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2021年陕西省宝鸡市高新区中考数学一模试卷
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这是一份2021年陕西省宝鸡市高新区中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省宝鸡市高新区中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知∠A＝75°，则∠A的补角等于（ ）
A．125° B．105° C．15° D．95°
3．（3分）为了让市民出行更加方便，某市政府大力发展公共交通，2020年该市公共交通客运量约为1582000000人次，将1582000000用科学记数法表示应为（ ）
A．15.82×108 B．1.582×109 C．1.582×1010 D．158.2×107
4．（3分）若正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），则m的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（xy3）2＝x2y5
C．a6÷a2＝a4 D．（3m+1）2＝9m2+3m+1
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，若AD＝10，则AE的长为（ ）
A．5+5 B．5 C．5+6 D．6
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x﹣1的图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，1） D．（0，﹣1）
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠CAB＝51°，则∠ADC的度数为（ ）
A．45° B．35° C．42° D．39°
10．（3分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2+8x+m，则m的值为（ ）
A．﹣13或﹣19 B．﹣13或﹣19 C．13或19 D．13或﹣19
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）的算术平方根是 ．
12．（3分）正八边形一个内角的度数为 ．
13．（3分）如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，若AO＝2BO，则反比例函数的表达式为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点P是矩形ABCD内一动点，且S△ABP＝S△CDP，则PC+PD的最小值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：5×+（3﹣2π）0﹣|﹣2|．
16．（5分）解分式方程：﹣1＝．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，用尺规在BC上求作一点P，使P到边AC，AB的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
18．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AF∥CE．
19．（7分）为响应市上的“创卫”号召，某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数为 ；
（3）求所有被调查的同学劳动时间的中位数和平均数．
20．（7分）如图，新华中学教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD为18米，在实验楼顶部B点分别测得教学楼顶部A点的仰角为30°，底部C点的俯角为45°，求教学楼AC的高度．
21．（7分）某工厂每天生产A，B两种款式的布制环保购物袋共5000个，已知A种购物袋成本为2元/个，售价为2.4元/个；B种购物袋成本为2.8元/个，售价为3.4元/个．设该工厂每天生产A种购物袋x个，每天共需成本y元，共获利w元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求w与x之间的函数表达式；
（3）如果该工厂每天最多投入成本12000元，那么每天最多获利多少元？
22．（7分）一个不透明的袋子中装有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）将袋子中的小球摇匀，然后从袋子中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为偶数的小球的概率；
（2）小明和小华用这四个小球玩摸球游戏，规则是：将袋子中的小球摇匀，小明从袋子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回袋子里，然后再将袋子中的小球摇匀，小华此时从袋子中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字都是奇数，则小明获胜；若两次摸到小球的标号数字都是偶数，则小华获胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠B＝∠BAC，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P．
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）若AC＝8，求AP的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点A的坐标为（﹣4，0），AO＝4BO．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 ；
②线段AD、BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展研究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
2021年陕西省宝鸡市高新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．﹣的相反数是．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：D．
2．（3分）已知∠A＝75°，则∠A的补角等于（ ）
A．125° B．105° C．15° D．95°
【分析】根据补角的定义求解即可．
【解答】解：∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣75°＝105°．
故选：B．
3．（3分）为了让市民出行更加方便，某市政府大力发展公共交通，2020年该市公共交通客运量约为1582000000人次，将1582000000用科学记数法表示应为（ ）
A．15.82×108 B．1.582×109 C．1.582×1010 D．158.2×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1582000000＝1.582×109．
故选：B．
4．（3分）若正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），则m的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
【分析】根据正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），可以得到3﹣m＝4×2，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），
∴3﹣m＝4×2，
解得m＝﹣5，
故选：D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（xy3）2＝x2y5
C．a6÷a2＝a4 D．（3m+1）2＝9m2+3m+1
