（新高考地区专用）2021届高考考前冲刺卷 数学（四）

（新高考）2021届高考考前冲刺卷

数 学（四）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，，，若，则（    ）

A． B． C．2 D．0

2．“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（    ）

A． B．

C．  D．

3．已知复数（为虚数单位），，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．在中，已知，的面积为2，则边的长有（    ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2

5．若函数，满足，则的值等于（    ）

A．2 B．0 C． D．

6．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ）

A． B．5 C． D．10

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．《高中数学课程标准》（2017版）给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中同学的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（    ）

A．甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养

B．甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养

C．甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高

D．乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高

10．函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）

A．  B．函数的最小正周期为

C．函数在区间上单调递增 D．函数关于点中心对称

11．在数列中，若，则称为“和等比数列”．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数对于任意，均满足．当时，若函数，下列结论正确的为（    ）

A．若，则恰有两个零点 B．若，则有三个零点

C．若，则恰有四个零点 D．不存在使得恰有四个零点

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______．

14．某医院传染病科室有5名医生，4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生，2名护士，则不同的选取方法有______种．

15．已知x，y满足，且的最大值是最小值的2倍，则满足条件的可行域的面积是_________．

16．过点的直线与直线垂直，直线与双曲线

的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）若函数，的角，，的对边分别为，，，且．

（1）当取最大值时，判断的形状；

（2）在中，为边的中点，且，，求的长．

18．（12分）设数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

19．（12分）如图，在四棱锥中，，且．

（1）证明：；

（2）已知，，．在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20．（12分）从年月日开始，支付宝用户可以通过“扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包．某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就除夕夜之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：

（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？

（2）计算这位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校名在读大学生中集齐五福的人数；

（3）以（2）中的频率作为概率，从该校的名在读大学生中随机选取名，记这名大学生集齐五福的人数为，求的数学期望及方差．

参考公式：．

附表：

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，实轴长为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数（）．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若函数存在两个极值点，（），，求实数的取值范围．

1．【答案】D

【解析】由，知，即，得，

∴，故选D．

2．【答案】A

【解析】由方程表示双曲线，知，

∴，

故它的一个必要不充分条件为，故选A．

3．【答案】C

【解析】由，则，则，

故选C．

4．【答案】D

【解析】设，，，

因为，所以，

因为的面积为2，所以，即，

所以，得，且，，

因为，解得，，

所以，

所以由余弦定理得，

所以，

因为，当且仅当时，取等号，

所以，

所以的最小值为2，无最大值，即的最小值为2，无最大值，故选D．

5．【答案】A

【解析】由题意易知，分别在，上单调，

若，则不在同一单调区间，

又，一定有，，

∴，即，∴，

∴，故选A．

6．【答案】B

【解析】由直线始终平分圆的周长，则直线必过圆的圆心，

由圆的方程可得圆的圆心坐标，

代入直线的方程可得，

又由表示点到直线的距离的平方，

由点到直线的距离公式得，

所以的最小值为，故选B．

7．【答案】A

【解析】由题意，函数的定义域为，

所以定义域关于原点对称，

又由，

所以函数为偶函数，排除B、D项；

当时，可得，排除C项，

所以只有A选项适合，故选A．

8．【答案】D

【解析】因为平面，所以，，

所以，

在中，，所以，如图所示：

三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

设球的半径为，则，解得，

所以球的表面积为，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】AC

【解析】对于A，由图可知数学运算，甲得5分，乙得4分，所以甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养，所以A正确；

对于B，由图可知逻辑推理素养，甲得4分，乙得5分，所以甲的逻辑推理素养低于乙的逻辑推理素养，所以B错误；

对于C，由图可知甲只有数学运算素养得5分，所以甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高，所以C正确；

