（新高考地区专用）2021届高考考前冲刺卷 数学（三）

（新高考）2021届高考考前冲刺卷

数 学（三）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．已知命题，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

5．若存在复数同时满足，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在等边中，，向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

7．设数列为等差数列，为数列的前项和，若，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设，则下列结论错误的是（    ）

A．  B．

C． D．

10．已知的内角所对边的长分别为，，，，若满足条件的有两个，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

11．为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，下列选项正确的是（    ）

A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法

B．共有64种不同的安排方法

C．若甲乙两人不能去地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法

D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法

12．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中不成立的是（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为________．

14．设的展开式中项的系数为_________．

15．已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B，则线段的中点M的轨迹长度为_________．

16．已知等边三角形的边长为2，点，分别在边，上，且，将沿折起，则四棱锥的体积的最大值为________，此时四棱锥的外接球的表面积为________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）若等差数列的各项均为正数，且，，求数列的前项和．

18．（12分）已知锐角的内角所对的边分别，角．

（1）若是的平分线，交于，且，求的最小值；

（2）若的外接圆的圆心是，半径是1，求的取值范围．

19．（12分）已知平面四边形中，，，现将沿折起，使得点移至点的位置(如图)，且．

（1）求证：；

（2）若满足，，且二面角的余弦值为，求．

20．（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．

（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？

参考数据(其中)

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．

21．（12分）已知函数．

（1）若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；

（2）若，证明：．

22．（12分）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左焦点为，右顶点为，过点的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，且轴，过点的另一直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．

1．【答案】A

【解析】，，

因此，，故选A．

2．【答案】C

【解析】由特称命题的否定可知为：，，故选C．

3．【答案】A

【解析】因为，

所以

，

故选A．

4．【答案】B

【解析】①当，即时，∴，即，

∴，∴，

又∵，∴无解；

②当，即时，∴，

∴，∴，∴，

又∵，∴，故选B．

5．【答案】C

【解析】由题意可设，则有，

又因为，即，所以，

可设，，（为任意角），

则

，

当时取到最大值；当时取到最小值，

所以实数的取值范围是，故选C．

6．【答案】D

【解析】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，

则，

，

，

则向量在向量上的投影向量为：

，

故选D．

7．【答案】D

【解析】可将此题看成关于和的线性规划问题，

根据题意可知化简为，

求的最大值，将其转化为，求的最大值问题，

作图，由，得，平移直线，

由图可知，当直线过点时，有最大值，

∴，即的最大值为，故选D．

8．【答案】D

【解析】由，得，，

则表示曲线上的点与直线上的点之间距离的平方，

，令，得，

又，在处的切线方程为，

曲线上的点与直线上的点之间距离的最小值即为直线与之间的距离，

，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】BD

【解析】对于A，（当且仅当，即时取等号），A正确；

对于B，当时，，令，在上单调递增，

，即，B错误；

对于C，当时，，则，

当且仅当，即时取等号，C正确；

对于D，当时，，此时，D错误，

故选BD．

10．【答案】BC

【解析】在中，由余弦定理，得，

即，

依题意，关于c的一元二次方程有两个不等的正根，

所以，

并且，

而，则，取或，选项B，C符合条件，

故选BC．

11．【答案】AD

【解析】对于A，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有种选取方法，A正确；

对于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，B错误；

对于C，根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，

则甲乙所在的组不能去地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有种情况，此时有种安排方法；

若甲乙不在同一组，有种分组方法，若甲乙两人不能去地，只能安排没有甲乙的1组去地，甲乙所在的两组安排到、两地，有种情况，此时有种安排方法，

则一共有种安排方法，C错误；

对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应，，三地即可，有种安排方法，

故选AD．

12．【答案】ABC

【解析】因为偶函数对于任意的满足，

所以构造函数，则，

∴为偶函数且在上单调递增，，

，，

由函数单调性可知，即，

对于AB，，故AB错误；

对于C，，，故C错误；

对于D，，即，故D正确，

故选ABC．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】3个班分5个名额，每班至少一个有2种情况：

一个班分3个，其余各分1个；2个班各分2个，另一个班分一个，

则分配的总数为，

甲班恰好分配到两个名额，则余下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法，

所以甲班恰好分配到两个名额的概率为，故答案为．

14．【答案】800

【解析】由题意，，

因为的展开式的通项公式为，

的展开式的通项公式为，

所以的展开式中的项的系数是，

故答案为800．

15．【答案】

【解析】当直线的斜率不存在时，，，

当直线的斜率存在时，设，

联立，消去并整理得，

设、，则，

，

设，则，即，

所以，即，代入，得，

化简得，点也满足此方程，

所以线段的中点M的轨迹方程为，

轨迹为圆心为，半径为的圆，其长度为，

故答案为．

16．【答案】，

【解析】（1）设，分别为，的中点，，则，

，其中．

记，，

则，

令，得，此时，

所以四棱锥的体积的最大值为．

（2）设，分别为，等腰梯形的外接圆的圆心，

则为的三等分点（靠），在直线上．

设过，分别与，等腰梯形垂直的直线交于点（四棱锥的外接球的球心），连接，，，，

由（1）知，等腰梯形中，，，，

，

则在线段的延长线上，，

设，由，得，

即，解得，

则．

所以四棱锥的外接球的表面积．

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，；

当时，，满足，

综上所述，．

（2）设等差数列的公差为，

因为，，所以，，，

则，，

故，

，

，

故．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由是的平分线，得，

又，

即，化简得，

，

当且仅当，即，时，取．

（2），，

，

锐角，，

，．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：由题意知，，即，

∵，，，

∴，∴，即，

∵，，平面，

∴平面，

∵平面，∴．

（2）解：过点作交于，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，

∴，，，

∵，，

∴，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，∴，

∵平面轴，∴平面的一个法向量为，

∵二面角的余弦值为，

∴，

化简得，解得或，

∵，∴．

20．【答案】（1）回归方程为，经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；（2）．

【解析】（1）由题意，，

令，设关于的线性回归方程为，

则，则，

∴，

又，∴关于的回归方程为，

故时，，

∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒．

（2）设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局就有胜负．

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴，

∴小明最终赢得比赛的概率为．

21．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），

若在区间上为单调递增函数，则在上恒成立，

即在上恒成立．

令函数，则，

当时，，在上为单调递减函数，

，，

即的取值范围为．

（2）当时，欲证，即证明．

令，则，

设，则为增函数，

又，，

存在，使得．

，，

当时，；当时，，

在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数，

，

，则，；

，

，，，则．

22．【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）根据题意可得，解得，，，

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）知，，

因为轴，所以，

因为在轴的正半轴，所以在轴上方，

因为点在椭圆上，所以，解得，

所以，即，

因为，即，解得，

所以，所以，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

设，，

联立，，

所以①，②，

因为，

所以，

所以，所以，

所以，所以，

即③，

由①②③，解得，

所以直线的方程为，；

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时，不合题意，

综上可得，直线的方程为，．