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2021年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷
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这是一份2021年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
4．（3分）下列从左到右的变形，错误的是（ ）
A．﹣m+n＝﹣（m+n） B．﹣a﹣b＝﹣（a+b）
C．（m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3 D．（y﹣x）2＝（x﹣y）2
5．（3分）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（a，3），B（4，b）两点，则a，b一定满足的关系式为（ ）
A．a﹣b＝1 B．a+b＝7 C．ab＝12 D．
6．（3分）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（ ）
A．2 B．5 C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且FC＝2．若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为（ ）
A．8 B． C．3 D．2
9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
10．（3分）已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．3＜m≤4
二.填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ﹣4．
12．（3分）如图，P为正五边形ABCDE的边AE上一点，过点P作PQ∥BC，交DE于点Q，则∠EPQ的度数为 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0）反比例函数y＝图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
17．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，请利用尺规作图法，在AB，AC边上分别求作点E、点F，使四边形AEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
求证：AE＝BD．
19．（7分）某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源”的知识竞赛活动，为了了解全年级500名学生此次参加竞赛的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．
组别
分数（分）
频数
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
10
C
80≤x＜90
14
D
90≤x＜100
18
（1）求a的值；
（2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在哪个组别？
（3）估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生有多少人？
20．（7分）深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（≈1.7）
21．（7分）小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
22．（7分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
2021年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：．
故选：D．
2．（3分）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：该几何体的主视图为：
．
故选：A．
3．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝75°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°，即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DNM＝∠BME＝75°，
∵∠PND＝45°，
∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝30°，
故选：C．
4．（3分）下列从左到右的变形，错误的是（ ）
A．﹣m+n＝﹣（m+n） B．﹣a﹣b＝﹣（a+b）
C．（m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3 D．（y﹣x）2＝（x﹣y）2
【分析】根据添括号法则，幂的乘方的定义，完全平方公式判断即可．
【解答】解：A、﹣m+n＝﹣（m﹣n），原变形错误，故本选项符合题意；
B、﹣a﹣b＝﹣（a+b），原变形正确，故本选项不符合题意；
C、（m﹣n）3＝（m﹣n）（n﹣m）2＝﹣（n﹣m）（n﹣m）2＝﹣（n﹣m）3，原变形正确，故本选项不符合题意；
D、（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2＝（x﹣y）2，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（a，3），B（4，b）两点，则a，b一定满足的关系式为（ ）
A．a﹣b＝1 B．a+b＝7 C．ab＝12 D．
【分析】设该正比例函数是y＝kx（k≠0），将A、B两点的坐标分别代入，通过整理求得a，b一定满足的关系式．
【解答】解：设该正比例函数是y＝kx（k≠0），则．
联立①②得到ab＝12．
故选：C．
6．（3分）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（ ）
A．2 B．5 C． D．
【分析】由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB'＝＝，
故选：C．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y＝k（x+3）﹣6，然后把（0，0）代入解得即可．
【解答】解：将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后得到y＝k（x+3）﹣6，
∵经过原点，
∴0＝k（0+3）﹣6，解得k＝2，
故选：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且FC＝2．若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为（ ）
A．8 B． C．3 D．2
【分析】由矩形的中心对称性质可得AE＝FC＝2，OE＝OF，由矩形的性质可得AD∥BC，即EG∥BF，从而可判定△EHG∽△FHB，根据相似三角形的性质可得比例式，将相关线段的长代入计算可得AG的长，而AB＝6，则可由勾股定理求得BG的长．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，直线EF过矩形的对称中心O，
