高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.2 等差数列第一课时教学设计

2.3等差数列的前n项和（一）

一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

三、教学过程

（一）、复习引入：

1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）

2．等差数列的通项公式：

（1）     （2）   （3） =pn+q (p、q是常数)

3．几种计算公差d的方法：① －  ②     ③

4．等差中项：成等差数列

5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )

6．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为.

“小故事”1、2、3

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:     1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1+2+3+…+100=5050．”

教师问：“你是如何算出答案的？”

高斯回答说：“因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以   101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．

   二、讲解新课：  

 1．等差数列的前项和公式1：

证明：     ①

          ②

①+②：

      ∵

      ∴  由此得：．

   2． 等差数列的前项和公式2： ．

   用上述公式要求必须具备三个条件：．

    但  代入公式1即得：

    此公式要求必须已知三个条件：

总之：两个公式都表明要求必须已知中三个．

公式二又可化成式子：  ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．

三、例题讲解

例1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d ;

(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？

解：(1)         

(2)设题中的等差数列为，前n项为  则

由公式可得 .   解之得：（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54．

例2、教材P43面的例1

解：

例3．求集合的元素个数，并求这些元素的和．   

 解：由得

         ∴正整数共有14个即中共有14个元素

        即：7，14，21，…，98 是等差数列．

         ∴     答：略．

例4、等差数列的前项和为，若，求.

（学生练学生板书教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列中，已知，求.　

⑵在等差数列中，已知，求.

例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.

解：依题意，得

    两式相加得

    又所以

     又，所以n=26．

例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数

列的前n项的和吗？.

思考：（1）等差数列中，成等差数列吗？

（2）等差数列前m项和为,则、.、是等差数列吗？

练习：教材第118页练习第1、3题．

三、课堂小结：

1.等差数列的前n项和公式1： ；

2.等差数列的前n项和公式2：．

四、课外作业：

1.阅读教材第42～44页；