【分析】根据合并同类项的法则判断A；根据积的乘方法则判断B；根据同底数幂的除法法则判断C；根据完全平方公式判断D．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，计算错误，故本选项不符合题意；
B、（xy3）2＝x2y6，计算错误，故本选项不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，计算正确，故本选项符合题意；
D、（3m+1）2＝9m2+6m+1，计算错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，若AD＝10，则AE的长为（ ）
A．5+5 B．5 C．5+6 D．6
【分析】过D点作DH⊥AB于H，连接DE，如图，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，则∠EBD＝∠EDB，再证明DE∥BC得到∠DEA＝∠ABC＝45°，接着计算出AH、DH，然后计算出HE，从而得到AE的长．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，连接DE，如图，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴DE∥BC，
∴∠DEA＝∠ABC＝45°，
在Rt△ADH中，∵∠A＝60°，
∴AH＝AD＝×10＝5，
∴DH＝AH＝5，
在Rt△DHE中，∵∠HED＝45°，
∴HE＝DH＝5，
∴AE＝AH+EH＝5+5．
故选：A．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x﹣1的图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，1） D．（0，﹣1）
【分析】先求出该函数图象向左平移1个单位长度后的直线解析式，再令x＝0，求出y的值即可．
【解答】解：∵将函数y＝2x﹣1的图象向左平移1个单位长度的解析式为y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
∴当x＝0时，y＝1，
∴平移后与y轴的交点坐标为（0，1），
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】连接CE，利用垂直平分线的性质可得EC＝AE，设DE＝x，利用勾股定理列出方程，结论可得．
【解答】解：连接EC，如图，
∵ABCD是矩形，
∴AO＝OC．
∵EO⊥AC，
∴OE为线段AC的垂直平分线．
∴EC＝AE．
设DE＝x，则AE＝12﹣x．
∴EC＝12﹣x，
在Rt△ECD中，
∵EC2＝DE2+DC2，
∴（12﹣x）2＝x2+92．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：A．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠CAB＝51°，则∠ADC的度数为（ ）
A．45° B．35° C．42° D．39°
【分析】连接BD，由圆周角定理得出∠CDB＝∠CAB＝51°，∠ADB＝90°，根据∠ADC＝∠ADB﹣∠CDB求解可得答案．
【解答】解：如图，连接BD，
∴∠CDB＝∠CAB＝51°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝39°，
故选：D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2+8x+m，则m的值为（ ）
A．﹣13或﹣19 B．﹣13或﹣19 C．13或19 D．13或﹣19
【分析】根据题意，可以先求出抛物线的对称轴，再根据两条抛物线的顶点相距10个单位长度，即可得到顶点的纵坐标的绝对值，然后即可求得m的值．
【解答】解：∵y＝x2+8x+m＝（x+4）2﹣16+m，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣4，
∵有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，
∴顶点到原点的距离是5，
∴顶点的纵坐标的绝对值是：＝3，
∴＝±3，
解得m1＝13，m2＝19，
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
12．（3分）正八边形一个内角的度数为 135° ．
【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
每一个内角的度数为×1080°＝135°．
故答案为：135°．
13．（3分）如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，若AO＝2BO，则反比例函数的表达式为 y＝﹣ ．
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO＝2BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），即OA＝2，
∵AO＝2BO，
∴OB＝1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y＝﹣x+2上，
∴点C（﹣1，3），
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣．
故答案为y＝﹣．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点P是矩形ABCD内一动点，且S△ABP＝S△CDP，则PC+PD的最小值为 3 ．
【分析】依据S△PAB＝S△PCD，即可得出点P在BC的垂直平分线上，进而得到PB＝PC，当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，依据勾股定理求得BD的长，即可得到PC+PD的最小值为3．
【解答】解：∵点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，
∴点P到AB的距离等于点P到CD的距离，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∴PC+PD＝BP+PD，
当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，
又∵AB＝CD＝6，BC＝9，
∴对角线BD＝＝＝3，
∴PC+PD的最小值为3，
故答案为：3．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：5×+（3﹣2π）0﹣|﹣2|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝5×（﹣2）+1﹣（2﹣）
＝﹣10+1﹣2+
＝﹣11．
16．（5分）解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝2x，
整理得：x2﹣6x+9﹣x2+3x＝2x，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：x（x﹣3）＝×（﹣）＝﹣≠0，
则x＝是分式方程的解．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，用尺规在BC上求作一点P，使P到边AC，AB的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】根据角平分线的性质定理，作出∠CAB的角平分线即可．
【解答】解：如图，点P即为所求作．
18．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AF∥CE．
【分析】由SAS证明△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应角相等得到∠AFB＝∠CED，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE．