∴EF把矩形分割成的两部分图形一样，
∴AE＝FC＝2，OE＝OF，
∵H为OE的中点，
∴HE＝OH，
∴HF＝3EH，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，即EG∥BF，
∴△EHG∽△FHB，
∴＝＝，
∵BF＝BC﹣FC＝8﹣2＝6，
∴EG＝2，
∴AG＝4，
∵AB＝6，
∴由勾股定理得：BG＝＝＝2．
故选：D．
9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】由平行线的性质得∠ACB＝∠A＝25°，由平行线的性质和圆周角定理得∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，由圆周角定理得∠BCD＝90°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵BC∥OA，
∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
10．（3分）已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．3＜m≤4
【分析】根据“当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小”列出不等式组并解答．
【解答】解：依题意得：
解得﹣1＜m≤3．
故选：C．
二.填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ＞ ﹣4．
【分析】根据底数越大幂越大，可得答案；
【解答】解：因为﹣4＝﹣，所以﹣＞﹣4．
故答案为：＞
12．（3分）如图，P为正五边形ABCDE的边AE上一点，过点P作PQ∥BC，交DE于点Q，则∠EPQ的度数为 36° ．
【分析】连接AD，由正五边形的性质可得∠B＝∠BAE＝∠E＝∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，由等腰三角形的性质可求∠EAD＝∠EDA＝36°，可证AD∥PQ，由平行线的性质可求解．
【解答】解：连接AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B＝∠BAE＝∠E＝∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA＝36°，
∴∠BAD＝72°，
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴BC∥AD，
∵PQ∥BC，
∴AD∥PQ，
∴∠EPQ＝∠EAD＝36°，
故答案为：36°．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0）反比例函数y＝图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是 （8，） ．
【分析】过点C作y轴垂线交于点F，通过求证△CFD≌△DOA求出点C的坐标进而求出反比例函数解析式，再通过旋转找到OB1的值即E点的横坐标，代入解析式中即可求出E点坐标．
【解答】解：过点C作y轴垂线交于点F，如图所示：
在Rt△DOA中，DO＝，
∵∠DCF+∠CDF＝90°，∠ADO+∠CDF＝90°，
∴∠DCF＝∠ADO，
又∵∠CFD＝∠DOA＝90°，
∴△CFD∽△DOA，
又∵＝1，
∴△CFD≌△DOA，
∴CF＝DO＝4，FD＝OA＝3，
∴OF＝7，
∴C的坐标为（4，7），
∴k＝4×7＝28，
反比例函数解析式为：y＝，
又∵正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，
∴OB1＝5+3＝8，
∴当x＝8时，y＝＝，
故点E坐标为（8，），
故答案为（8，）．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为 ．
【分析】连接MO并延长交BC于P，则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，根据全等三角形的性质得到AM＝CP＝3，OM＝OP，求得PB＝1，过M作MN⊥BC于N，得到四边形MNCD是矩形，得到MN＝CD，CN＝DM，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝4，MD＝1，
∴AM＝3，
连接MO并延长交BC于P，
则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，
∵AM∥CP，
∴∠MAO＝∠PCO，
∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO，
∴△AOM≌△COP（ASA），
∴AM＝CP＝3，OM＝OP，
∴PB＝1，
过M作MN⊥BC于N，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD，CN＝DM，
∴PN＝4﹣1﹣1＝2，
∴MP＝＝，
∴OM＝，
故答案为：．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集中的公共部分确定出不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜5．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5x﹣8﹣（x2﹣9）＝（3﹣x）（x﹣3），
去括号得：5x﹣8﹣x2+9＝﹣x2+6x﹣9，
移项合并得：﹣x＝﹣10，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根．
17．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，请利用尺规作图法，在AB，AC边上分别求作点E、点F，使四边形AEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，则可证明AD和EF互相垂直平方，于是可判断四边形AEDF是菱形．
【解答】解：如图，四边形AEDF为所作．
18．（5分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
求证：AE＝BD．
【分析】先证明∠ACE＝∠BCD，由SAS证明△DCB≌△ECA，由全等三角形的性质可得出AE＝BD．
【解答】证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
19．（7分）某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源”的知识竞赛活动，为了了解全年级500名学生此次参加竞赛的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．
组别
分数（分）
频数
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
10
C
80≤x＜90
14
D
90≤x＜100
18
（1）求a的值；
（2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在哪个组别？
（3）估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生有多少人？
