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    数学必修32.1.3分层抽样同步达标检测题

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    这是一份数学必修32.1.3分层抽样同步达标检测题,共10页。试卷主要包含了5%=91等内容,欢迎下载使用。

    分 层 抽 样

                     (20分钟 35分)

    1.下列问题中,最适合用分层抽样方法抽样的是 (  )

    A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是1~40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈

    B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查

    C.某乡农田有山地8 000亩,丘陵12 000亩,平地24 000亩,洼地4 000亩,现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量

    D.从50个零件中抽取5个做质量检验

    【解析】C.A的总体容量较大,宜采用系统抽样方法;B的总体容量较小,用简单随机抽样法比较方便;C总体容量较大,且各类田地的产量差别很大,宜采用分层抽样方法;DB类似.

    2.共享单车为人们提供了一种新的出行方式,有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计,得到的数据如表所示:

    年龄

    12~20岁

    20~30岁

    30~40岁

    40岁及以上

    比例

    14%

    45.5%

    34.5%

    6%

    为调查共享单车使用满意率情况,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取20~30岁的人数为 (  )

    A.12   B.28   C.69   D.91

    【解析】D.由分层抽样的定义得应抽取2030岁的人数为200×45.5%=91.

    3.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,问各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数约为 (  )

    A.102   B.112   C.130   D.136

    【解析】B.因为北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,故需从西乡征集的人数是378×≈112.

    4.一支田径队有男、女运动员98人,其中男运动员有56人.按男、女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员的人数是______. 

    【解析】抽取女运动员的人数为×28=12.

    答案:12

    5.(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是______. 

    【解析】根据题干中有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,可知最合适的抽样方法是分层抽样.

    答案:分层抽样

    【补偿训练】

     为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本,其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3 000人,则该校学生总人数是______. 

    【解析】由题意,其他年级抽取500-200-100=200人,设该校学生总人数为x,则由分层抽样可得=,解得x=7 500.

    答案:7 500

    6.某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如下表:

     

    第一车间

    第二车间

    第三车间

    女工

    173

    100

    y

    男工

    177

    x

    z

    已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0.15.

    (1)求x的值.

    (2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,问应在第三车间抽取多少名?

    【解析(1)由=0.15,得x=150.

    (2)因为第一车间的工人数是173+177=350,第二车间的工人数是100+150=250,

    所以第三车间的工人数是1 000-350-250=400.

    设应从第三车间抽取m名工人,则由=,得m=20.所以应在第三车间抽取20名工人.

                     (30分钟 55分)

    一、选择题(每小题5分,共20分)

    1.(2020·天津高一检测)下列问题中,最适合用简单随机抽样方法抽样的

    (  )

    A.某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况

    B.从15种疫苗中抽取5种检测是否合格

    C.某大学共有学生5 600人,其中专科生有1 300人、本科生3 000人、研究生1 300人,现抽取样本容量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况

    D.某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度,要对岁的人群进行随机抽样调查

    【解析】B.对于选项A:中、小学生有群体差异,宜采用分层抽样;

    对于选项B:样本数量较少,宜采用简单随机抽样;

    对于选项C:专科生、本科生、研究生有群体差异,宜采用分层抽样;

    对于选项D:年龄对于移动支付的了解有较大影响,宜采用分层抽样;

    2.问题:①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内,其中红色箱子内有500个,蓝色箱子内有200个,黄色箱子内有300个,现从中抽取一个容量为100的样本;②从20名学生中选出3名参加座谈会.

    方法:Ⅰ简单随机抽样;Ⅱ系统抽样;Ⅲ分层抽样.其中问题与方法能配对的

    (  )

    A.①Ⅰ,②Ⅱ   B.①Ⅲ,②Ⅰ

    C.①Ⅱ,②Ⅲ   D.①Ⅲ,②Ⅱ

    【解析】B.对于,由于箱子颜色差异较为明显,可采用分层抽样法抽取样本;对于,由于总体容量、样本容量都较小,宜采用简单随机抽样.

