（新高考地区专用）2021届高考考前冲刺卷 数学（五）

新高考）2021届高考考前冲刺卷

数 学（五）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．在复平面内，与向量对应的复数为z，则（    ）

A． B． C． D．

3．曲线在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

4．设函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A．  B．

C．  D．

5．已知的面积是（其中b，c为的边长），则的形状为（    ）

A．等边三角形  B．是直角三角形但不是等腰三角形

C．是等腰三角形但不是直角三角形 D．等腰直角三角形

6．正项等比数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

7．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知单位向量，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是（    ）

A．刀片电池的安全性更高，价格优势更突出

B．三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低

C．对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池

D．磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好

10．己知函数与函数有相同的对称中心，则下列结论正确的是（    ）

A．若方程在上有两个不同的实数根，则取值范围是

B．将函数的图象向右平移个单位，会与函数的图象重合

C．函数的所有零点的集合为

D．若函数在上单调递减，则，

11．已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则（    ）

A．  B．

C．的面积为 D．线段的中点到直线的距离为2

12．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello)，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收人世界文化遗产名录．现测量一个Trullo的屋顶，得到圆锥其中为顶点，为底面圆心)，母线长为6米，是母线的靠近点的三等分点．从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，若灯光带的最小长度为米．下面说法正确的是（    ）

A．圆锥的侧面积为平方米

B．过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米

C．圆锥的外接球表面积为平方米

D．棱长为米的正四面体在圆锥内可以任意转动

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位)可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是________．

14．设，则________．

15．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______．

16．已知点为直线上一点，且位于第一象限，点，以为直径的圆与交于点(异于)，若，则点的横坐标的取值范围为_________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值．

18．（12分）在数列中，，当时，．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）扶贫期间，扶贫工作组从A地到B地修建了公路，脱贫后，为了了解A地到B地的公路的交通通行状况，工作组调查了从A地到B地行经该公路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图．

（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这4000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

（2）若由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取调查样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差，请估计样本中这4000辆机动车车速不低于千米/时的车辆数(精确到个位)；

（3）如果用该样本中4000辆机动车的速度情况，来估计经A地到B地的该公路上所有机动车的速度情况，现从经过该公路的机动车中随机抽取4辆，设车速低于千米/时的车辆数为，求(精确到)．

附：随机变量：，则，，，．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点作直线l交椭圆C于不同于A的D，E两点，记直线，的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

