2021年陕西省宝鸡市岐山县中考数学一模试卷

这是一份2021年陕西省宝鸡市岐山县中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年陕西省宝鸡市岐山县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）﹣2021的相反数是（　　）
A． B． C．2021 D．﹣2021
2．（3分）2020年，我省全年生产总值为26181.86亿元，比上年增长2.2%，将数字26181.86用科学记数法表示为（　　）
A．2.618186×106 B．2.618186×105
C．2.618186×104 D．26.18186×103
3．（3分）将直线y＝x+4向下平移5个单位长度，所得直线的表达式为（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝x﹣5 C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x﹣1
4．（3分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．3a•5a＝15a B．（﹣2a3）3＝﹣8a9
C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b2
5．（3分）如图，将等边△ABC的顶点B放在一组平行线的直线b上，边AB，AC分别交直线a于D，E两点，若∠1＝40°，则∠2的大小为（　　）

A．24° B．22° C．20° D．18°
6．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象与x轴的夹角为30°，且y随x的增大而减小，则k的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，D为AB上一点，且BC＝BD，连接CD并延长交⊙O于点E，连接AE，若∠B＝70°，则∠CAE的大小为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（　　）

A．2 B． C． D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，E是对角线BD上一动点，过E作MN⊥BD于E，交AB于M，交CD于N，当点E在BD上移动时，MN的长是（　　）

A．3 B． C． D．.无法确定
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴的交点C在（0，3）和（0，4）之间（不含端点），则a的取值范围是（　　）

A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜﹣ C．﹣1＜a＜﹣ D．﹣＜a＜﹣1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：a﹣2a2+a3＝　 　．
12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH中，延长对角线BF与边DE交于点M，则∠M的大小为　 　．

13．（3分）如图，在第二象限的双曲线y＝﹣上有一点A，过A作AB∥x轴交第二象限的另一条双曲线y＝﹣于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积为　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是斜边AC的中点，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，连接EF，G为EF的中点，则点E，F在运动过程中，DG的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共11个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：﹣12021+（）﹣2﹣|2﹣3|+（﹣π）0．
16．（5分）化简：÷（x+2﹣）．
17．（5分）如图，已知△ABC的边BC在直线MN上，若将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使点C落在直线MN上的C′处，请用尺规作图法，作出△AB'C'．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．
求证：BE＝CF．

19．（7分）散步被世界卫生组织认定为“世界上最好的运动”，适当的散步对身体的健康有很多益处，现在的人工智能穿戴软件APP很多都能自动统计每天的运动步数以便人们科学合理地运动锻炼、统计以及交流分享排名，小美随机调查统计了某运动软件部分好友每天运动步数（单位：千步），根据所得数据绘制了如下两个统计图（单位：千步）（横轴上每组数据包含最小值不包含最大值）．请根据所给信息，解答下列问题：
（1）每天运动步数调查属于　 　调查（填“全面”或“抽样”），样本容量是　 　，请补全条形统计图中空缺的部分．
（2）此次被调查的好友每天运动步数的中位数落在第　 　组．（填字母序号）
（3）据科学研究证明每天运动步数在8千步～1万步最适宜，若小美的运动软件好友共有300人，请估计每天运动步数为8千步～1万步的人数．
20．（7分）在陕西宝鸡陈仓区的渭河北岸，有一座何尊造型的“陈仓印象”景观塔吸引了众多游人，何尊是第一尊记录“中国”一词的青铜器．如图，周末赵凯和同学游览时想测量景观塔AB的高度，由于受地形限制，他们站在河堤上的点F处测得AB底端B处的俯角∠2为20°，然后在观景台点D处测得AB顶端A的仰角∠1为70°，已知AB⊥BE，CD⊥BE，EF⊥BE，B，C，E在一条直线上，BC＝EF，BE＝22米，观景台CD＝2米，请根据以上信息求出景观塔AB的高度．

21．（7分）2020年，“地摊经济”成为了社会关注的热门话题．小亮从市场得知如下信息：

甲商品
乙商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
小亮计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小亮购进乙商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）小亮用不超过2000元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
22．（7分）甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
23．（8分）如图，⊙O经过Rt△ABC的顶点A，与BC相切于点D，交AC于E，交AB于F，连接AD，DE，DF，EF，∠C＝90°．
（1）求证：DE＝DF．
（2）若AE＝3，CD＝2，求BD的长．

