高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算教学设计及反思，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算.
【教学重难点】
向量的运算律.
【教学过程】
一、问题导入
在之前的学习中我们已经认识了向量的加法、减法以及数乘运算，那么，向量能否像数字一样进行加、减、乘的混合运算呢？
二、新知初探
1．向量的线性运算
【例】（1）若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
（2）化简下列各式：
①3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,3)b))；②eq \f(1,2)[(3a＋2b)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))]－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．
【解】（1）由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a．故填4b－3a．
（2）①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．
②原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0.
③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．
【教师小结】向量线性运算的方法：
（1）向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
2．利用已知向量表示相关向量
【例】（1）如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,2)a－b B．eq \f(1,2)a＋b
C．a＋eq \f(1,2)b D．a－eq \f(1,2)b
（2）如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，试用a，b分别表示eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→)).
【解】（1）选D．eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝a－eq \f(1,2)b．
（2）由三角形中位线定理，知DE＝eq \f(1,2)BC，故eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，即eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a．
eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝－eq \f(1,2)a＋b．
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)a－b＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a－b．
【教师小结】用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
3．利用向量判断三点共线
【例】已知非零向量e1、e2 不共线．如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线．
【证明】因为eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．
【教师小结】利用向量判断三点共线的方法：
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))(或eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))等)即可．
三、课堂总结
向量的线性运算：
（1）向量的加法与数乘向量的混合运算
一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a．
一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb．
（2）向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．
四、课堂检测
1．下列命题中正确的个数是( )
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；②eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；③0·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选A．由两相反向量的和为零向量知①正确；
由向量的减法运算法则知，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，②错；
由数乘向量的意义知0·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，③错；
即正确的个数是1，故选A．
2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
解析：选A．法一：如图所示，eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A．
法二：eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A．
3．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝e1－eq \f(1,10)e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．
其中，向量a，b一定共线的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：选A．对于①，b＝－a，有a∥b；
对于②，b＝－2a，有a∥b；
对于③，a＝4b，有a∥b；
对于④，a与b不共线．
4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b．
解析：由题意知a＝－eq \f(5,7)b．
答案：－eq \f(5,7)