22．（12分）已知函数(且e为自然对数的底数)．

（1）当时，求的最小值；

（2）若关于x的不等式，求整数b的最大值

1．【答案】B

【解析】∵，，∴，故选B．

2．【答案】A

【解析】向量对应的复数，

所以，故选A．

3．【答案】A

【解析】设，则，则切线斜率为，

又，所以切线方程为，即，

故选A．

4．【答案】D

【解析】当时，由，得，

又因为函数为偶函数，所以不等式的解集为，故选D．

5．【答案】D

【解析】依题意的面积是，则，

，

由于，，所以，

由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，

所以，，三角形是等腰直角三角形，

故选D．

6．【答案】D

【解析】由题意，，得，

又，令的公比为，

∴，解得，则，

∴，

∴，

当为奇数时，；

当为偶数时，，

∴综上，有，故选D．

7．【答案】A

【解析】画出约束条件的可行域，如图所示：

作出直线，显然当直线经过阴影部分，直线的纵截距大于零，

所以可以转化为，

由图示可知，经过点时，，无最大值，

故选A．

8．【答案】B

【解析】由，得，

两边平方，得，

即，整理得，

所以或，

因为，所以，所以，

所以，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】AB

【解析】由雷达图易知刀片电池的安全性更高，价格优势更突出，A正确；

三元锂电池的循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低，B正确；

对于这7项指标，刀片电池的平均得分为，

三元锂电池的平均得分为，所以C错误；

磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能差，D错误，

故选AB．

10．【答案】BD

【解析】易知，

当时，，，，，

当时，单调递增；当时，单调递减，

若方程在上有两个不同的实数根，则，

，故A错误；

因为函数与函数有相同的对称中心，所以或，

即，周期为，故B正确；

由，，得，，故C错误；

若函数在上单调递减，

又函数在上单调递增，所以，

即，

所以，，故D正确，

故选BD．

11．【答案】AC

【解析】设，，抛物线，则，焦点为，则直线过焦点；

联立方程组消去，得，则，，

，

所以，故A正确；

由，所以与不垂直，B错；

原点到直线的距离为，

所以的面积为，则C正确；

因为线段的中点到直线的距离为，故D错，

故选AC．

12．【答案】AD

【解析】设圆锥底面半径为，如图，

中，，，，

∴，∴，

所以，米，

所以圆锥的侧面积为平方米，故A正确；

在中，，，

所以过点平面截此圆锥所得截面面积最大为平方米，故B错误；

设圆锥的外接球半径为，则，

又，

所以，∴，

圆锥的外接球表面积为，故C不正确；

设圆锥的内切球半径为，则，∴，

在棱长为米的正四面体中，设其外接球半径为，

则此正四面体的底面外接圆半径为，高为，

所以，所以，

因为，所以棱长为米的正四面体在圆锥内可以任意转动，故D正确，

故选AD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】因为鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，

其中表示鱼的耗氧量的单位数，

所以，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，

它的游速是，

故答案为．

14．【答案】

【解析】令，所以，

令，所以，

所以，

故答案为．

15．【答案】

【解析】，，

又，

故由二次函数图象可知：

要使函数的定义域为，值域为，

的值最小为；最大为3，

的取值范围是，故答案．

16．【答案】

【解析】由题意设，

设的中点为，由中点坐标公式可得，

所以以为直径的圆的方程为，

把代入得，所以，

因为是直径，所以，因此，

因为，所以，

即，化简得，

而，解得．

故答案为．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由己知可得，

由，解得，

所以的单调递减区间是．

（2）由，即，

所以（舍）或，故，

又由余弦定理可得，

即，当且仅当时取到等号，

于是有，

所以面积的最大值为．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，；

当时，由可得，

两式作差得，可得，

所以，

不满足，满足，

因此，．

（2），

因此，．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）设与相交于，于，

在中可得，

又，所以，同理可得，所以，

又因为平面，所以，

所以平面．

（2）解法一：由（1）可知平面平面，且平面平面，过作延长线的垂线，垂足为，

则平面，故即为所求的角，

由于，，

由等面积可得，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

解法二：作交于，

因为平面，所以，，

如图建立空间直角坐标系，

由题意可得，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则由，可得，取，得，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．【答案】（1）平均车速为千米/时；（2）辆；（3）．

【解析】（1）由题意知

所以，

所以这4000辆机动车的平均车速为千米/时．

（2）依题意，Z服从正态分布，其中，，

所以．

因为，

所以，

所以车速不低于千米/时的车辆估计有辆．

（3）行车速度低于千米/时的概率为，

而，所以．

21．【答案】（1）；（2）为定值，定值为．

【解析】（1）由题意得，解得，

∴椭圆C的方程为．

（2）由题设知：直线l的斜率存在，不妨设直线l为，

令，，联立直线与椭圆方程有，

∴整理得，

而，∴，

则，，

，

∴为定值．

22．【答案】（1）；（2）最大值为3．

【解析】（1）由题意知，函数的定义域为，

由，得，

记，则，

当时，有恒成立，故在上恒成立，即在上单调递增，

又，∴有，即；

时，，即．

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴．

（2）由（1）知：当时，，当且仅当时取等号，

∴此时，有(当且仅当时取等号)，

则，

记，则，

∴当时，；当时，，

即在上单调递减，在上单调递增．

∴，即，

又当时，，

综上，有，

又b为整数，∴，即b的最大值为3．