【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数乘以A所占的百分比即可求出a的值；
（2）根据中位数的定义直接求解即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生有18÷36%＝50（人），
则a＝50×16%＝8；
（2）所抽取的学生成绩按从小到大的顺序排列，第25、26个数据都在C组，
则中位数落在C组；
（3）500×＝320（人），
所以该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有320人．
20．（7分）深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（≈1.7）
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正切的定义求出AE，根据题意求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB＝57米，DE＝30米，∠DAB＝30°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，
∴AE＝＝≈51（米），
∵AB＝57米，
∴BE＝AB﹣AE＝6（米），
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF＝BE＝6（米），
在Rt△DFC中，∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝6（米），
∴BC＝EF＝DE﹣DF＝24（米）．
答：教学楼BC的高度约为24米．
21．（7分）小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可；
（2）根据“时间＝路程÷速度”，求出从A服务区到家的时间即可解答．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；
（2）把x＝2代入y＝﹣90x+270，得y＝﹣180+270＝90，
从A服务区到家的时间为：90÷60＝1.5（小时），
2.5+1.5＝4（小时），
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．
22．（7分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有A，B，C，D，4个小区，
∴甲组抽到A小区的概率是，
故答案为：．
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
【分析】（1）连接OD，求出∠ADO+∠CDB＝90°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）连接DE，求出△ADE∽△BCD，得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接DE，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠CBD，
∴△ADE∽△BCD，
∴＝，
∵AD：AO＝10：7，BC＝2，
∴＝，
解得：BD＝2.8．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），则设L：y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入上式即可求解；
（2）分△A′B′C′在△ABC下方、△A′B′C′在△ABC上方两种情况，通过画图即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设L：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）．
又∵C（1，﹣2）在L上，
∴a＝．
∴y＝x2﹣x﹣．
（2）如图，∵L：y＝x2﹣x﹣，
∴D（1，2）在L的对称轴x＝1上．
∵△A′B′C′与△ABC位似，位似中心为D（1，2），且相似比为2．
①当△A′B′C′在△ABC下方时，
显然，点A′、B′不会在抛物线L上；
②当△A′B′C′在△ABC上方时，
如上图，A′B′＝2AB＝8．
∴点A′、B′的横坐标分别为5，﹣3．
设对称轴x＝1分别与AB、A′B′的交点为E、E′．
由题意，可知DE＝2．
∴点E的对应点E′（1，6）．
∴点A′、B′的纵坐标均为6．
∴A′（5，6），B′（﹣3，6）．
∵当x＝5时，y＝×52﹣5﹣＝6．
∴点B′（﹣3，6）在抛物线L上．同理，可得A′（5，6）也在抛物线L上．
∴存在点A′（5，6），B′（﹣3，6）在抛物线L上．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
【分析】（1）若AO交BC于K，则AK＝8，在Rt△BOK中，设OB＝x，可得x2＝62+（8﹣x）2，解方程可得OB的长；
（2）延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的最大距离为OE+OP的长即可；
（3）先求出所在圆的半径，过点D作DG⊥BC，垂足为G，连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，求出DP长即可求出修建这条小路花费的最多费用．
【解答】解：（1）如图，若AO交BC于K，
∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，
∴AK⊥BC，BK＝，
∴AK＝，
在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，设OB＝x，
∴x2＝62+（8﹣x）2，
解得x＝，
∴OB＝；
故答案为：．
（2）如图，连接EO，延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，
∵在是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，
∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，
∵AB＝4，AD＝6，
∴EO＝4，OP＝OC＝，
∴EP＝OE+OP＝7，
∴E、P之间的最大距离为7．
（3）作射线FE交BD于点M，
∵BE＝CE，EF⊥BC，是劣弧，
∴所在圆的圆心在射线FE上，
假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC＝r，OE＝r﹣40，BE＝CE＝，
在Rt△OEC中，r2＝802+（r﹣40）2，
解得：r＝100，
∴OE＝OF﹣EF＝60，
过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∵AD∥BC，∠ADB＝45°，
∴∠DBC＝45°，
在Rt△BDG中，DG＝BG＝，
在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，
∴ME＞OE，
∴点O在△BDC内部，
∴连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，
∵在上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，
∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，
过点O作OH⊥DG，垂足为H，则OH＝EG＝40，DH＝DG﹣HG＝DG﹣OE＝60，