19．（7分）为响应市上的“创卫”号召，某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数为 64.8° ；
（3）求所有被调查的同学劳动时间的中位数和平均数．
【分析】（1）根据劳动1小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出劳动1.5小时的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数；
（3）根据条形统计图中的数据，可以得到所有被调查的同学劳动时间的中位数和平均数．
【解答】解：（1）本次调查的学生有：30÷30%＝100（人），
劳动1.5小时的有：100﹣12﹣30﹣18＝40（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数为：360°×＝64.8°，
故答案为：64.8°；
（3）由统计图可知，
所有被调查的同学劳动时间的中位数是1.5小时，
平均数是：＝1.32（小时），
即所有被调查的同学劳动时间的中位数是1.5小时，平均数是1.32小时．
20．（7分）如图，新华中学教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD为18米，在实验楼顶部B点分别测得教学楼顶部A点的仰角为30°，底部C点的俯角为45°，求教学楼AC的高度．
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，可得四边形ECDB是矩形，根据特殊角三角函数即可求出结果．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
则四边形ECDB是矩形，
∴EB＝CD＝18米，
在Rt△AEB中，∠ABE＝30°，
∴AE＝BE•tan30°＝18×＝6（米），
在Rt△BCE中，∠EBC＝45°，
∴EC＝EB＝18米，
∴AC＝AE+EC＝（6+18）米．
答：教学楼AC的高度为（6+18）米．
21．（7分）某工厂每天生产A，B两种款式的布制环保购物袋共5000个，已知A种购物袋成本为2元/个，售价为2.4元/个；B种购物袋成本为2.8元/个，售价为3.4元/个．设该工厂每天生产A种购物袋x个，每天共需成本y元，共获利w元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求w与x之间的函数表达式；
（3）如果该工厂每天最多投入成本12000元，那么每天最多获利多少元？
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数表达式；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x的函数表达式；
（3）根据该厂每天最多投入成本12000元，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到每天最多获利多少元．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝2x+2.8×（5000﹣x）＝﹣0.8x+14000，
即y与x的函数关系式为y＝﹣0.8x+14000；
（2）由题意可得，
w＝（2.4﹣2）x+（3.4﹣2.8）×（5000﹣x）＝﹣0.2x+3000，
即w关于x的函数关系式为w＝﹣0.2x+3000；
（3）∵该厂每天最多投入成本10000元，
∴﹣0.8x+14000≤12000，
解得，x≥2500，
∵w＝﹣0.2x+3000，k＝﹣0.2，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝2500时，w取得最大值，此时w＝2500，
即每天最多获利2500元．
22．（7分）一个不透明的袋子中装有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）将袋子中的小球摇匀，然后从袋子中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为偶数的小球的概率；
（2）小明和小华用这四个小球玩摸球游戏，规则是：将袋子中的小球摇匀，小明从袋子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回袋子里，然后再将袋子中的小球摇匀，小华此时从袋子中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字都是奇数，则小明获胜；若两次摸到小球的标号数字都是偶数，则小华获胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【分析】（1）根据四个球中偶数的个数，除以总个数得到所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出标号数字同为奇数或偶数的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可．
【解答】解：（1）∵不透明的袋子中装有标号分别为2，3，4，5的四个小球，摸到标号数字为偶数的小球有2种，
∴摸到标号数字为偶数的小球的概率是＝；
（2）列表如下：
2
3
4
5
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
所有等可能的情况数有16种，其中小明、小华获胜的结果各有4种，
则小明获胜的概率是＝，
小华获胜的概率是＝，
∵＝，
∴这个游戏规则对双方是公平的．
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠B＝∠BAC，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P．
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）若AC＝8，求AP的长．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再计算出∠BAC＝60°，然后根据等边三角形的判定方法得到结论；
（2）先利用等边三角形的性质得到∠AOC＝60°，OA＝AC＝8，再根据切线的性质得到∠OAP＝90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到PA的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠BAC，
∴∠BAC+∠BAC＝90°，解得∠BAC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形；
（2）解：∵△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OA＝AC＝8，
∵PA为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴PA＝OA＝8．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点A的坐标为（﹣4，0），AO＝4BO．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A（﹣4，0），AO＝4BO求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入函数表达式列方程组，求待定系数b、c的值；
（2）存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形，且顶点P到x轴的距离等于点C到x轴的距离，由此列方程求出点P的纵坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），且AO＝4BO，
∴OB＝OA＝1，
∴B（1，0）．
把A（﹣4，0）、B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+x﹣3；
（2）存在．
由抛物线y＝x2+x﹣3与y轴交于点C，得C（0，﹣3）；
∵以A，C，E，P为顶点的平行四边形以AC为一边，
∴点P到x轴的距离与点C到x轴的距离相等.
