人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和测试题

专题十  分组求和法求数列的前n项和

基本知识点

分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．例如：an＝bn＋cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转化法求{an}前n项和。

例题分析

一、分组转化求和

例1  已知数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n，….

(1)求其通项公式an；

(2)求这个数列的前n项和Sn.

解析　(1)an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1.

∴这个数列的通项公式为an＝2n－1.

(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)

＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n

＝－n＝2n＋1－n－2.

答案  (1) 2n－1      (2) 2n＋1－n－2

归纳总结：分组转化求和法：如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．

(对应训练一)各项均为正数的等比数列{an}，a1＝1，a2a4＝16，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N＋)．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

解析　(1)设公比为q，∵a1＝1，a2a4＝16，

∴q4＝16，∵q＞0，∴q＝2.∴an＝2n－1.

∵Sn＝，

∴当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝3n－1.

当n＝1时，b1＝S1＝2满足上式，∴bn＝3n－1.

(2)cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(2＋5＋…＋3n－1)

＝＋＝2n－1＋.

答案  (1) an＝2n－1   bn＝3n－1   (2) 2n－1＋

 (对应训练一)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.

解析　(1)设等差数列{an}的公差是d.

∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3，

∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，

∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.

(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，

∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，

∴bn＝3n－2＋qn－1，

∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)

＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)，

故当q＝1时，Sn＝＋n＝；

当q≠1时，Sn＝＋.

答案  (1) －3n＋2      (2) 故当q＝1时，Sn＝＋n＝；当q≠1时，Sn＝＋.

二、分组转化求和在函数中的应用

例2  数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为________．

解析  ∵an＝n2＝n2cos ，

∴S30＝12·cos ＋22·cos ＋32·cos 2π＋…＋302·cos 20π

＝－×12－×22＋32－×42－×52＋62＋…－×282－×292＋302

＝－[(12＋22－2×32)＋(42＋52－2×62)＋…＋(282＋292－2×302)]

＝－[(12－32)＋(42－62)＋…＋(282－302)＋(22－32)＋(52－62)＋…＋(292－302)]

＝－[－2(4＋10＋16＋…＋58)－(5＋11＋17＋…＋59)]

＝－＝470.

答案  470

三、奇偶数列分组转化求和

例3  等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)若cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.

解析  (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.

∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，

∴

∴d＝2，q＝2.

∴an＝2n＋1，bn＝2n－1.

(2)由(1)知，Sn＝＝n(n＋2)，

∴cn＝

∴T2n＝＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)＝＋.

答案  (1) an＝2n＋1，bn＝2n－1   (2) ＋

(对应训练)已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝n(n－6)，数列{bn}满足b2＝3，bn＋1＝3bn(n∈N*)

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)记数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前n项和Tn.

解析  (1)当n＝1时，a1＝S1＝－5，

当n ≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7，

∵n＝1也适合上式，∴an＝2n－7.

∵bn＋1＝3bn(n∈N*)，且b2≠0，∴＝3，

∴{bn}为等比数列，∴bn＝3n－1，

(2)由(1)得，cn＝

当n为偶数时，

Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＝＋.

当n为奇数时，

Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋

＝＋.

综上所述：Tn＝

答案  (1) an＝2n－7，bn＝3n－1   (2) Tn＝

专题训练

1．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 016等于       (　　)

A．1 008          B．－1 008        C．2 016          D．－2 016

解析　S2 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008.

答案  A

2．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为(　　)

A．2100－101       B．299－101      C．2100－99        D．299－99

解析　由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.

答案  A

3．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2 016项的和等于        ．

解析  因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，

即得an＝

故数列的前2 016项的和等于S2 016＝1 008×＝1 512.

答案  1 512

4．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

解析  ∵an＋1－an＝2n，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.

∴Sn＝＝2n＋1－2.

答案  2n＋1－2

5．求和：Sn＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.

解析  被求和式的第k项为：ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.

所以Sn＝2＝2

＝2＝2＝2n＋－2.

答案  2n＋－2

6．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.

解析　(1)因为2Sn＝3n＋3，

所以2a1＝3＋3，故a1＝3，

当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，

此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，

所以an＝.

(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，

当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝；

当n≥2时，

Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，

所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]．

两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n

＝＋－(n－1)×31－n＝－.

∴Tn＝－.

答案  (1) an＝   (2) －

7．已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为的等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

解析　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝1＋＋＋…＋＝.

(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝＋＋…＋

＝n－＝(2n－1)＋.

答案  (1)    (2) (2n－1)＋