在直线上，则点与直线可确定平面，

当时，无法找到过点的直线同时与、相交，D选项错误，

故选BC．

11．【答案】ABD

【解析】的最小正周期为，的最小正周期为，

所以的最小正周期为，A正确；

，

设，则，，

令，得或．

当时，；当时，，

可知当时，取得最大值，

不妨取，当时，，

当时，根据题意知，∴，

则，B正确；

∵，∴，单调递增，，不单调，则不单调，C错误；

∵，∴，单调递减，，，单调递减，则单调递减，D正确，

故选ABD．

12．【答案】BD

【解析】A：函数的定义域为，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以是的极小值点，故A错误；

B：，，

所以函数在上单调递减，

又，，

所以函数有且只有1个零点，故B正确；

C：若，即，则，

令，则，

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，所以，

所以在上单调递减，函数无最小值，

所以不存在正实数，使得恒成立，故C错；

D：因为在上单调递减，在上单调递增，

∴是的极小值点，

∵对任意两个正实数，，且，若，则．

令，则，

由，得，∴，

即，即，解得，，

所以．

故要证，需证，

需证，需证．

∵，则，∴证．

令，，

，所以在上是增函数．

因为时，，则，所以在上是增函数．

因为时，，则，所以，

∴，故D正确，

故选BD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】小平钱2枚编号为，折二钱3枚编号为，

则任取2枚的所有基本事件为共10种，

其中两枚不同类的有共6种，

所求概率为，故答案为．

14．【答案】

【解析】由余弦定理得，所以，

由正弦定理得，

故答案为．

15．【答案】

【解析】设表示的是集合，表示的是集合，

若是的必要不充分条件，则，

在坐标轴中作出满足的可行域，如下图阴影部分所示：

由，

则结合上图可知，点应在圆内部或者圆上，

即，解得，

故答案为．

16．【答案】，

【解析】由于点关于直线对称的点Q在椭圆上，由于的倾斜角为，画出图象如下图所示，

由于是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知为等腰直角三角形，且为短轴的端点，故离心率．

不妨设，，则椭圆方程化为，

设直线的方程为，

代入椭圆方程并化简得．

设，，则①，②．

由于，故③．

解由①②③组成的方程组得，即，．

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】证明：（1）∵，，

∴，∴，

∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．

（2）由（1）知：，∴，

，

∴，

所以．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由及正弦定理，得，

又，所以，

即，

因为，，所以，

又，得．

（2）方法1：因为点D在边AC上，且，

所以，

，即，

即，

由，可得，即，当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值为，

当且仅当，即，时等号成立．

方法2．设，则，，

在中，由余弦定理得，即；①

同理，在中，由余弦定理得，②

由①②消掉，得．③

在中，由余弦定理，得，即，④

把④代入③，得，

由，可得，即，

所以面积的最大值为，

当且仅当，即，时等号成立．

19．【答案】（1）456分；（2）39万元．

【解析】（1）X服从正态分布：，

因为，；

所以，

根据正态曲线的对称性，，，

所以，

若40万考生中一本院校招收6万考生，则一本院校考生占比为，

所以这一年一本最低录取分数为456分．

（2）X的分布列如下：

所以，

因为一本院校招生一共6万人，每人的话费期望值为65元，

故总额为万元．

20．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）由题意，，分别是圆台上下底面的圆心，可得底面，

因为底面，所以，

又由点是下底面内以为直径的圆上的一个动点，可得，

又因为，且平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，则，，

可得，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，

所以；

又由，，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，

所以，

所以，

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

21．【答案】（1）；（2）证明见解析，定值2．

【解析】（1）双曲线（，）的渐近线方程为和，

由动点到两条渐近线，的距离之积为，

则，

又，即，解得，，

则双曲线的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，

与双曲线的方程联立，可得，

直线与双曲线的右支相切，可得，

可得，

设直线与轴交于，则，

，

又双曲线的渐近线方程为，

联立，可得，

同理可得，

则，

即有面积为定值2．

22．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），则，

由，得．

（2）证明：有两个零点，

即有两个不等根、，

即，即．

令，则．

记，则，

记，则，

所以，即，

即在上单调递增，即，

所以，所以．