如图1，点P在x轴的下方，
则x2+x﹣3＝﹣3，
解得x1＝﹣3，x2＝0（不符合题意，舍去），
∴点P的坐标为（﹣3，﹣3），
如图2，点P在x轴的上方，
则x2+x﹣3＝3，
解得x1＝，x2＝．
∴点P的坐标为（，3）或（，0）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（，3）或（，0）．
25．（12分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 60° ；
②线段AD、BE之间的数量关系为 AD＝BE ．
（2）拓展研究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
【分析】问题发现：
（1）①由等边三角形的性质可得AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠CEB＝120°
即可求∠AEB的度数；
（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE；
拓展研究：
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM＝DM＝ME，可得AE＝2CH+BE；
解决问题：
（3）由题意可得点P在以D为圆心，2为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
【解答】解：问题发现
（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED
∵点A、D、E在同一条直线上，
∴∠ADC＝120°
∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB
∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，DC＝CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠ADC＝∠CEB＝120°
∴∠ABE＝∠CEB﹣∠CED＝60°
②∵△ACD≌△BCE
∴AD＝BE
故答案为：60°，AD＝BE
（2）拓展研究：
猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
解决问题：
（3）∵点P满足PD＝2，
∴点P在以D为圆心，2为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，
若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝2＝BC，∠BCD＝90°
∴BD＝4，
∵∠BPD＝90°
∴BP＝＝2
∵∠BPD＝90°＝∠BAD
∴点A，点B，点D，点P四点共圆
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP
∴∠HAP＝∠APH＝45°
∴AH＝HP
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴8＝AH2+（2﹣AH）2，
∴AH＝+1（不合题意），或AH＝﹣1
若点P在CD的右侧，
同理可得AH＝+1
综上所述：点A到BP的距离为：+1或﹣1
2021年陕西省宝鸡市高新区中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知∠A＝75°，则∠A的补角等于（ ）
A．125° B．105° C．15° D．95°
3．（3分）为了让市民出行更加方便，某市政府大力发展公共交通，2020年该市公共交通客运量约为1582000000人次，将1582000000用科学记数法表示应为（ ）
A．15.82×108 B．1.582×109 C．1.582×1010 D．158.2×107
4．（3分）若正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），则m的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（xy3）2＝x2y5
C．a6÷a2＝a4 D．（3m+1）2＝9m2+3m+1
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，若AD＝10，则AE的长为（ ）
A．5+5 B．5 C．5+6 D．6
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x﹣1的图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，1） D．（0，﹣1）
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠CAB＝51°，则∠ADC的度数为（ ）
A．45° B．35° C．42° D．39°
10．（3分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2+8x+m，则m的值为（ ）
A．﹣13或﹣19 B．﹣13或﹣19 C．13或19 D．13或﹣19
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）的算术平方根是 ．
12．（3分）正八边形一个内角的度数为 ．
13．（3分）如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，若AO＝2BO，则反比例函数的表达式为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点P是矩形ABCD内一动点，且S△ABP＝S△CDP，则PC+PD的最小值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：5×+（3﹣2π）0﹣|﹣2|．
16．（5分）解分式方程：﹣1＝．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，用尺规在BC上求作一点P，使P到边AC，AB的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
18．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AF∥CE．
19．（7分）为响应市上的“创卫”号召，某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数为 ；
（3）求所有被调查的同学劳动时间的中位数和平均数．
20．（7分）如图，新华中学教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD为18米，在实验楼顶部B点分别测得教学楼顶部A点的仰角为30°，底部C点的俯角为45°，求教学楼AC的高度．
21．（7分）某工厂每天生产A，B两种款式的布制环保购物袋共5000个，已知A种购物袋成本为2元/个，售价为2.4元/个；B种购物袋成本为2.8元/个，售价为3.4元/个．设该工厂每天生产A种购物袋x个，每天共需成本y元，共获利w元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求w与x之间的函数表达式；
（3）如果该工厂每天最多投入成本12000元，那么每天最多获利多少元？
22．（7分）一个不透明的袋子中装有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）将袋子中的小球摇匀，然后从袋子中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为偶数的小球的概率；
