数学必修32.1.3分层抽样同步达标检测题

分 层 抽 样

　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　35分)

1.下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是 (　　)

A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈

B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查

C.某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量

D.从50个零件中抽取5个做质量检验

【解析】选C.A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似.

2.共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：

为调查共享单车使用满意率情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20～30岁的人数为 (　　)

A.12   B.28   C.69   D.91

【解析】选D.由分层抽样的定义得应抽取20～30岁的人数为200×45.5%=91.

3.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问各几何？”意思是：北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数约为 (　　)

A.102   B.112   C.130   D.136

【解析】选B.因为北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，故需从西乡征集的人数是378×≈112.

4.一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人.按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是______. 

【解析】抽取女运动员的人数为×28=12.

答案：12

5.(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是______. 

【解析】根据题干中有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，可知最合适的抽样方法是分层抽样.

答案：分层抽样

【补偿训练】

 为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3 000人，则该校学生总人数是______. 

【解析】由题意，其他年级抽取500-200-100=200人，设该校学生总人数为x，则由分层抽样可得=，解得x=7 500.

答案：7 500

6.某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：

已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.

(1)求x的值.

(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？

【解析】(1)由=0.15，得x=150.

(2)因为第一车间的工人数是173+177=350，第二车间的工人数是100+150=250，

所以第三车间的工人数是1 000-350-250=400.

设应从第三车间抽取m名工人，则由=，得m=20.所以应在第三车间抽取20名工人.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.(2020·天津高一检测)下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的

是 (　　)

A.某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况

B.从15种疫苗中抽取5种检测是否合格

C.某大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人、本科生3 000人、研究生1 300人，现抽取样本容量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况

D.某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对岁的人群进行随机抽样调查

【解析】选B.对于选项A：中、小学生有群体差异，宜采用分层抽样；

对于选项B：样本数量较少，宜采用简单随机抽样；

对于选项C：专科生、本科生、研究生有群体差异，宜采用分层抽样；

对于选项D：年龄对于移动支付的了解有较大影响，宜采用分层抽样；

2.问题：①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.

方法：Ⅰ简单随机抽样；Ⅱ系统抽样；Ⅲ分层抽样.其中问题与方法能配对的

是 (　　)

A.①Ⅰ，②Ⅱ   B.①Ⅲ，②Ⅰ

C.①Ⅱ，②Ⅲ   D.①Ⅲ，②Ⅱ

【解析】选B.对于①，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样法抽取样本；对于②，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样.

3.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本.

①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，…，99，抽签取出20个；

②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；

③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.对于上述抽样方式，下面说法正确的是              (　　)

A.不论哪一种抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率都是

B.①②两种抽样方法中，这100个零件每一个个体被抽到的概率为，③并非如此

C.①③两种抽样方法中，这100个零件中每一个个体被抽到的概率为，②并非如此

D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率是不同的

【解析】选A.虽然三种抽样方法不同，但最终每个个体被抽取的机会是均等的，这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性.

4.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 (　　)

A.4   B.5   C.6   D.7

【解析】选C.分层抽样中，分层抽取时都按相同的抽样比来抽取，本题中抽样比为=，因此植物油类应抽取10×=2(种)，果蔬类食品应抽20×=4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2+4=6.

二、填空题(每小题5分，共15分)

5.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1 800，则该批次产品总数为______. 

【解析】样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1 800，可得抽样比为=，该批次产品总数为=4 800.

答案：4 800

【补偿训练】

 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1 200辆，6 000 辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______辆、______辆、______辆. 

【解析】三种型号的轿车共9 200辆，抽取样本为46辆，则按=的比例抽样，所以依次应抽取1 200×=6(辆)，6 000×=30(辆)，2 000×=10(辆).

答案：6　30　10

6.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份，180份，240份，x份.因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为______. 

【解析】11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为=.因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，所以从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为=900，则15～16岁回收问卷份数为x=900-120-180-240=360.所以在15～16岁学生中抽取的问卷份数为120.

答案：120

7.某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如表：

其中x∶y∶z=5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽取______人. 

【解析】方法一：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，故“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数为800×=320.

因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为

==，

所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×=96.

由题意知，抽样比为=，所以从“剪纸”社团中高二年级抽取的人数为96×=6.

方法二：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，故“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×=20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为==，所以从“剪纸”社团中高二年级抽取的人数为20×=6.

答案：6

三、解答题(每小题10分，共20分)

8.某单位有技师18人、技术员12人、工程师6人.需要从这些人中抽取一个容量为n(n∈N*)的样本，如果采用系统抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果采用分层抽样的方法抽取，各层抽取结果都是整数；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n的值.

【解析】依题意，知总体容量为6+12+18=36.

当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的抽样比是，分层抽样时，抽取工程师的人数为×6=，技术员的人数为×12=，技师的人数为×18=，所以n应是36的约数且是6的倍数，即n的可能取值是6，12，18.

当样本容量为n+1时，系统抽样的间隔为.

因为必须为正整数，

所以n只能取6，即样本容量n=6.

【补偿训练】

　　 一个单位有职工160人，其中业务员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人.为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法写出抽取样本的过程.

【解析】因为样本容量与职工总人数的比为20∶160=1∶8，所以业务员、管理人员、后勤服务人员抽取的人数分别为=15，=2，=3.

即分别抽取15人，2人和3人.

抽样步骤：

①确定抽样比为；

②按比例分配各个层所要抽取的个体数，每一层抽取时，可以采用简单随机抽样或系统抽样；

③再将各层抽取的个体合在一起，就是要抽取的样本

9.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.

(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？

(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？

(3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？

【解析】(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.

因为样本容量为120，总体个数为500+3 000+4 000=7 500，则抽样比为=，

所以有500×=8，3 000×=48，4 000×=64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.

分层抽样的步骤是

①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；

②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64；

③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本；

④综合每层抽样，组成样本.

这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论.

(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法.如果用抽签法，要制作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是

①编号：将3 000份答卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000；

②在随机数表上随机选取一个起始位置；

③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于

3 000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止.

(3)由于4 000÷64=62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1，2，…，3968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1，2，…，62.从中随机抽取一个号码，若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23，85，147，209，271，333，395，457，…，3 929.

1.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3，则 (　　)

A.p1=p2<p3    B.p2=p3<p1

C.p1=p3<p2    D.p1=p2=p3

【解析】选D.根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是，故p1=p2=p3.

2.为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表(单位：人).

(1)求x，y；

(2)若从高校B相关的人中选2人进行专题发言，应采用什么抽样方法，请写出合理的抽样过程.

【解析】(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：=，x=18，=，y=2，故x=18，y=2.

(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：

第一步：将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36；

第二步：将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；

第三步：将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；

第四步：把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本.

【补偿训练】

 某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、研发、营销、生产各部门中，如表所示：

(1)若要抽取40人调查身体情况，则应该怎样抽样？

(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？

(3)若要抽20人调查员工对2020年颁发的《民法典》的了解，则应怎样抽样？

【解析】(1)因为身体状况主要与年龄段有关，所以应按老年、中年、青年分层，采用分层抽样法进行抽样，要抽取40人，应在老年、中年、青年职工中分别随机抽取4，12，24人.

(2)因为出席这样的座谈会的人员应该代表各个部门，所以应按部门分层，采用分层抽样的方法进行抽样，要抽取25人，应在管理、研发、营销、生产各部门的职工中分别随机抽取2，4，6，13人.

(3)员工对2020年颁发的《民法典》的了解与年龄、部门关系不大，总体中的个体数较多，可以用系统抽样进行调查.