高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像课堂教学ppt课件

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像课堂教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了指数型函数的单调性，反思感悟，指数函数的实际应用，指数函数的综合运用，随堂演练，课时对点练，a≥6等内容，欢迎下载使用。

1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.
2.掌握指数函数在现实生活中的应用.
3.掌握指数函数的综合性问题.
在上节课指数函数的图像与性质的应用的基础上，我们进一步探讨有关指数函数的综合性问题.
　　(1)求函数y＝　　　　的单调区间；
y＝ 的定义域为R.在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，
所以y＝ 在(－∞，3]上是增函数.
在(3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，
所以y＝ 的单调递增区间是(－∞，3]，单调递减区间是(3，＋∞).
所以y＝ 在(3，＋∞)上是减函数．
又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增.
同理可得单调递减区间是(－∞，－2).
所以当－2≤x1复合函数单调性问题归根结底是由x1　　　求下列函数的单调区间.(1)y＝ (a>0且a≠1)；
易知y＝ (a>0且a≠1)的定义域为R，设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数.当a>1时，y关于u为增函数；当01时，原函数的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]；当0所以原函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
　　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与经过x(年)后的函数关系式；
1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3；…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人).
(1)解决指数函数应用题的流程①审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息.②建模：据已知条件，列出指数函数的关系式.③解模：运用数学知识解决问题.④回归：还原为实际问题，归纳得出结论.
(2)在实际问题中，经常会遇到指数函数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.(3)注意指数函数实际应用中多采用估算比较大小，要注重培养估算的能力.
　　　(1)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%，则该生物生存的年代距今约A.1.7万年 B.2.3万年C.2.9万年 D.3.5万年
∴该生物生存的年代距今约5 730×5＝28 650≈2.9(万年).
(2)已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为 万件.
∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，
∴y＝－2×0.5x＋2.当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件).
　　设函数f(x)＝ .(1)证明：函数f(x)是奇函数；
函数f(x)的定义域为R，关于原点对称.
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两个实数，且x1＝ .
因为x1因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数，
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域.
解决指数函数的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
　　　已知定义在R上的奇函数f(x)＝ .(1)求a，b的值；
因为f(x)是R上的奇函数，
(2)判断并证明f(x)在R上的单调性；
f(x)在R上是增函数，证明如下：
设x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝
＝ .
因为y＝2x是R上的增函数，且x1所以 <0.又因为 >0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3)求该函数的值域.
所以函数f(x)的值域为(－1,1).
1.知识清单： (1)指数型函数的单调性. (2)指数函数在现实生活中的应用. (3)指数函数的综合应用.2.方法归纳：转化与化归、换元法.3.常见误区：用换元法求解指数型复合函数的值域时，易忽视中间变量的范围 致误.
1.函数f(x)＝ 的单调递增区间为A.(－∞，0] B.[0，＋∞)C.(－1，＋∞) D.(－∞，－1)
因为f(x)＝ ，0< <1，所以f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0].
2.设函数f(x)＝a－|x|(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则A.f(－2)>f(－1) B.f(－1)>f(－2)C.f(1)>f(2) D.f(－2)>f(2)
3.已知函数f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上A.是增函数B.是减函数C.当x>2时是增函数，当x<2时是减函数D.当x>2时是减函数，当x<2时是增函数
令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x>2时，f(x)>1，所以当t<0时，at>1.所以04.若函数f(x)＝ ，则该函数在(－∞，＋∞)上A.单调递减且无最小值 B.单调递减且有最小值C.单调递增且无最大值 D.单调递增且有最大值
5.某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为A.640 　　　　　B.1 280 　　　　　C.2 560 　　　　　D.5 120
设原来的细菌数为a.由题意可得，在函数y＝10ekt中，当t＝1时，y＝2a.∴2a＝10ek，即ek＝ .当a＝10时，ek＝2，y＝10ekt＝10·2t，若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×27＝1 280.
1.函数y＝ 的单调递增区间是A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[1,2] D.[1,3]
令u＝－3＋4x－x2，y＝3u为增函数，所以y＝ 的单调递增区间就是u＝－3＋4x－x2＝－(x－2)2＋1的单调递增区间(－∞，2].
2.函数y＝ 的单调递减区间是A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0)C.(0，＋∞) D.(－∞，0)和(0，＋∞)
设u＝ ，则y＝3u，对任意的0u2.又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝ 在(0，＋∞)上是减函数.对任意的x1u2，又因为y＝3u在R上是增函数，
所以y1>y2，所以y＝ 在(－∞，0)上是减函数.
所以函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞).
3.(多选)关于函数f(x)＝ ，下列说法正确的是A.偶函数B.奇函数C.在(0，＋∞)上是增函数D.在(0，＋∞)上是减函数
f(x)的定义域为R，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，
4.已知f(x)＝3x－t(2≤x≤4，t为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域为A.[9,81] 　　　　　B.[3,9] 　　　　　C.[1,9] 　　　　　D.[1，＋∞)
因为f(x)的图像经过点(2,1)，所以32－t＝1，得t＝2.因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9.所以f(x)的值域为[1,9].
x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤2，
6.函数y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的最小值为 ，最大值为 .
原函数可化为y＝22x－2·2x＋3.令t＝2x，x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2].∴y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2.∴当t＝1时，ymin＝2；当t＝2时，ymax＝3.
7.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶后，荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了 天.
假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x(天)的函数关系为y＝2x－1(x∈N＋)，因为荷叶20天可以完全长满池塘水面，故当荷叶刚好覆盖水面面积一半时， ×220－1＝2x－1，解得x＝19，所以生长19天时，荷叶覆盖水面面积一半.
8.偶函数f(x)＝ (a∈R)的值域为 .
当且仅当x＝0时等号成立，又f(x)>0，
9.判断f(x)＝ 的单调性，并求其值域.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴y＝ 在(－∞，1]上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴原函数的值域为(0,3].
10.已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1].(1)求3a的值及函数g(x)的解析式；
f(a＋2)＝3a＋2＝32·3a＝18，所以3a＝2，所以g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x.
(2)试判断函数g(x)的单调性；
g(x)＝2x－4x＝－(2x)2＋2x，
又t＝2x为增函数，所以g(x)在[－1,1]上单调递减.
(3)若方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围.
A.xyC.x<－y D.x>－y
12.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有
∵y＝f(x＋1)是偶函数，故函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，
又∵当x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，
y＝ 在(－∞，3)上单调递增，即二次函数f(x)＝－x2＋ax－1在(－∞，3)上单调递增，
13.若函数y＝ 在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是 .
14.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1).若g(2)＝a，则f(2)＝ .
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝ .
15.已知函数f(x)＝ 的定义域为R，g(x)＝x(f(x)＋a)，若g(x)为偶函数，则实数a的值为 .
由题设，g(－x)＝g(x)，即－x[f(－x)＋a]＝x[f(x)＋a]，
整理得2x(a＋1)＝0恒成立，则a＝－1.
16.对于函数f(x)＝a－ (x∈R).(1)判断并证明函数的单调性；
函数f(x)在R上是增函数.证明如下：函数f(x)的定义域为R.任取x1，x2∈R，且x1有f(x1)－f(x2)＝
＝ .
因为y＝2x是R上的增函数，x1又 ＋1>0, ＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)是否存在实数a，使函数f(x)为奇函数？证明你的结论.
因为x∈R，f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即a＝1.所以存在实数a＝1，使函数f(x)为奇函数.
又f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数.