（2）小明和小华用这四个小球玩摸球游戏，规则是：将袋子中的小球摇匀，小明从袋子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回袋子里，然后再将袋子中的小球摇匀，小华此时从袋子中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字都是奇数，则小明获胜；若两次摸到小球的标号数字都是偶数，则小华获胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠B＝∠BAC，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P．
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）若AC＝8，求AP的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点A的坐标为（﹣4，0），AO＝4BO．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 ；
②线段AD、BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展研究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
2021年陕西省宝鸡市高新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．﹣的相反数是．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：D．
2．（3分）已知∠A＝75°，则∠A的补角等于（ ）
A．125° B．105° C．15° D．95°
【分析】根据补角的定义求解即可．
【解答】解：∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣75°＝105°．
故选：B．
3．（3分）为了让市民出行更加方便，某市政府大力发展公共交通，2020年该市公共交通客运量约为1582000000人次，将1582000000用科学记数法表示应为（ ）
A．15.82×108 B．1.582×109 C．1.582×1010 D．158.2×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1582000000＝1.582×109．
故选：B．
4．（3分）若正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），则m的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
【分析】根据正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），可以得到3﹣m＝4×2，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），
∴3﹣m＝4×2，
解得m＝﹣5，
故选：D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（xy3）2＝x2y5
C．a6÷a2＝a4 D．（3m+1）2＝9m2+3m+1
【分析】根据合并同类项的法则判断A；根据积的乘方法则判断B；根据同底数幂的除法法则判断C；根据完全平方公式判断D．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，计算错误，故本选项不符合题意；
B、（xy3）2＝x2y6，计算错误，故本选项不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，计算正确，故本选项符合题意；
D、（3m+1）2＝9m2+6m+1，计算错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，若AD＝10，则AE的长为（ ）
A．5+5 B．5 C．5+6 D．6
【分析】过D点作DH⊥AB于H，连接DE，如图，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，则∠EBD＝∠EDB，再证明DE∥BC得到∠DEA＝∠ABC＝45°，接着计算出AH、DH，然后计算出HE，从而得到AE的长．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，连接DE，如图，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴DE∥BC，
∴∠DEA＝∠ABC＝45°，
在Rt△ADH中，∵∠A＝60°，
∴AH＝AD＝×10＝5，
∴DH＝AH＝5，
在Rt△DHE中，∵∠HED＝45°，
∴HE＝DH＝5，
∴AE＝AH+EH＝5+5．
故选：A．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x﹣1的图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，1） D．（0，﹣1）
【分析】先求出该函数图象向左平移1个单位长度后的直线解析式，再令x＝0，求出y的值即可．
【解答】解：∵将函数y＝2x﹣1的图象向左平移1个单位长度的解析式为y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
∴当x＝0时，y＝1，
∴平移后与y轴的交点坐标为（0，1），
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】连接CE，利用垂直平分线的性质可得EC＝AE，设DE＝x，利用勾股定理列出方程，结论可得．
【解答】解：连接EC，如图，
∵ABCD是矩形，
∴AO＝OC．
∵EO⊥AC，
∴OE为线段AC的垂直平分线．
∴EC＝AE．
设DE＝x，则AE＝12﹣x．
∴EC＝12﹣x，
在Rt△ECD中，
∵EC2＝DE2+DC2，
∴（12﹣x）2＝x2+92．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：A．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠CAB＝51°，则∠ADC的度数为（ ）
A．45° B．35° C．42° D．39°
【分析】连接BD，由圆周角定理得出∠CDB＝∠CAB＝51°，∠ADB＝90°，根据∠ADC＝∠ADB﹣∠CDB求解可得答案．
【解答】解：如图，连接BD，
∴∠CDB＝∠CAB＝51°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝39°，
故选：D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2+8x+m，则m的值为（ ）
A．﹣13或﹣19 B．﹣13或﹣19 C．13或19 D．13或﹣19
【分析】根据题意，可以先求出抛物线的对称轴，再根据两条抛物线的顶点相距10个单位长度，即可得到顶点的纵坐标的绝对值，然后即可求得m的值．
【解答】解：∵y＝x2+8x+m＝（x+4）2﹣16+m，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣4，
∵有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，
∴顶点到原点的距离是5，
∴顶点的纵坐标的绝对值是：＝3，
∴＝±3，
解得m1＝13，m2＝19，