∴＝＝20，
∴DP＝OD+r＝20+100，
∴修建这条小路最多要花费40×元．
2021年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
4．（3分）下列从左到右的变形，错误的是（ ）
A．﹣m+n＝﹣（m+n） B．﹣a﹣b＝﹣（a+b）
C．（m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3 D．（y﹣x）2＝（x﹣y）2
5．（3分）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（a，3），B（4，b）两点，则a，b一定满足的关系式为（ ）
A．a﹣b＝1 B．a+b＝7 C．ab＝12 D．
6．（3分）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（ ）
A．2 B．5 C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且FC＝2．若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为（ ）
A．8 B． C．3 D．2
9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
10．（3分）已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．3＜m≤4
二.填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ﹣4．
12．（3分）如图，P为正五边形ABCDE的边AE上一点，过点P作PQ∥BC，交DE于点Q，则∠EPQ的度数为 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0）反比例函数y＝图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
17．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，请利用尺规作图法，在AB，AC边上分别求作点E、点F，使四边形AEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
求证：AE＝BD．
19．（7分）某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源”的知识竞赛活动，为了了解全年级500名学生此次参加竞赛的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．
组别
分数（分）
频数
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
10
C
80≤x＜90
14
D
90≤x＜100
18
（1）求a的值；
（2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在哪个组别？
（3）估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生有多少人？
20．（7分）深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（≈1.7）
21．（7分）小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
22．（7分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
2021年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：．
故选：D．
2．（3分）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：该几何体的主视图为：
．
故选：A．
3．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝75°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°，即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DNM＝∠BME＝75°，
∵∠PND＝45°，
∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝30°，
故选：C．
4．（3分）下列从左到右的变形，错误的是（ ）
A．﹣m+n＝﹣（m+n） B．﹣a﹣b＝﹣（a+b）
C．（m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3 D．（y﹣x）2＝（x﹣y）2
【分析】根据添括号法则，幂的乘方的定义，完全平方公式判断即可．
【解答】解：A、﹣m+n＝﹣（m﹣n），原变形错误，故本选项符合题意；
B、﹣a﹣b＝﹣（a+b），原变形正确，故本选项不符合题意；
C、（m﹣n）3＝（m﹣n）（n﹣m）2＝﹣（n﹣m）（n﹣m）2＝﹣（n﹣m）3，原变形正确，故本选项不符合题意；
D、（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2＝（x﹣y）2，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（a，3），B（4，b）两点，则a，b一定满足的关系式为（ ）
A．a﹣b＝1 B．a+b＝7 C．ab＝12 D．
【分析】设该正比例函数是y＝kx（k≠0），将A、B两点的坐标分别代入，通过整理求得a，b一定满足的关系式．
【解答】解：设该正比例函数是y＝kx（k≠0），则．
联立①②得到ab＝12．
故选：C．
6．（3分）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（ ）
A．2 B．5 C． D．
【分析】由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB'＝＝，
故选：C．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y＝k（x+3）﹣6，然后把（0，0）代入解得即可．
【解答】解：将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后得到y＝k（x+3）﹣6，
∵经过原点，
∴0＝k（0+3）﹣6，解得k＝2，
故选：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且FC＝2．若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为（ ）
A．8 B． C．3 D．2
【分析】由矩形的中心对称性质可得AE＝FC＝2，OE＝OF，由矩形的性质可得AD∥BC，即EG∥BF，从而可判定△EHG∽△FHB，根据相似三角形的性质可得比例式，将相关线段的长代入计算可得AG的长，而AB＝6，则可由勾股定理求得BG的长．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，直线EF过矩形的对称中心O，
∴EF把矩形分割成的两部分图形一样，
∴AE＝FC＝2，OE＝OF，
∵H为OE的中点，
∴HE＝OH，
∴HF＝3EH，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，即EG∥BF，