24．（10分）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点B（3，0），C（0，﹣3），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠APB＝∠ACB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）（1）问题提出：如图1，已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P是AD上一动点，则BP+AP的最小值为　 　．
（2）问题探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，在三角形内有一点P满足∠APB＝∠BPC＝120°，求PA+PB+PC的值．
（3）问题解决：如图3，某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A，B，C．现需根据产品中转点P修建通往种植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便农产品的储藏运输，根据地质设计，PB路段每米造价是PA的倍，PC路段每米造价是PA的2倍．已知AB＝BC＝2000米，∠ABC＝30°，要使修建3条道路费用最小，即求PA+PB+2PC的最小值．


2021年陕西省宝鸡市岐山县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）﹣2021的相反数是（　　）
A． B． C．2021 D．﹣2021
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣2021的相反数是2021，
故选：C．
2．（3分）2020年，我省全年生产总值为26181.86亿元，比上年增长2.2%，将数字26181.86用科学记数法表示为（　　）
A．2.618186×106 B．2.618186×105
C．2.618186×104 D．26.18186×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：26181.86用科学记数法表示为2.618186×104．
故选：C．
3．（3分）将直线y＝x+4向下平移5个单位长度，所得直线的表达式为（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝x﹣5 C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x﹣1
【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y＝x+4向下平移5个单位所得直线的解析式为y＝x+4﹣5，即y＝x﹣1．
故选：A．
4．（3分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．3a•5a＝15a B．（﹣2a3）3＝﹣8a9
C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b2
【分析】分别根据单项式的乘法法则、积的乘方和同底数幂的除法法则、完全平方公式分别进行计算，选择计算正确的即可得到答案．
【解答】解：选项A：3a•5a＝15a2，不符合题意；
选项B：（﹣2a3）3＝﹣8a9，符合题意；
选项C：a4÷a2＝a2，不符合题意；
选项D：（a+b）2＝a2+2ab+b2，不符合题意．
故选：B．
5．（3分）如图，将等边△ABC的顶点B放在一组平行线的直线b上，边AB，AC分别交直线a于D，E两点，若∠1＝40°，则∠2的大小为（　　）

A．24° B．22° C．20° D．18°
【分析】过点C作CF∥a，则CF∥a∥b，再利用平行线的性质和等边三角形的内角是60°可得∠2的度数．
【解答】解：过点C作CF∥a，则CF∥a∥b，

∴∠1＝∠ACF＝40°，∠2＝∠BCF．
∵等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝60°﹣40°＝20°，
∴∠2＝∠BCF＝20°．
故选：C．
6．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象与x轴的夹角为30°，且y随x的增大而减小，则k的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】画出图象，在图象上取一点，设其到x轴的垂线段长为m，用m表示坐标代入y＝kx即可得k值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，y随x的增大而减小，
∴k＜0，如图：

在正比例函数y＝kx第二象限的图象上取点A，作AB⊥x轴于B，
设AB＝m，
∵∠AOB＝30°，
∴OA＝2m，OB＝m，
∴A（﹣m，m），
将A（﹣m，m）代入y＝kx得：
m＝﹣m•k，
解得k＝﹣，
故选：D．
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，D为AB上一点，且BC＝BD，连接CD并延长交⊙O于点E，连接AE，若∠B＝70°，则∠CAE的大小为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由等腰三角形的性质求出∠BCD＝55°，由圆周角定理求出∠BAE＝55°，∠BAC＝20°，则可得出答案．
【解答】解：∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵∠B＝70°，
∴∠BCD＝＝55°，
∴∠BAE＝55°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∴∠CAE＝∠BAC+∠BAE＝20°+55°＝75°．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】过B作BE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质求出AE＝DE，求出AE＝DE＝CD，1救出CE＝BE＝2，求出AE＝1，再根据勾股定理求出答案即可．
【解答】解：过B作BE⊥AC于E，

∵AB＝BD，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE，
∵D是AC的三等分点（AD＞CD），
∴AE＝DE＝DC，
在Rt△BEC中，BC＝2，∠C＝45°，
∴∠EBC＝∠C＝45°，
∴BE＝CE，
由勾股定理得：2BE2＝DC2＝（2）2＝8，
解得：BE＝EC＝2，
∴AE＝1，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
故选：B．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，E是对角线BD上一动点，过E作MN⊥BD于E，交AB于M，交CD于N，当点E在BD上移动时，MN的长是（　　）

