（新高考地区专用）2021届高考考前冲刺卷 数学（十）

（新高考）2021届高考考前冲刺卷

数 学（十）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

2．设是复数的共轭复数，若，则（    ）

A．2 B． C．2或 D．2或

3．已知数列是公差为的等差数列，为其前项和，若，，则公差（    ）

A． B． C． D．

4．设，则“”是“直线和圆有公共点”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

5．已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，则的值为（    ）

A．或 B．或2 C． D．

6．我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若为的中点，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，

则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知定义在上的函数，对任意x都满足，且当时，则函数的零点个数为（    ）

A．12 B．14 C．15 D．16

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列选项中，与的值相等的是（    ）

A．  B．

C．  D．

10．下列命题中，正确的命题有（    ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，，则

B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为

11．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如图），则（    ）

A．以正八面体各面中心为顶点的几何为正方体 B．直线与是异面直线

C．平面平面     D．平面平面

12．已知曲线与曲线有公共点，且在第一象限内的公共点处的切线相同(e是自然对数的底数)，则当m变化时，实数a取以下哪些值能满足以上要求（    ）

A．1 B．e C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在二项式的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是_____．

14．已知函数是奇函数，则的值等于_________．

15．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为_________米时看A，B的视角最大．

16．已知区域表示不在直线()上的点构成的集合，则区域的面积为________，若在区域内任取一点，则的取值范围为_________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求B；

（2）若的面积是，，求b．

18．（12分）已知数列的前项和为，数列的前项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（12分）某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学局接球训练成绩，每局训练时教练连续发个球，该同学每接球成功得分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，

①求该同学局接球训练成绩的样本平均数；

②若该同学的接球训练成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，

求的值；

（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发个球，该同学得分达到分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达局，则比赛结束，记比赛的局数为．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求．

参考数据：若随机变量，则，，．

20．（12分）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，在底面上的射影是的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值．