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
12．（3分）正八边形一个内角的度数为 135° ．
【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
每一个内角的度数为×1080°＝135°．
故答案为：135°．
13．（3分）如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，若AO＝2BO，则反比例函数的表达式为 y＝﹣ ．
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO＝2BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），即OA＝2，
∵AO＝2BO，
∴OB＝1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y＝﹣x+2上，
∴点C（﹣1，3），
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣．
故答案为y＝﹣．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点P是矩形ABCD内一动点，且S△ABP＝S△CDP，则PC+PD的最小值为 3 ．
【分析】依据S△PAB＝S△PCD，即可得出点P在BC的垂直平分线上，进而得到PB＝PC，当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，依据勾股定理求得BD的长，即可得到PC+PD的最小值为3．
【解答】解：∵点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，
∴点P到AB的距离等于点P到CD的距离，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∴PC+PD＝BP+PD，
当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，
又∵AB＝CD＝6，BC＝9，
∴对角线BD＝＝＝3，
∴PC+PD的最小值为3，
故答案为：3．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：5×+（3﹣2π）0﹣|﹣2|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝5×（﹣2）+1﹣（2﹣）
＝﹣10+1﹣2+
＝﹣11．
16．（5分）解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝2x，
整理得：x2﹣6x+9﹣x2+3x＝2x，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：x（x﹣3）＝×（﹣）＝﹣≠0，
则x＝是分式方程的解．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，用尺规在BC上求作一点P，使P到边AC，AB的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】根据角平分线的性质定理，作出∠CAB的角平分线即可．
【解答】解：如图，点P即为所求作．
18．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AF∥CE．
【分析】由SAS证明△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应角相等得到∠AFB＝∠CED，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE．
19．（7分）为响应市上的“创卫”号召，某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数为 64.8° ；
（3）求所有被调查的同学劳动时间的中位数和平均数．
【分析】（1）根据劳动1小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出劳动1.5小时的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数；
（3）根据条形统计图中的数据，可以得到所有被调查的同学劳动时间的中位数和平均数．
【解答】解：（1）本次调查的学生有：30÷30%＝100（人），
劳动1.5小时的有：100﹣12﹣30﹣18＝40（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数为：360°×＝64.8°，
故答案为：64.8°；
（3）由统计图可知，
所有被调查的同学劳动时间的中位数是1.5小时，
平均数是：＝1.32（小时），
即所有被调查的同学劳动时间的中位数是1.5小时，平均数是1.32小时．
20．（7分）如图，新华中学教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD为18米，在实验楼顶部B点分别测得教学楼顶部A点的仰角为30°，底部C点的俯角为45°，求教学楼AC的高度．
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，可得四边形ECDB是矩形，根据特殊角三角函数即可求出结果．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
则四边形ECDB是矩形，
∴EB＝CD＝18米，
在Rt△AEB中，∠ABE＝30°，
∴AE＝BE•tan30°＝18×＝6（米），
在Rt△BCE中，∠EBC＝45°，
∴EC＝EB＝18米，
∴AC＝AE+EC＝（6+18）米．
答：教学楼AC的高度为（6+18）米．
21．（7分）某工厂每天生产A，B两种款式的布制环保购物袋共5000个，已知A种购物袋成本为2元/个，售价为2.4元/个；B种购物袋成本为2.8元/个，售价为3.4元/个．设该工厂每天生产A种购物袋x个，每天共需成本y元，共获利w元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求w与x之间的函数表达式；
（3）如果该工厂每天最多投入成本12000元，那么每天最多获利多少元？
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数表达式；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x的函数表达式；
（3）根据该厂每天最多投入成本12000元，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到每天最多获利多少元．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝2x+2.8×（5000﹣x）＝﹣0.8x+14000，
即y与x的函数关系式为y＝﹣0.8x+14000；
（2）由题意可得，
w＝（2.4﹣2）x+（3.4﹣2.8）×（5000﹣x）＝﹣0.2x+3000，
即w关于x的函数关系式为w＝﹣0.2x+3000；
（3）∵该厂每天最多投入成本10000元，
∴﹣0.8x+14000≤12000，
解得，x≥2500，
∵w＝﹣0.2x+3000，k＝﹣0.2，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝2500时，w取得最大值，此时w＝2500，
即每天最多获利2500元．