    3.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.

    ①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,…,99,抽签取出20个;

    ②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;

    ③采用分层抽样法,从一级品中随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个,从三级品中随机抽取10个.对于上述抽样方式,下面说法正确的是              (  )

    A.不论哪一种抽样方法,这100个零件中每一个个体被抽到的概率都是

    B.①②两种抽样方法中,这100个零件每一个个体被抽到的概率为,③并非如此

    C.①③两种抽样方法中,这100个零件中每一个个体被抽到的概率为,②并非如此

    D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每一个个体被抽到的概率是不同的

    【解析】A.虽然三种抽样方法不同,但最终每个个体被抽取的机会是均等的,这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性.

    4.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 (  )

    A.4   B.5   C.6   D.7

    【解析】C.分层抽样中,分层抽取时都按相同的抽样比来抽取,本题中抽样比为=,因此植物油类应抽取10×=2(),果蔬类食品应抽20×=4(),因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2+4=6.

    二、填空题(每小题5分,共15分)

    5.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查,已知样本容量为80,其中有50件甲型号产品,乙型号产品总数为1 800,则该批次产品总数为______. 

    【解析】样本容量为80,其中有50件甲型号产品,乙型号产品总数为1 800,可得抽样比为=,该批次产品总数为=4 800.

    答案:4 800

    【补偿训练】

     某公司生产三种型号的轿车,产量分别是1 200辆,6 000 辆和2 000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取______辆、______辆、______辆. 

    【解析】三种型号的轿车共9 200辆,抽取样本为46辆,则按=的比例抽样,所以依次应抽取1 200×=6(辆),6 000×=30(辆),2 000×=10(辆).

    答案:6 30 10

    6.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为______. 

    【解析】1112岁回收180份,其中在1112岁学生问卷中抽取60份,则抽样比为=.因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,所以从810岁,1112岁,1314岁,1516岁四个年龄段回收的问卷总数为=900,则1516岁回收问卷份数为x=900-120-180-240=360.所以在1516岁学生中抽取的问卷份数为120.

    答案:120

    7.某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如表:

     

    高一年级

    高二年级

    高三年级

    泥塑

    a

    b

    c

    剪纸

    x

    y

    z

    其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽取______人. 

    【解析方法一:因为泥塑社团的人数占两个社团总人数的,故剪纸社团的人数占两个社团总人数的,所以剪纸社团的人数为800×=320.

    因为剪纸社团中高二年级人数比例为

    ==

    所以剪纸社团中高二年级人数为320×=96.

    由题意知,抽样比为=,所以从剪纸社团中高二年级抽取的人数为96×=6.

    方法二:因为泥塑社团的人数占两个社团总人数的,故剪纸社团的人数占两个社团总人数的

    所以抽取的50人的样本中,剪纸社团中的人数为50×=20.又剪纸社团中高二年级人数比例为==,所以从剪纸社团中高二年级抽取的人数为20×=6.

    答案:6

    三、解答题(每小题10分,共20分)

    8.某单位有技师18人、技术员12人、工程师6人.需要从这些人中抽取一个容量为n(n∈N*)的样本,如果采用系统抽样的方法抽取,不用剔除个体;如果采用分层抽样的方法抽取,各层抽取结果都是整数;如果样本容量增加1,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求样本容量n的值.

    【解析】依题意,知总体容量为6+12+18=36.

    当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为,分层抽样的抽样比是,分层抽样时,抽取工程师的人数为×6=,技术员的人数为×12=,技师的人数为×18=,所以n应是36的约数且是6的倍数,即n的可能取值是6,12,18.

    当样本容量为n+1时,系统抽样的间隔为.

    因为必须为正整数,

    所以n只能取6,即样本容量n=6.

    【补偿训练】

       一个单位有职工160人,其中业务员120人,管理人员16人,后勤服务人员24人.为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为20的样本,用分层抽样的方法写出抽取样本的过程.