21．（12分）已知圆，动圆M过点且与圆C相切．

（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；

（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

22．（12分）已知函数在点处的切线垂直于y轴．

（1）求的单调区间；

（2）若存在a，b，c使得，求证：．

1．【答案】D

【解析】，，，

又全集，

所以，图中阴影部分所表示的集合为，故选D．

2．【答案】C

【解析】设，，

因为，所以，

所以，所以，解得或，

所以或，

所以或，

故选C．

3．【答案】D

【解析】数列是公差为的等差数列，为其前项和，，，

，解得，，

故选D．

4．【答案】A

【解析】圆，圆心，半径，则，

若直线与圆有公共点，

则圆心到直线的距离，解得，

，

所以“”是“直线和圆有公共点”的充分不必要条件，

故选A．

5．【答案】B

【解析】因为抛物线的焦点为，准线的方程为，

所以圆．

联立方程得，消元得，

即，所以，

所以，(不合题意，舍去)，

所以，

所以点的坐标为或，所以或2，故选B．

6．【答案】D

【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，

设，由为的中点，

∴，，，，，

则，，，

由，得，

∴，解得，则，

故选D．

7．【答案】C

【解析】由及余弦定理，可得，

由正弦定理边化角，得，

，，

，

是锐角三角形，，即，

，，

那么，

则，故选C．

8．【答案】B

【解析】∵，∴函数是周期为2的周期函数．

令，则，

由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数．

当时，，

在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），

结合图象可得两函数的图象有14个交点，

∴函数的零点个数为14，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】BC

【解析】，

A．，故错误；

B．，故正确；

C．，故正确；

D．，故错误，

故选BC．

10．【答案】BCD

【解析】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以A错误；

根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B正确；

由正态分布的图象的对称性可得，所以C正确；

甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率，故D正确，

故选BCD．

11．【答案】AD

【解析】对于A选项，如图1，由于正方体与正八面体是对偶多面体，

所谓对偶，就是说，连接正方体(有六个面)相邻两个界面的中心，

将得到正八面体(这也说明了为什么正方体的界面数等于正八面体的顶点数，都是6)；

反之，连接正八面体相邻两个界面的中心，将得到正方体，故A选项正确；

对于B选项，如图2，由三角形中位线定理易知，，，，

故，，所以直线与不是异面直线，故B选项错误；

对于C选项，如图3，取中点，连接，

不妨设正方体的边长为，

由正八面体的性质知均为正三角形，且边长为，

故，，，

所以为平面与平面所成的二面角的平面角，

故在中，，，

由余弦定理得，

故平面与平面不垂直，故C选项错误；

对于D选项，如图4，由B选项可知，

故四边形为平行四边形，所以，

由中位线定理易知，，所以，

由于，，所以平面平面，故D选项正确，

故选AD．

12．【答案】AB

【解析】设公切点为，，则，

求导得，，

由切线相同知，即，

则，，

令，，，

在时，，单调递减，，

故函数的值域为，即只需均可满足条件．

易知，或时均满足，或时不满足，

故选AB．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】∵二项式的展开式的通项公式为，

共有6项，它们的系数分别为，

整理为1，5，10，10，5，1，共计2个偶数，4个奇数，

∴所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率为，

故答案为．

14．【答案】或

【解析】为奇函数，，即，

，整理可得，

，解得．

当时，，；

当时，，，

综上所述：或，故答案为或．

15．【答案】

【解析】过C作，交AB于D，如图所示：

则，

设，

在中，，

在中，，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以取最大值时，最大，

所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大，

故答案为．

16．【答案】，

【解析】将直线方程转化关于m的方程为．

∵区域表示不在直线()上的点构成的集合，

∴方程无根．

①当时，，整理得，

即在以为圆心，1为半径的圆的内部，则区域的面积为．

令，则，，，

设与夹角为，则，

∵，，∴，∴；

②当时，直线方程为，令，解得，

当时，必有取值，

则当时，只有不在直线上．此时，

综上所述，的取值范围为，

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）由，得，

得，得，

由正弦定理得，

因为，所以，所以，

因为，所以．

（2）若的面积是，

则，解得，

所以．

由余弦定理，可得，

所以．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）记数列的前项和为，所以，

所以当时，，

两式作差，得当时，，

因为当时，，也符合上式，

所以的通项公式为．

（2）由（1）知．

因为，所以，

所以数列的前项和

，

所以数列的前项和．

19．【答案】（1）①；②；（2）．

【解析】（1）①由频率分布直方图可得．

②可知，，则，，

所以，．

（2）由频率分布直方图可知，在一局中，该同学得分达到分的概率为，

由题意可知，随机变量的可能取值有、、，

；；

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，．

20．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：设中点为D，连接，

因为在底面上的射影为中点，所以平面，

又因为平面，所以平面平面，

又因为平面平面，，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

又因为四边形为菱形，所以，

而，平面，所以平面．

（2）解：不妨设，则，

因为，，所以，

又因为四边形为菱形，所以，故为等边三角形，

所以，故，

由（1）知平面，，

以B为原点，建立空间直角坐标系如图，

，，，，，

所以，

设平面法向量为，

，，由，得，取，

可得一个，

设与平面所成角为，则，

所以与平面所成角的正弦值为．

21．【答案】（1）；（2）是定值，定值为．

【解析】（1）因为，所以点D在圆内．

又因为圆M过点D且与圆C相切，所以，

所以，

即点M的轨迹是以C，D为焦点的椭圆，则，即．

又因为，所以，

故动圆圆心M的轨迹E的方程为．

（2）当直线AB的斜率不存在时，可得直线AB的方程为，此时，

所以四边形OAPB的面积；

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，

由，整理得．

因为直线l与轨迹E相交于A，B两点，

所以．

设，，则，，

所以．

设AB的中点为Q，则Q的坐标为，

因为四边形OAPB为平行四边形，所以，

所以点P的坐标为，

又因为点Р在椭圆上，所以，

整理得．

又因为，

原点О到直线AB的距离为，

所以平行四边形OAPB的面积，

综上可知，平行四边形OAPB的面积为定值．

22．【答案】（1）在区间，上单调递增，在区间上单调递减；（2）证明见解析．

【解析】（1），

在点处的切线垂直于轴，，得，

则，

时，；时，，

在区间，单调递增，在区间单调递减．

（2）设，则．

欲证明：，即．

因为，且在上单调递增，只需要证明，

构造，

，

所以在区间上单减，在上单增，

，

现证明：，

令，，

则在上单调递减，所以，

而，得证，

所以，，得证结论成立