高中数学1.2 应用举例教学设计

1.2.2　解决有关测量高度的问题

从容说课

本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰角；在例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直角三角形的问题．

本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题．

教学重点 1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；

2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．

教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；

教具准备 直尺和投影仪

三维目标

一、知识与技能

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.

二、过程与方法

本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.

三、情感态度与价值观

进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.

教学过程

导入新课

师 设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.

推进新课

【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．

 [合作探究]

师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？

生 要求建筑物AB的高，我只要能把AE的长求出来，然后再加上测角仪的高度EB的长就行了.

师 对了，求AB长的关键是先求AE，那谁能说出如何求AE？

生 由解直角三角形的知识，在△ADC中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长．

师 那现在的问题就转化成如何去求CA的长，谁能说说？

生 应该设法借助解三角形的知识测出CA的长．

生 为了求CA的长，应该把CA放到△DCA中，由于基线DC可以测量，且β也可以测量，这样在△DCA中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA的长．

解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α、β，CD = A，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得,AB=AE+h=acsinα+h=+h.

师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？

生 要测量某一高度AB，只要在地面某一条直线上取两点D、C，量出CD=A的长并在C、D两点测出AB的仰角α、β，则高度，其中h为测角器的高．

【例2】如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m).

[合作探究]

师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在△ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？

生 需求出BD边．

师 那如何求BD边呢？

生 可首先求出AB边，再根据∠BAD=α求得．

解：在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α.

根据正弦定理,

=，所以.

在Rt△ABD中,得BD =ABsin∠BAD=.

将测量数据代入上式,得≈177(m),

CD =BD -BC≈177-27.3=150(m).

答:山的高度约为150米.

师 有没有别的解法呢？

生 要在△ACD中求CD，可先求出AC．

师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？

生 同理，在△ABC中，根据正弦定理求得．（解题过程略）

【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.

 [合作探究]

师 欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？

生 在△BCD中.

师 在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？

生BC边.

解：在△ABC中, ∠A=15°,∠C=25°-15°=10°,根据正弦定理,

,≈ 7.452 4(km),

CD=BC×tan∠DBC=BC×tan8°≈1 047(m).

答:山的高度约为1 047米.

课堂练习

用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD间的距离为A,测角仪的高度为B,求气球的高度.

分析:在Rt△EGA中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC中有较多已知条件,故可在△EAC中考虑EA边长的求解,而在△EAC中有角β,

∠EAC=180°-α两角与AC=BD=A一边,故可以利用正弦定理求解EA.

解：在△ACE中,AC=BD=A,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根据正弦定理,得

.在Rt△AEG中，EG=AEsinα=.

∴EF=EG+b=.

答:气球的高度是.

评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt△EGA中,利用cotα表示AG,而Rt△EGC中,利用cotβ表示CG,而CG-AG=CA=BD=A,故可以求出EG,又GF=CD=B,故EF高度可求.

课堂小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化．

布置作业

课本第17页练习第1、3题.

板书设计