22．（7分）一个不透明的袋子中装有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）将袋子中的小球摇匀，然后从袋子中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为偶数的小球的概率；
（2）小明和小华用这四个小球玩摸球游戏，规则是：将袋子中的小球摇匀，小明从袋子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回袋子里，然后再将袋子中的小球摇匀，小华此时从袋子中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字都是奇数，则小明获胜；若两次摸到小球的标号数字都是偶数，则小华获胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【分析】（1）根据四个球中偶数的个数，除以总个数得到所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出标号数字同为奇数或偶数的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可．
【解答】解：（1）∵不透明的袋子中装有标号分别为2，3，4，5的四个小球，摸到标号数字为偶数的小球有2种，
∴摸到标号数字为偶数的小球的概率是＝；
（2）列表如下：
2
3
4
5
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
所有等可能的情况数有16种，其中小明、小华获胜的结果各有4种，
则小明获胜的概率是＝，
小华获胜的概率是＝，
∵＝，
∴这个游戏规则对双方是公平的．
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠B＝∠BAC，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P．
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）若AC＝8，求AP的长．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再计算出∠BAC＝60°，然后根据等边三角形的判定方法得到结论；
（2）先利用等边三角形的性质得到∠AOC＝60°，OA＝AC＝8，再根据切线的性质得到∠OAP＝90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到PA的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠BAC，
∴∠BAC+∠BAC＝90°，解得∠BAC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形；
（2）解：∵△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OA＝AC＝8，
∵PA为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴PA＝OA＝8．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点A的坐标为（﹣4，0），AO＝4BO．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A（﹣4，0），AO＝4BO求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入函数表达式列方程组，求待定系数b、c的值；
（2）存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形，且顶点P到x轴的距离等于点C到x轴的距离，由此列方程求出点P的纵坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），且AO＝4BO，
∴OB＝OA＝1，
∴B（1，0）．
把A（﹣4，0）、B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+x﹣3；
（2）存在．
由抛物线y＝x2+x﹣3与y轴交于点C，得C（0，﹣3）；
∵以A，C，E，P为顶点的平行四边形以AC为一边，
∴点P到x轴的距离与点C到x轴的距离相等.
如图1，点P在x轴的下方，
则x2+x﹣3＝﹣3，
解得x1＝﹣3，x2＝0（不符合题意，舍去），
∴点P的坐标为（﹣3，﹣3），
如图2，点P在x轴的上方，
则x2+x﹣3＝3，
解得x1＝，x2＝．
∴点P的坐标为（，3）或（，0）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（，3）或（，0）．
25．（12分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 60° ；
②线段AD、BE之间的数量关系为 AD＝BE ．
（2）拓展研究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
【分析】问题发现：
（1）①由等边三角形的性质可得AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠CEB＝120°
即可求∠AEB的度数；
（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE；
拓展研究：
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM＝DM＝ME，可得AE＝2CH+BE；
解决问题：
（3）由题意可得点P在以D为圆心，2为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
【解答】解：问题发现
（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED
∵点A、D、E在同一条直线上，
∴∠ADC＝120°
∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB
∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，DC＝CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠ADC＝∠CEB＝120°
∴∠ABE＝∠CEB﹣∠CED＝60°
②∵△ACD≌△BCE
∴AD＝BE
故答案为：60°，AD＝BE
（2）拓展研究：
猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
解决问题：
（3）∵点P满足PD＝2，
∴点P在以D为圆心，2为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，
若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝2＝BC，∠BCD＝90°
∴BD＝4，
∵∠BPD＝90°
∴BP＝＝2
∵∠BPD＝90°＝∠BAD
∴点A，点B，点D，点P四点共圆
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP
∴∠HAP＝∠APH＝45°
∴AH＝HP
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴8＝AH2+（2﹣AH）2，
∴AH＝+1（不合题意），或AH＝﹣1
若点P在CD的右侧，
同理可得AH＝+1
综上所述：点A到BP的距离为：+1或﹣1
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