    【解析】因为样本容量与职工总人数的比为20160=18,所以业务员、管理人员、后勤服务人员抽取的人数分别为=15,=2,=3.

    即分别抽取15人,2人和3人.

    抽样步骤:

    确定抽样比为

    按比例分配各个层所要抽取的个体数,每一层抽取时,可以采用简单随机抽样或系统抽样;

    再将各层抽取的个体合在一起,就是要抽取的样本

    9.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查,如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.

    (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论?

    (2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应如何操作?

    (3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本,如何使用系统抽样抽取到所需的样本?

    【解析(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.

    因为样本容量为120,总体个数为500+3 000+4 000=7 500,则抽样比为=

    所以有500×=8,3 000×=48,4 000×=64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.

    分层抽样的步骤是

    分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层;

    确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64;

    各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本;

    综合每层抽样,组成样本.

    这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论.

    (2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法.如果用抽签法,要制作3 000个号签,费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是

    编号:将3 000份答卷都编上号码:0001,0002,0003,,3000;

    在随机数表上随机选取一个起始位置;

    规定读数方向:向右连续取数字,以4个数为一组,如果读取的4位数大于

    3 000,则去掉,如果遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满48个号码为止.

    (3)由于4 000÷64=62.5不是整数,则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体,再将剩余的3 968个个体进行编号:1,2,,3968,然后将整体分为64个部分,其中每个部分中含有62个个体,如第1部分个体的编号为1,2,,62.从中随机抽取一个号码,若抽取的是23,则从第23号开始,每隔62个抽取一个,这样得到容量为64的样本:23,85,147,209,271,333,395,457,,3 929.

    1.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3,则 (  )

    A.p1=p2<p3    B.p2=p3<p1

    C.p1=p3<p2    D.p1=p2=p3

    【解析】D.根据抽样方法的概念可知,简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法,每个个体被抽到的概率都是,故p1=p2=p3.

    2.为了对某课题进行讨论研究,用分层抽样的方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见表(单位:人).

    高校

    相关人数

    抽取人数

    A

    x

    1

    B

    36

    y

    C

    54

    3

    (1)求x,y;

    (2)若从高校B相关的人中选2人进行专题发言,应采用什么抽样方法,请写出合理的抽样过程.

    【解析】(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的,所以有:=x=18=y=2,故x=18y=2.

    (2)总体容量和样本容量较小,所以应采用抽签法,过程如下:

    第一步:将36人随机编号,号码为12336

    第二步:将号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签;

    第三步:将号签放入一个不透明的容器中,充分搅匀,依次抽取2个号码,并记录上面的编号;

    第四步:把与号码相对应的人抽出,即可得到所要的样本.

    【补偿训练】

     某单位有2 000名职工,老年、中年、青年分布在管理、研发、营销、生产各部门中,如表所示:

    职工

    管理

    研发

    营销

    生产

    小计

    老年

    40

    40

    40

    80

    200

    中年

    80

    120

    160

    240

    600

    青年

    40

    160

    280

    720

    1 200

    小计

    160

    320

    480

    1 040

    2 000

    (1)若要抽取40人调查身体情况,则应该怎样抽样?

    (2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?

    (3)若要抽20人调查员工对2020年颁发的《民法典》的了解,则应怎样抽样?

    【解析】(1)因为身体状况主要与年龄段有关,所以应按老年、中年、青年分层,采用分层抽样法进行抽样,要抽取40人,应在老年、中年、青年职工中分别随机抽取4,12,24人.

    (2)因为出席这样的座谈会的人员应该代表各个部门,所以应按部门分层,采用分层抽样的方法进行抽样,要抽取25人,应在管理、研发、营销、生产各部门的职工中分别随机抽取2,4,6,13人.

    (3)员工对2020年颁发的《民法典》的了解与年龄、部门关系不大,总体中的个体数较多,可以用系统抽样进行调查.

     

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