高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例第1课时巩固练习

第1课时　解三角形的实际应用举例

1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝     30°，则其跨度AB的长为

A.12 m　　　  B.8 m　　　  C.3 m　　　  D.4 m

解析　由题意知，∠A＝∠B＝30°，

所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，

由正弦定理得，＝，

即AB＝＝＝4.

答案　D

2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于

A.50米          B.100米

C.50米          D.100米

解析　因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，

所以△ADC为等腰三角形.

所以AC＝DC＝100米，

在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50米.

答案　A

3.在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.

解析　过点A作AH⊥BC于点H，

由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，

则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m.

故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m.

答案　200(＋1)

4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)

解析　根据已知的图形可得AB＝.

在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，

由正弦定理，得＝，

所以BC≈2××0.60＝60(m).

答案　60

[限时45分钟；满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的

A.北偏东10°　　　　　　    B.北偏西10°

C.南偏东10°         D.南偏西10°

解析　如图，由题意，

知AC＝BC，∠ACB＝80°，

所以∠CBA＝50°，α＋∠CBA＝60°.

所以α＝10°，

即A在B的北偏西10°.故选B.

答案　B

2.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为

A.(30＋30)m       B.(30＋15)m

C.(15＋30)m       D.(15＋15)m

解析　由正弦定理可得＝，

PB＝＝.

h＝PB·sin 45°＝·sin 45°＝(30＋30)(m).故选A.

答案　A

3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为

A.a km          B.a km

C.a km          D.2a km

解析　由题意得∠ACB＝120°，

AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，

所以AB＝a.故选B.

答案　B

4.设在南沙群岛相距10 n mile的A，B两小岛上的两个观测站，同时发现一外国船只C非法进入我领海.若在A望C和B成60°的视角，在B望C和A成75°的视角，则船只C距离最近观测站

A.5 n mile          B.5 n mile

C.5 n mile         D.5 n mile

解析　结合题意作图如图，

由B＞A得BC＜AC，

故船只C距离观测站B近.

因为在△ABC中，

因为＝，

所以BC＝

＝＝5(n mile).故选C.

答案　C

5.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为

A.30 m          B. m

C.15 m          D.45 m

解析　在△ABC中，AC＝15 m，

AB＝5 m，BC＝10 m，

由余弦定理得

cos∠ACB＝＝＝－，

∴sin∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，

∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.

在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD

＝15×＝(m).

答案　B

6.(能力提升)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为

A.0.5小时         B.1小时

C.1.5小时         D.2小时

解析　设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，

在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，

即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，

化简得x2－40x＋700＝0，

|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，

|x1－x2|＝20，

即图中的CD＝20(千米)，故t＝＝＝1(小时).

答案　B

二、填空题(每小题5分，共15分)

7.一艘海轮从A处出发，以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是________海里.

解析　如图所示，A＝30°，B＝105°，C＝45°，AB＝10，由正弦定理可得BC＝＝5.

答案　5

8.在山底测得山顶的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶的仰角∠DSB＝75°，则山高BC＝________.

解析　如图，∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝45°－15°＝30°，

所以∠ASB＝180°－15°－30°＝135°.

在△ABS中，由正弦定理得

AB＝＝1 000×＝1 000，

所以BC＝ABsin 45°＝1 000×＝1 000(m).

答案　1 000 m

9.(能力提升)海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站10海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过______分钟，海盗船到达商船.

解析　如图，设观测站、商船分别位于A、B处，开始时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处.

在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得

cos∠ADC＝＝＝.

则∠ADC＝60°.

在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，

所以BD＝AD＝20，×60＝(分钟).

答案　

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10.(11分)海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12海里处；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里处；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：

(1)A处与D处的距离；

(2)灯塔C与D处之间的距离.

解析　由题意，画出示意图，如右图所示.

(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，则B＝45°.

由正弦定理，得AD＝＝24(海里).

(2)在△ADC中，由余弦定理，得

CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，得CD＝8(海里).

答：A处与D处的距离为24海里，灯塔C与D处的距离为8海里.

11.(12分)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求证：山高h＝.

证明　在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，

∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP

＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.

在△ABP中，根据正弦定理，

＝，

即＝，

AP＝，

所以山高h＝APsin α＝.

12.(12分)(能力提升)在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B、C、D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示.某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B、C、D三市的距离.

解析　在△ABC中，

由题意AB－AC＝1.5×8＝12(km).

在△ACD中，由题意AD－AC＝1.5×20＝30(km).

设AC＝x km，

则AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.

在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝.

在△ACD中，cos∠ACD＝＝＝.

∵B，C，D在一条直线上，∴＝－，

即＝.

解得x＝，∴AB＝ km，AD＝ km，

即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.