高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和教案

等比数列的前项和

【课时安排】

1课时

【教学目标】

1．知识与技能目标：

1） 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础

上能初步应用公式解决与之有关的问题。

2）通过对公式的推导，对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。

2过程与方法目标：

通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3．情感与态度目标：

通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

【教学重难点】

教学重点：等比数列项前和公式的推导与简单应用。

教学难点：等比数列项和公式的推导。

【教学方法】

启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课：

1．复习旧知，铺垫新知：

（1）等比数列定义及通项公式；

（2）等比数列的项之间有何特点？

说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以，从而为“错位相减法”求等比数列前和埋下伏笔。

2．问题情境，引出课题：

从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1元钱，第二天还2元钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下，帮穷人出个主意。

注：师生合作分别给出两个和式：

①学生会求，对②学生知道是等比数列项前和的问题但却感到不会解！

问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）

问2：怎么办？（用追问的方式引出课题）

二、师生互动，新课探究：

如何求和：

注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，师做必要启发：

等式右边各项有什么特点？（等比数列30项和）

公比是多少？（2）

即：从第二项起每一项比前一项多乘以2．

（3）因此，如果两边……（教师语速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等式两边同乘以公比2）

从而有：

师：如何求？（此处给学生充分的观察思考的时间，师不忙给出结论，让他们自己得出求解的方法：作差）

注：①学生解出，并与比较（到底能不能向富人借钱）。这种求和的方法叫错位相减法。

②此处先不忙介绍“错位相减法”的要点，只让学生有个大致印象，后面还有应用，体现从特殊到一般、学生自主探究教材的新教材理念。

          如何求等比数列的前项和：

注：①学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少学生会想到“错位相减法”，教师可放手让学生探究，并请学生上台板演。

②将两边同时乘以公比后会得到

   ，两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前项和的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后师用多媒体予以突出强调，加深印象！

③两等式作差得到时，肯定会有学生直接得到，师不忙揭露错误，等一会用练习反馈这个易错知识点，从而掌握公式的本质！

               练习1）． 用等比数列求和公式求和：

注：此组练习目的：

①    熟悉等比数列求和公式的直接应用。

②   

从而得到：等比数列前项和公式应为：

③ 通过纠错的方式给出公式比平铺直叙方式得出公式的效果要好得多，学生通过：自己推导出公式（不完整）──公式应用──得出矛盾──完整公式的过程，很好地解决了本节课重、难点。

练习2．求和：

1）

注：①练习1）中数列的项数的确定是很容易失误的地方，学生误解为是19项。从而强调求和公式中的“”指的是项数。另外，还要指出等比数列求和公式中的公比的指数是“”，而等比数列通项公式的公比的指数是“”。

②练习2）的目的在于引出等比数列求和的第二个公式形式：，根据所给条件选择哪个求和公式进行求解。很多学生会根据条件先求出，再带到求和公式中去求，而直接用的另一个公式去求，可使计算过程简化，从而自然引出这个知识点。

③    求和公式中共有五个量：，可用方程（组）思想：知三求二。

     注：在不知道公比是否为1的情况下，利用等比数列求和公式求和时一定要对公比要进行分类讨论，这是学生容易忽视的问题。

对于问题：                   

              还可以这样考虑：

问：从这种证法中，大家受何启发？你能用这种方法证明等比数列的前项和公式吗？

注：此处给时间给学生思考、证明（并投影强调步骤）。                                                                                           

三、课堂小结

注：通过教师的提问和幻灯片的顺序播放，进一步巩固本节课的内容，并把整节课的内容形成一个整体。

【作业布置】

课后探索：等比数列前项和的其它证明方法。

【板书设计】