A．3 B． C． D．.无法确定
【分析】通过证明△DBC∽△MNH，可得，即可求解．
【解答】解：如图，过点M作MH⊥DC于H，

∴∠MHC＝∠C＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCHM是矩形，
∴MH＝BC＝3，
∵AB＝CD＝6，BC＝AD＝3，
∴BD＝＝＝3，
∵MN⊥BD，
∴∠DEN＝∠MHN＝∠C＝90°，
∴∠MNH+∠BDC＝∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠MNH，
∴△DBC∽△MNH，
∴，
∴＝，
∴MN＝，
故选：C．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴的交点C在（0，3）和（0，4）之间（不含端点），则a的取值范围是（　　）

A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜﹣ C．﹣1＜a＜﹣ D．﹣＜a＜﹣1
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，即可得出B（0，3a），根据题意得到3＜﹣3a＜4，解得即可判断．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，
令x＝0得：y＝﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点C在（0，3）和（0，4）之间（不含端点），
∴3＜﹣3a＜4．
解得：﹣＜a＜1，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：a﹣2a2+a3＝　a（a﹣1）2　．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（1﹣2a+a2）＝a（a﹣1）2，
故答案为：a（a﹣1）2
12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH中，延长对角线BF与边DE交于点M，则∠M的大小为　22.5°　．

【分析】根据正求出多边形的内角和公式∠DEF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFE，计算即可．
【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠DEF＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，
∴∠FEM＝45°，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵BF平分∠EFG，
∴∠EFB＝∠BFE＝＝67.5°，
∵∠BFE＝∠FEM+∠M，
∴∠M＝∠BFE﹣∠FEM，
∴∠M＝22.5°．
故答案为：22.5°．
13．（3分）如图，在第二象限的双曲线y＝﹣上有一点A，过A作AB∥x轴交第二象限的另一条双曲线y＝﹣于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积为　10　．

【分析】延长AB交y轴于C，通过S△ABO＝S△ABC﹣S△BOC反比例函数系数k的几何意义求解．
【解答】解：延长AB交y轴于C，

∵AB∥x轴，
∴S△ABO＝S△ABC﹣S△BOC＝﹣＝10．
故答案为：10．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是斜边AC的中点，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，连接EF，G为EF的中点，则点E，F在运动过程中，DG的最小值为　2　．

【分析】根据等腰直角三角形的斜边中线性质得出∠A＝∠C＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝8，AD＝BD，BD⊥AC，进而证得△ADE≌△BDF（SAS），得到DE＝DF，∠ADE＝∠BDF，∠EDF＝90°，从而证得点G在BD的垂直平分线上，证得点E，F运动过程中，点G经过的路线是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理求得结果．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
如图1，连接BD，BGAB＝BC＝4，D是斜边AC的中点，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝8，AD＝BD，BD⊥AC，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠BDF，
∴∠EDF＝∠EDB+∠BDF＝∠EDB+∠ADE＝90°，
∵G为EF的中点，
∴BG＝DG＝EF，
∴点G在BD的垂直平分线上，
∴在点E，F运动过程中，点G经过的路线是△ABC的中位线，如图2，
∴DG最小值为DG＝BG＝BD＝2，
故答案为2．


三、解答题（本大题共11个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：﹣12021+（）﹣2﹣|2﹣3|+（﹣π）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+4﹣（3﹣2）+1
＝﹣1+4﹣3+2+1
＝1+2．
16．（5分）化简：÷（x+2﹣）．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣÷
＝﹣•
＝﹣．
17．（5分）如图，已知△ABC的边BC在直线MN上，若将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使点C落在直线MN上的C′处，请用尺规作图法，作出△AB'C'．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】分别作出B，C的对应点B′，C′，连接B′C′，即可．
【解答】解：如图，△AB'C'即为所求作．