∴△EHG∽△FHB，
∴＝＝，
∵BF＝BC﹣FC＝8﹣2＝6，
∴EG＝2，
∴AG＝4，
∵AB＝6，
∴由勾股定理得：BG＝＝＝2．
故选：D．
9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】由平行线的性质得∠ACB＝∠A＝25°，由平行线的性质和圆周角定理得∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，由圆周角定理得∠BCD＝90°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵BC∥OA，
∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
10．（3分）已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．3＜m≤4
【分析】根据“当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小”列出不等式组并解答．
【解答】解：依题意得：
解得﹣1＜m≤3．
故选：C．
二.填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ＞ ﹣4．
【分析】根据底数越大幂越大，可得答案；
【解答】解：因为﹣4＝﹣，所以﹣＞﹣4．
故答案为：＞
12．（3分）如图，P为正五边形ABCDE的边AE上一点，过点P作PQ∥BC，交DE于点Q，则∠EPQ的度数为 36° ．
【分析】连接AD，由正五边形的性质可得∠B＝∠BAE＝∠E＝∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，由等腰三角形的性质可求∠EAD＝∠EDA＝36°，可证AD∥PQ，由平行线的性质可求解．
【解答】解：连接AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B＝∠BAE＝∠E＝∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA＝36°，
∴∠BAD＝72°，
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴BC∥AD，
∵PQ∥BC，
∴AD∥PQ，
∴∠EPQ＝∠EAD＝36°，
故答案为：36°．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0）反比例函数y＝图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是 （8，） ．
【分析】过点C作y轴垂线交于点F，通过求证△CFD≌△DOA求出点C的坐标进而求出反比例函数解析式，再通过旋转找到OB1的值即E点的横坐标，代入解析式中即可求出E点坐标．
【解答】解：过点C作y轴垂线交于点F，如图所示：
在Rt△DOA中，DO＝，
∵∠DCF+∠CDF＝90°，∠ADO+∠CDF＝90°，
∴∠DCF＝∠ADO，
又∵∠CFD＝∠DOA＝90°，
∴△CFD∽△DOA，
又∵＝1，
∴△CFD≌△DOA，
∴CF＝DO＝4，FD＝OA＝3，
∴OF＝7，
∴C的坐标为（4，7），
∴k＝4×7＝28，
反比例函数解析式为：y＝，
又∵正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，
∴OB1＝5+3＝8，
∴当x＝8时，y＝＝，
故点E坐标为（8，），
故答案为（8，）．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为 ．
【分析】连接MO并延长交BC于P，则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，根据全等三角形的性质得到AM＝CP＝3，OM＝OP，求得PB＝1，过M作MN⊥BC于N，得到四边形MNCD是矩形，得到MN＝CD，CN＝DM，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝4，MD＝1，
∴AM＝3，
连接MO并延长交BC于P，
则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，
∵AM∥CP，
∴∠MAO＝∠PCO，
∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO，
∴△AOM≌△COP（ASA），
∴AM＝CP＝3，OM＝OP，
∴PB＝1，
过M作MN⊥BC于N，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD，CN＝DM，
∴PN＝4﹣1﹣1＝2，
∴MP＝＝，
∴OM＝，
故答案为：．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集中的公共部分确定出不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜5．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5x﹣8﹣（x2﹣9）＝（3﹣x）（x﹣3），
去括号得：5x﹣8﹣x2+9＝﹣x2+6x﹣9，
移项合并得：﹣x＝﹣10，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根．
17．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，请利用尺规作图法，在AB，AC边上分别求作点E、点F，使四边形AEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，则可证明AD和EF互相垂直平方，于是可判断四边形AEDF是菱形．
【解答】解：如图，四边形AEDF为所作．
18．（5分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
求证：AE＝BD．
【分析】先证明∠ACE＝∠BCD，由SAS证明△DCB≌△ECA，由全等三角形的性质可得出AE＝BD．
【解答】证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
19．（7分）某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源”的知识竞赛活动，为了了解全年级500名学生此次参加竞赛的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．
组别
分数（分）
频数
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
10
C
80≤x＜90
14
D
90≤x＜100
18
（1）求a的值；
（2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在哪个组别？
（3）估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生有多少人？
【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数乘以A所占的百分比即可求出a的值；
（2）根据中位数的定义直接求解即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生有18÷36%＝50（人），
