(新高考地区专用)2021届高考考前冲刺卷 数学(十二)
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数 学(十二)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合、集合,且,则下列结论正确的是( )
A.有可能 B. C. D.
2.在复平面上,若点、对应的复数分别为、,则( )
A. B. C. D.
3.下列函数既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
4.年初,新型冠状病毒()引起的肺炎疫情爆发以来,各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某医疗机构开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如下表所示:
第周 | |||||
治愈人数(单位:十人) |
由上表可得关于的线性回归方程为,则此回归模型第周的残差(实际值减去预报值)为( )
A. B. C. D.
5.已知,分别为椭圆的两个焦点,是椭圆上的点,,且,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图所示,在四边形ABCD中,,,,
且BD为∠ABC的平分线,则( )
A.6 B.9 C. D.8
7.在三棱锥中,,,,,当此三棱锥的体积最大时,该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的前n项和为,,,则( )
A.414 B.406 C.403 D.393
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.三条直线,,构成三角形,则的值不能为( )
A. B. C. D.
10.关于函数的性质,下列选项中正确的是( )
A.的最大值是
B.的最小正周期是
C.对任意,,
D.若,,则将图象向右平移个单位后,图象过原点
11.是定义在区间上的奇函数,其图象如图所示.令,则下列关于函数的叙述正确的是( )
A.若,则函数的图象关于原点对称
B.若,,则方程有大于2的实根
C.若,,则方程有两个实根
D.若,,则方程有三个实根
12.已知集合,若对于,,使得成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:;;;.其中是“互垂点集”集合的为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知函数在处的导数为11,则___________.
14.下列命题正确的有________.(把正确答案的序号都填上)
①直线a在平面α外,直线b在平面α内.“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件;
②直线a在平面α内,直线b在平面β内.“a∥b”是“α∥β”的必要不充分条件;
③a,b为两条直线,直线a在平面α内.“b⊥a”是“b⊥α”的充要条件;
④直线a在平面α内,直线b在平面β内.“a⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件.
15.已知实数,满足,则的取值范围是_________.
16.定义:在中,把,,,…,叫做三项式的次系数列(例如三项式的1次系数列是1,,).
按照上面的定义,三项式的5次系数列各项之和为______,______.
四、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在中,角所对的边分别为.
(1)求的值;
(2)若,且的面积为,求的值.
18.(12分)实施乡村振兴战略,优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能,更为乡村建设提供了人才支撑,为了补齐落后地区教育发展的短板,解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题,某教育局从6名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分3批次进行,每次支教需要同时派送2名教师,且每次派送人员均从6人中随机抽选.
(1)求6名优秀教师中的“甲”在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率;
(2)某接受支教学校需要3名教师完成一项特殊教学任务,每次只能派一个人,且每个人只派一次,如果前一位教师在一定时间内不能完成教学任务,则再派另一位教师,且无论第三位教师能否完成任务,均不再指派教师.现只有本校教师A与支教教师B,C三人可派,他们各自完成任务的概率分别为,假设,且三人能否完成任务相互独立.若教师A因个人原因要求第一个被派出,之后按某种指定顺序派人,试分析以怎样的顺序派出教师,可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.
19.(12分)已知数列是各项均为正数的等比数列,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
20.(12分)如图,在直三棱柱中,,,为的中点.
(1)若为上的一点,且,求证:;
(2)在(1)的条件下,若异面直线与所成的角为,求直线与平面所成角的余弦值.
21.(12分)已知直线l经过椭圆的左焦点和下顶点,坐标原点O到直线l的距离为.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若椭圆C经过点,点A,B是椭圆C上的两个动点,且的角平分线总是垂直于y轴,试问:直线的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
22.(12分)设函数的极大值点为,极小值点为.
(1)若,求a的取值范围;
(2)若,,求实数m的取值范围.
1.【答案】B
【解析】,,,
若,由集合中元素互异性知:,;
若,同理可知:,,
综上所述:,故选B.
2.【答案】B
【解析】,
又,,,,
故选B.
3.【答案】B
【解析】对于A选项,,该函数为奇函数,但不单调,不满足条件;
对于B选项,令,该函数的定义域为,
,函数为奇函数,
由于函数和均为上的增函数,故函数为上的增函数,
B选项满足条件;
对于C选项,对于函数,有,解得,函数的定义域为,
所以,函数为非奇非偶函数,C选项不满足条件;
对于D选项,设,该函数的定义域为,
,即函数为偶函数,D选项不满足条件,
故选B.
4.【答案】A
【解析】由表格中的数据可得,,
由于回归直线过样本的中心点,则,解得,
回归直线方程为,
将代入回归直线方程可得,
因此,第周的残差为,故选A.
5.【答案】B
【解析】,分别为椭圆的两个焦点,
是椭圆上的点,,且,
由正弦定理可得,
令,则,,可得,
所以椭圆的离心率为,故选B.
6.【答案】D
【解析】由正弦定理得,
由,可得,,
所以四点共圆,,
由余弦定理,故选D.
7.【答案】C
【解析】在中,由,可得,
所以由余弦定理可得,所以,
所以,所以.
如图,当平面时,三棱锥的体积最大.
把三棱锥放在长方体中,可知三棱锥的外接球的半径,
则该三棱锥的外接球的体积为,故选C.
8.【答案】B
【解析】由,两式相减得,即,
再由,两式相减得,
由,得,
故为以14为首项,8为公差的等差数列,故,
故,故选B.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.【答案】AC
【解析】直线与都经过原点,而无论为何值,直线总不经过原点,
因此,要满足三条直线构成三角形,只需直线与另两条直线不平行,
所以,
故选AC.