18．（5分）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．
求证：BE＝CF．

【分析】由菱形的性质得出AD∥BC，AB＝BC，得出∠A＝∠CBF，证明△ABE≌△BCF（SAS），即可得出BE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠A＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE＝CF．
19．（7分）散步被世界卫生组织认定为“世界上最好的运动”，适当的散步对身体的健康有很多益处，现在的人工智能穿戴软件APP很多都能自动统计每天的运动步数以便人们科学合理地运动锻炼、统计以及交流分享排名，小美随机调查统计了某运动软件部分好友每天运动步数（单位：千步），根据所得数据绘制了如下两个统计图（单位：千步）（横轴上每组数据包含最小值不包含最大值）．请根据所给信息，解答下列问题：
（1）每天运动步数调查属于　抽样　调查（填“全面”或“抽样”），样本容量是　50　，请补全条形统计图中空缺的部分．
（2）此次被调查的好友每天运动步数的中位数落在第　 　组．（填字母序号）
（3）据科学研究证明每天运动步数在8千步～1万步最适宜，若小美的运动软件好友共有300人，请估计每天运动步数为8千步～1万步的人数．
【分析】（1）根据抽样调查的意义可得答案，A组的频数为14人，占调查人数的28%，可求出调查人数，即样本容量，求出C组的频数即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）求出每天运动步数为8千步～1万步的人数所占得百分比即可．
【解答】解：（1）抽样，14÷28%＝50（人），50×20%＝10（人），补全频数分布直方图如下：
故答案为：抽样，50；

（2）将样本中50人的运动步数从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在B组，因此中位数在B组，
故答案为：B；
（3）300×＝96（人），
答：每天运动步数为8千步～1万步的人数约为96人．
20．（7分）在陕西宝鸡陈仓区的渭河北岸，有一座何尊造型的“陈仓印象”景观塔吸引了众多游人，何尊是第一尊记录“中国”一词的青铜器．如图，周末赵凯和同学游览时想测量景观塔AB的高度，由于受地形限制，他们站在河堤上的点F处测得AB底端B处的俯角∠2为20°，然后在观景台点D处测得AB顶端A的仰角∠1为70°，已知AB⊥BE，CD⊥BE，EF⊥BE，B，C，E在一条直线上，BC＝EF，BE＝22米，观景台CD＝2米，请根据以上信息求出景观塔AB的高度．

【分析】作DG⊥AB于点G，可得四边形BCDG为矩形，然后证明△AGD≌△BEF可得AG＝BE，进而可得景观塔AB的高度．
【解答】解：如图，作DG⊥AB于点G，

∵AB⊥BE，CD⊥BE，
∴四边形BCDG为矩形，
∴CD＝BG，BC＝DG，
∵BC＝EF，
∴DG＝EF，
∵∠1+∠2＝70°+20°＝90°，
又∵∠BFE+∠2＝90°，
∴∠1＝∠BFE，
在△AGD和△BEF中，
，
∴△AGD≌△BEF（ASA），
∴AG＝BE，
∴AB＝AG+BG＝BE+CD＝22+2＝24（米）．
答：景观塔AB的高度为24米．
21．（7分）2020年，“地摊经济”成为了社会关注的热门话题．小亮从市场得知如下信息：

甲商品
乙商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
小亮计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小亮购进乙商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）小亮用不超过2000元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
【分析】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式；
（2）由用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）（100﹣x）+（8﹣5）x＝﹣7x+1000，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣7x+1000；
（2）由题意可得：5x+35（100﹣x）≤2000，
∴x≥50，
又∵x≤100，
∴50≤x≤100．
22．（7分）甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【分析】（1）画出树状图，根据树形图，利用概率公式列式求出球回到甲脚下的概率即可得解；
（2）计算出传到乙脚下的概率，比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：

由树形图可知三次传球有8种等可能结果；
三次传球后，球回到甲脚下的概率＝＝；

（2）由（1）可知球回到乙脚下的概率＝，
所以球回到乙脚下的概率大．
23．（8分）如图，⊙O经过Rt△ABC的顶点A，与BC相切于点D，交AC于E，交AB于F，连接AD，DE，DF，EF，∠C＝90°．
（1）求证：DE＝DF．
（2）若AE＝3，CD＝2，求BD的长．

【分析】（1）如图，连接OD交EF于G，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，根据平行线的性质得到∠ODA＝∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，求得∠OAD＝∠EAD，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到EG＝CD＝2，∠AEF＝90°，求得EF＝2EG＝4，由勾股定理AF＝＝5，根据三角形的中位线定理得到OG＝AE＝，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OD交EF于G，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴＝，
∴DE＝DF；
（2）解：∵＝，
∴OD垂直平分EF，
∵∠C＝∠CDG＝∠DGE＝90°，
∴四边形CDGE为矩形，
∴EG＝CD＝2，∠AEF＝90°，
∴EF＝2EG＝4，
在R△AEF中，AF＝＝5，
∵O是AF的中点，G是EF的中点，
∴OG＝AE＝，
∴CE＝DG＝OD﹣OG＝＝1，
∴AC＝AE+CE＝4，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△ABC，
∴，
∴，
∴BD＝．

