高中数学人教版新课标A必修3第一章 算法初步1.3 算法与案例同步达标检测题

算 法 案 例

　　　　　　　　　　　　　　　　(20分钟　30分)

1.用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为 (　　)

A.4　   B.5　   C.6　   D.7

【解析】选B.459-357=102，357-102=255，255-102=153，153-102=51，102-51=51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次.

2.三位四进制数中的最大数等于十进制数的是 (　　)

A.63   B.83   C.189   D.252

【解析】选A.三位四进制数中的最大数为333(4)，则333(4)=3×42+3×41+3×40=63.

【补偿训练】

　101(9)化为十进制数为 (　　)

A.9　　　B.11　　　C.82　　　D.101

【解析】选C.101(9)=1×92+0×91+1×90=82.

3.用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为 (　　)

A.6，6　 B.5，6　 C.6，5　 D.6，12

【解析】选A.改写多项式f(x)=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1，则需进行6次乘法和6次加法运算.

4.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x6+6x5+3x2+2当x=4时的值时，先算的

是 (　　)

A.4×4=16

B.7×4=28

C.4×4×4=64

D.7×4+6=34

【解析】选D.因为f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x

+a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)=7x6+6x5+3x2+2，当x=4的值时，先算的是7×4+6=34.

5.10x1(2)=y02(3)，求数字x，y的值.

【解析】因为10x1(2)=1×20+x×21+0×22+1×23

=9+2x，y02(3)=2×30+y×32=9y+2，

所以9+2x=9y+2且x∈{0，1}，y∈{0，1，2}，

所以x=1，y=1.

　　　　　　　　　　　　　　　　(30分钟　55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.下列各数，化为十进制后，最大的为 (　　)

A.101010(2)　   B.111(5)

C.32(8)　　   D.54(6)

【解析】选A.101010(2)=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20=42，111(5)=1×52+1×51+1×50=31，32(8)=3×81+2×80=26，54(6)=5×61+4×60=34.

2.计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计算符号与十进制的对应关系如下表：

例如用十六进制表示D+E=1B(16)，则(2×F+1)×4= (　　)

A.6E(16) B.7C(16) C.5F(16) D.B0(16)

【解析】选B.(2×F+1)×4用十进制可以表示为(2×15+1)×4=124，而124=16×7+12，所以用十六进制表示为7C(16).

3.一个k进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k不可能是 (　　)

A.3   B.4   C.5   D.7

【解析】选D.k进制的最小三位数为k2，六进制的最大二位数为5×6+5=35，由k2≤35得0<k≤，故k不可能是7.

【补偿训练】

　　　已知175(8)=120+r，求正整数r.

【解析】因为175(8)=1×82+7×81+5×80=125，

所以125=120+r.所以r=5，即所求正整数r为5.

4.45和150的最大公约数和最小公倍数分别是 (　　)

A.5，150    B.15，450

C.450，15   D.15，150

【解析】选B.利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150=45×3+15，45=15×3，45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)=450.

二、填空题(每小题5分，共15分)

5.用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是______. 

【解析】多项式变形为f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1

=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1，

v0=3，

v1=3×(-4)+12=0，

v2=0×(-4)+6=6，

v3=6×(-4)+10=-14，

v4=-14×(-4)-8=48，

所以v4最大，v3最小，

所以v4-v3=48+14=62.

答案：62

6.若k进制数123(k)与十进制数38相等，则k=______. 

【解析】由k进制数123(k)可知k≥4.

下面可用验证法：

若k=4，则38(10)=212(4)，不合题意；

若k=5，则38(10)=123(5)成立，所以k=5.

答案：5

【补偿训练】

　　　已知44(k)=36，把67(k)转化为十进制数.

【解析】由题意得36=4×k1+4×k0，则k=8.

故67(k)=67(8)=6×81+7×80=55.

7.古时候，当边境有敌人入侵时，守边的官兵通过在烽火台上点火向国内报告.如图，烽火台上点火表示二进制数1，不点火表示数字0，约定二进制数对应十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有_____名敌人入侵.  

【解析】由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11011，它表示的十进制数为11011(2)=27，因为对应十进制的单位是1 000，所以入侵的敌人人数为27 000.

答案：27 000

三、解答题(每小题10分，共20分)

8.利用秦九韶算法求多项式f(x)=3x6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x-13，当x=6时的值，写出详细步骤.

【解析】f(x)=(((((3x+12)x+8)x-3.5)x+7.2)x+5)x-13.

v0=3，

v1=v0×6+12=30，

v2=v1×6+8=188，

v3=v2×6-3.5=1 124.5，

v4=v3×6+7.2=6 754.2，

v5=v4×6+5=40 530.2，

v6=v5×6-13=243 168.2.

所以f(6)=243 168.2.

9.求三个数175，100，75的最大公约数.

【解析】先求175与100的最大公约数：

175=100×1+75，

100=75×1+25，

75=25×3.

则175与100的最大公约数是25.

再求25与75的最大公约数：

75-25=50，50-25=25.

故25是75和25的最大公约数，也就是175，100，75的最大公约数.

1.设2 134与1 455的最大公约数为m，则m化为三进制数为______. 

【解析】2 134=1 455+679，1 455=679×2+97，679=97×7，所以2 134与14 55的最大公约数为97，所以m=97.

用97连续除3取余数，可得97化为三进制数为10 12

答案：10 121(3)

【补偿训练】

　　　已知k进制数32501(k)，则k不可能是 (　　)

A.5　　　　B.6　　　　 C.7　　　　D.8

【解析】选A.k进制数中各个数字均小于k，则k>5.

2.有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g，343 g，133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，求每瓶最多装多少？

【解析】先求147与343的最大公约数：

343-147=196，

196-147=49，

147-49=98，

98-49=49.

所以147与343的最大公约数是49.

再求49与133的最大公约数：

133-49=84，

84-49=35，

49-35=14，

35-14=21，

21-14=7，

14-7=7.

所以147，343，133的最大公约数为7.

所以每瓶最多装7 g.