对于D，由图可知乙的逻辑推理、数据分析和直观想象都是5分，所以D错误，

故选AC．

10．【答案】BC

【解析】由图可知，所以，所以，

又因为，，所以或，

又因为，所以，

又因为，所以，所以，

当时，，解得，这与矛盾，不符合；

当时，，解得，满足条件，

所以，所以，

A．由上可知A错误；

B．因为，所以的最小正周期为，故B正确；

C．令，所以，

令，此时单调递增区间为，且，故C正确；

D．因为，所以不是对称中心，故D错误，

故选BC．

11．【答案】AC

【解析】因为，所以，两式相减得，

所以

，故A正确，B错误；

，

故C正确，D错误，

故选AC．

12．【答案】ABC

【解析】由可知函数的图象关于直线对称．

令，即，作出函数的图象如下图所示：

令，则函数的零点个数为函数、的图象的交点个数，

的定义域为，且，则函数为偶函数，

且函数的图象恒过定点，

当函数的图象过点时，有，解得．

过点作函数的图象的切线，

设切点为，对函数求导得，

所以，函数的图象在点处的切线方程为，

切线过点，所以，，解得，则切线斜率为，

即当时，函数的图象与函数的图象相切．

若函数恰有两个零点，由图可得或，A选项正确；

若函数恰有三个零点，由图可得，B选项正确；

若函数恰有四个零点，由图可得，C选项正确，D选项错误，

故选ABC．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】1215

【解析】∵二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，

∴令，得，．

的展开式的通项公式为，

令，可得，

的展开式的常数项为，

故答案为1215．

14．【答案】

【解析】符合题意的情况有两种：名医生、名护士和名医生、名护士．

选取名医生、名护士的方法有：种；

选取名医生、名护士的方法有：种，

综上所述：满足题意的选取方法共有种，故答案为．

15．【答案】

【解析】先画出x，y满足的可行域如图所示，

由，得；由，得，

平移直线，

当直线过点时，目标函数有最小值，且；

当直线过点时，目标函数有最大值，且，

依题意，得，则，得，

所以可行域的面积为，故答案为．

16．【答案】，

【解析】过点的直线与直线垂直，

直线的方程为，

双曲线的两条渐近线方程为，

将两个方程联立，可得，，

的中点坐标为，

点满足，

点在线段的中垂线上，即，

，，

则，，

渐近线方程为，离心率为．

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）是等边三角形；（2）．

【解析】因为，

所以由，得，

因为，所以，所以，．

（1），

因为，所以，

所以当时，取最大值，

此时，所以，所以是等边三角形．

（2）解：取边的中点，连接，

则，且，，

在中，由余弦定理得，

解得，

所以，

在中由余弦定理得

．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知，，

所以，，，

，

，

各项累加可得，

又，所以，

所以．

（2）由（1）可得，

所以①

②

①－②，得，

所以，

整理得．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．

【解析】（1）证明：由已知，得，，

由，故，

又因为，所平面，

又平面，所以．

（2）假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，

由已知和（1），易得，，两两垂直，

以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

令，则，，，，

，，

取平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，

，解得或（舍去），

所以．

20．【答案】（1）不能，详见解析；（2）；（3），．

【解析】（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为

，

故不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”．

（2）这80位大学生集齐五福的频率为，

据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为．

（3）从该校的名在读大学生中随机选取名，每个学生集齐五福的概率为，

随机变量，

∴，，

综上所述，，．

21．【答案】（1）；（2）存在，详见解析．

【解析】（1）因为焦距为2，长轴长为4，

即，，解得，，

所以，

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）知，设点，，，

因为直线不与轴重合，

所以设直线的方程为，

联立，得，

所以，

所以，，

又，

，

直线，的斜率分别为，，

所以

，

要使得直线，的斜率之积恒为定值，直线，解得．

当时，存在点，使得；

当时，存在点，使得，

综上，在轴上存在点，使得，的斜率之积恒为定值，

当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值；

当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值．

22．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

则，则．

又，

∴曲线在处的切线方程为，

即．

（2）（），．

依题意知，是方程的两个不相等的正实根，

即，是方程的两个不相等的正实根，

，解之得．

，

令（），则，

在上单调递增，

∴，

∴，∴．