24．（10分）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点B（3，0），C（0，﹣3），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠APB＝∠ACB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）代入B、C坐标即可；
（2）借助圆中同弧所对的圆周角相等，画△ABC的外接圆与直线x＝2在x轴下方交点即为P，求出圆心的坐标即可求出P的坐标．
【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣2）2+k得：
，
解得a＝﹣1，k＝1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+1，即y＝﹣x2+4x﹣3，
（2）存在．
抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的对称轴为直线x＝2，
∵点B（3，0），
∴A（1，0）．
如图，设直线x＝2与x轴的交点为D，作△ABC的外接圆⊙E，
⊙E与直线x＝2位于x轴下方的部分交点为P，
∵∠APB＝∠ACB，
∵圆心E必在AB边的垂直平分线上，
∴点E的横坐标为2，
又∵OB＝OC＝3，
BC边的垂直平分线是直线y＝﹣x，
∴圆心E也在直线y＝﹣x上，
∴E（2，﹣2），
在Rt△ADE中，
DE＝2，AD＝AB＝1，
∴EA＝，
∴EP＝EA＝，
∴DP＝DE+EP＝2+，
∴P（2，﹣2﹣），
由对称性得x轴上方的点P为（2，2+），
综上所述：点P的坐标为P（2，﹣2﹣）或（2，2+）．

25．（12分）（1）问题提出：如图1，已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P是AD上一动点，则BP+AP的最小值为　　．
（2）问题探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，在三角形内有一点P满足∠APB＝∠BPC＝120°，求PA+PB+PC的值．
（3）问题解决：如图3，某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A，B，C．现需根据产品中转点P修建通往种植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便农产品的储藏运输，根据地质设计，PB路段每米造价是PA的倍，PC路段每米造价是PA的2倍．已知AB＝BC＝2000米，∠ABC＝30°，要使修建3条道路费用最小，即求PA+PB+2PC的最小值．

【分析】（1）如图1，过点P作PM⊥AC于M，当B，P，M三点共线时，PB+PA的值最小，最小值是垂线段BM的长；
（2）如图2，把△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BEF，连接PE，先证明A，P，E，F四点共线，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质分别计算BC，AB，AF的长，可得结论；
（3）如图3，把△BPC绕点B顺时针旋转60°并扩大2倍得到△BED，连接AD，取BE的中点F，连接PF，PE，证明PA+PB+2PC＝PA+PE+DE≥AD（当点A，P，E，D共线时取等号），计算AD的长可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM⊥AC于M，

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴PM＝PA，
∴PB+PA＝PB+PM，
∴当B，P，M三点共线时，PB+PA的值最小，
此时，BM⊥AC，
∵AB＝2，∠BAC＝60°，
∴BM＝＝，
故答案为：；
（2）如图2，把△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BEF，连接PE，

由旋转得：PB＝BE，∠CBF＝∠PBE＝60°，∠BPC＝∠BEF＝120°，PC＝EF，
∴△PBE是等边三角形，
∴∠BPE＝∠BEP＝60°，PB＝PE，
∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝30°+60°＝90°，
∵∠APB＝∠BPC＝120°，
∴∠APB+∠BPE＝∠BEF+∠BEP＝120°+60°＝180°，
∴A，P，E，F四点共线，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，AC＝，
∴BC＝BF＝2，AB＝AC＝，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝7，
∴PA+PB+PC＝PA+PE+FE＝AF＝7；
（3）如图3，把△BPC绕点B顺时针旋转60°并扩大2倍得到△BED，连接AD，取BE的中点F，连接PF，PE，

由旋转得：∠PBE＝∠CBD＝60°，BE＝2PB，DE＝2PC，BD＝2BC＝4000，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝30°+60°＝90°，
∵BF＝BP，
∴△BPF是等边三角形，
∴BF＝EF＝PF，
∴∠BPE＝90°，PE＝PB，
∴PA+PB+2PC＝PA+PE+DE≥AD（当点A，P，E，D共线时取等号），
在Rt△ABD中，AD＝＝＝2000（米）；
∴PA+PB+2PC的最小值是2000米．