则a＝50×16%＝8；
（2）所抽取的学生成绩按从小到大的顺序排列，第25、26个数据都在C组，
则中位数落在C组；
（3）500×＝320（人），
所以该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有320人．
20．（7分）深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（≈1.7）
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正切的定义求出AE，根据题意求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB＝57米，DE＝30米，∠DAB＝30°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，
∴AE＝＝≈51（米），
∵AB＝57米，
∴BE＝AB﹣AE＝6（米），
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF＝BE＝6（米），
在Rt△DFC中，∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝6（米），
∴BC＝EF＝DE﹣DF＝24（米）．
答：教学楼BC的高度约为24米．
21．（7分）小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可；
（2）根据“时间＝路程÷速度”，求出从A服务区到家的时间即可解答．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；
（2）把x＝2代入y＝﹣90x+270，得y＝﹣180+270＝90，
从A服务区到家的时间为：90÷60＝1.5（小时），
2.5+1.5＝4（小时），
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．
22．（7分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有A，B，C，D，4个小区，
∴甲组抽到A小区的概率是，
故答案为：．
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
【分析】（1）连接OD，求出∠ADO+∠CDB＝90°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）连接DE，求出△ADE∽△BCD，得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接DE，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠CBD，
∴△ADE∽△BCD，
∴＝，
∵AD：AO＝10：7，BC＝2，
∴＝，
解得：BD＝2.8．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），则设L：y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入上式即可求解；
（2）分△A′B′C′在△ABC下方、△A′B′C′在△ABC上方两种情况，通过画图即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设L：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）．
又∵C（1，﹣2）在L上，
∴a＝．
∴y＝x2﹣x﹣．
（2）如图，∵L：y＝x2﹣x﹣，
∴D（1，2）在L的对称轴x＝1上．
∵△A′B′C′与△ABC位似，位似中心为D（1，2），且相似比为2．
①当△A′B′C′在△ABC下方时，
显然，点A′、B′不会在抛物线L上；
②当△A′B′C′在△ABC上方时，
如上图，A′B′＝2AB＝8．
∴点A′、B′的横坐标分别为5，﹣3．
设对称轴x＝1分别与AB、A′B′的交点为E、E′．
由题意，可知DE＝2．
∴点E的对应点E′（1，6）．
∴点A′、B′的纵坐标均为6．
∴A′（5，6），B′（﹣3，6）．
∵当x＝5时，y＝×52﹣5﹣＝6．
∴点B′（﹣3，6）在抛物线L上．同理，可得A′（5，6）也在抛物线L上．
∴存在点A′（5，6），B′（﹣3，6）在抛物线L上．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
【分析】（1）若AO交BC于K，则AK＝8，在Rt△BOK中，设OB＝x，可得x2＝62+（8﹣x）2，解方程可得OB的长；
（2）延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的最大距离为OE+OP的长即可；
（3）先求出所在圆的半径，过点D作DG⊥BC，垂足为G，连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，求出DP长即可求出修建这条小路花费的最多费用．
【解答】解：（1）如图，若AO交BC于K，
∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，
∴AK⊥BC，BK＝，
∴AK＝，
在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，设OB＝x，
∴x2＝62+（8﹣x）2，
解得x＝，
∴OB＝；
故答案为：．
（2）如图，连接EO，延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，
∵在是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，
∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，
∵AB＝4，AD＝6，
∴EO＝4，OP＝OC＝，
∴EP＝OE+OP＝7，
∴E、P之间的最大距离为7．
（3）作射线FE交BD于点M，
∵BE＝CE，EF⊥BC，是劣弧，
∴所在圆的圆心在射线FE上，
假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC＝r，OE＝r﹣40，BE＝CE＝，
在Rt△OEC中，r2＝802+（r﹣40）2，
解得：r＝100，
∴OE＝OF﹣EF＝60，
过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∵AD∥BC，∠ADB＝45°，
∴∠DBC＝45°，
在Rt△BDG中，DG＝BG＝，
在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，
∴ME＞OE，
∴点O在△BDC内部，
∴连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，
∵在上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，
∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，
过点O作OH⊥DG，垂足为H，则OH＝EG＝40，DH＝DG﹣HG＝DG﹣OE＝60，
∴＝＝20，
∴DP＝OD+r＝20+100，
∴修建这条小路最多要花费40×元．
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