10.【答案】AD
【解析】,其中,,
故的最大值是,A正确;
最小正周期是,B错误;
的最大值是,最小值为,故对于,C错误;
若,,则,
则将图象向右平移个单位后,得到的函数为,过原点,故D正确,
故选AD.
11.【答案】BD
【解析】当时,关于原点对称,根据图象平移知关于点对称,
A错误;
时,方程,,由的图象知,在上有一个交点,故B正确;
时,,若使方程由两个根,
由图知,必有,其他的非零a值均不满足,故C错误;
时,,由图知有三个交点,故D正确,
故选BD.
12.【答案】BD
【解析】由题意知,对于集合表示的函数图象上的任意点,
在图象上存在另一个点,使得.
在的图象上,当点坐标为时,不存在对应的点,
所以不是“互垂点集”集合;
对的图象,将两坐标轴绕原点进行任意旋转,均与函数图象有交点,
所以在中的任意点,在中存在另一个,使得,
所以是“互垂点集”集合;
在的图象上,当点坐标为时,不存在对应的点,所以不是“互垂点集”集合;
对的图象,将两坐标轴绕原点进行任意旋转,均与函数图象有交点,
所以是“互垂点集”集合,
故选BD.
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.【答案】
【解析】根据题意,由极限的性质可得,
又由函数f(x)在x=x0处的导数为11,即,
故,
故答案为.
14.【答案】①④
【解析】对于①若b⊂α,a⊄α,则“a∥b”⇒“a∥α”,反之,“a∥α”推不出“a∥b”,
∴“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件,故①是真命题;
对于②若a⊂α,b⊂β,则“a∥b”不能推出“α∥β”,但″α∥β”也不能推出“a∥b”,
∴“a∥b”是“α∥β”的既不充分也不必要条件,故②是假命题;
对于③若a⊂α,则“b⊥a”推不出“b⊥α”,反之,“b⊥α”⇒b⊥a,
∴“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件,故③是假命题;
对于④若a⊂α,b⊂β,则“a⊥β”⇒“α⊥β”,反之,“α⊥β”推不出“a⊥β”,
∴“a⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件,故④是真命题,
故答案为①④.
15.【答案】
【解析】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分,
令,即,则可看作过原点的直线的斜率,
观察图形可得,
可解得,则,则,
则,
则当时,取得最小值为;当时,取得最大值为3,
则的取值范围是,故答案为.
16.【答案】,
【解析】令,可得的5次系数数列的各项之和为,
又由的通项公式为,
且的通项公式为,
令,可得,
所以.
故答案为,.
四、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】(1);(2).
【解析】(1)由题得,所以,
所以,,.
(2)由,得,
因为的面积为,所以,
,,
所以,,,
所以,所以.
18.【答案】(1);(2)按照先后再的顺序派出所需人数学期望最小.
【解析】(1)依题意,6名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中被抽取到概率为,
则三次抽取中“甲”恰有一次被抽取到的概率为.
(2)设表示先后再完成任务所需人员数目,则
1 | 2 | 3 | |
;
设表示先后再完成任务所需人员数目,则
1 | 2 | 3 | |
,
又,
故按照先后再的顺序派出所需人数学期望最小.
19.【答案】(1);(2).
【解析】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列,所以公比,
因为,所以,即.
因为是公比为的等比数列,所以是公比为的等比数列.
因为,所以,
所以,所以(不合题意,舍去),
所以.
(2)因为,所以,
所以,
,
两式相减得,
所以.
20.【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)证明:取中点,连接,有,
因为,所以,
因为三棱柱为直三棱柱,所以平面平面,
因为平面平面,平面,所以平面,
因为平面,所以,
因为,为的四等分点,为的中点,
所以,
因为,所以直棱柱的侧面是正方形,所以,
又因为,,所以,
又,平面,
所以面,而面,所以,即.
(2)解:是与的交点,如图以为坐标原点,分别以为轴、轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设,由条件可知,
所以,所以,
所以,,
所以,
设平面的法向量为,
则,即,则的一组解为,
设与平面所成角为,
所以,
通过观察,知与平面所成角为锐角,∴,
∴,
所以直线与平面所成角的余弦值为.
21.【答案】(1);(2)是定值,定值为.
【解析】(1)过点,的直线的方程为,
则坐标原点到直线的距离为,
可得.
(2)由(1)易知,
则椭圆经过点,解得,
则椭圆.
因为的角平分线总垂直于轴,
所以与所在直线关于直线对称,则,
设直线的斜率为,则直线的斜率为,
所以设直线的方程为,直线的方程为,
设点,,
由,消去,得.
因为点在椭圆上,则有,即,
同理可得.所以,
又,
所以直线的斜率为.
22.【答案】(1);(2).
【解析】(1),
①当,即时,,单调递增,与题设矛盾,则;
②当,即时,在,上,,
在,上单调递增;
在上,,单调递减,
所以,由,解得;
③当,即时,在,上,,单调递增;
在上,,单调递减,所以,由,解得,
综上所述,a的取值范围是.
(2)因为,
所以图象关于对称,
而,所以,
又因为使,即使,
令,,所以,
可得在上单调递减,单调递增,
所以,则,
综上,m的取值范围为.
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(新高考地区专用)2021届高考考前冲刺卷 数学(十三): 这是一份(新高考地区专用)2021届高考考前冲刺卷 数学(十三),共22页。试卷主要包含了选择题的作答,非选择题的作答等内容,欢迎下载使用。
(新高考地区专用)2021届高考考前冲刺卷 数学(四): 这是一份(新高考地区专用)2021届高考考前冲刺卷 数学(四),共21页。试卷主要包含了选择题的作答,非选择题的作答,若函数,满足,则的值等于,函数的部分图象大致为,《高中数学课程标准》等内容,欢迎下载使用。