高中数学人教版新课标A选修1-12.2双曲线第2课时课后作业题

双曲线的几何性质及应用

[A组　学业达标]

1．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　)

A．4　　　　　　　　 B．2

C．1  D．－2

解析：因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，

所以若x＝a与双曲线有两个交点，

则a>2或a<－2，故只有A符合题意．

答案：A

2．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　　)

A．a＝1  B．0<a<1

C．a>1  D．a≥1

解析：等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.

答案：D

3．直线l：y＝kx与双曲线C：x2－y2＝2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(－，)

C．(－1,1)  D．[－1,1]

解析：由双曲线C：x2－y2＝2与直线l：y＝kx联立，得(1－k2)x2－2＝0.因为直线l：y＝kx与双曲线C：x2－y2＝2交于不同的两点，所以

解得－1<k<1，即斜率k的取值范围是(－1,1)．

答案：C

4．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则k的取值范围为(　　)

A.  B．(－1,1)

C.   D.

解析：联立方程得(1－k2)x2－4kx－10＝0，①

若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根．

所以

解得k∈.故选C.

答案：C

5．设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±x

解析：设F1(－c,0)，A(－c，y0)，

则－＝1，

∴＝－1＝＝＝，

∴y＝，∴|AB|＝2|y0|＝.

又S△ABF2＝2，

∴·2c· |AB|＝·2c·＝＝2，

∴＝，∴＝＝.

∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x.

答案：D

6．直线2x－y－10＝0与双曲线－＝1的交点是________．

解析：由

解得或

答案：(6,2)，

7．直线y＝x＋1与双曲线－＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________.

解析：由得x2－4x－8＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

∴|AB|＝

＝＝4.

答案：4

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．

解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.

答案：[2，＋∞)

9．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．

解析：双曲线方程可化为－＝1，

故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.∴F2(2,0)，

又直线l的倾斜角为45°，

∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

∴直线l的方程为y＝x－2，

代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵x1·x2＝－<0，

∴A，B两点不位于双曲线的同一支上．

∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，

∴|AB|＝|x1－x2|

＝

＝·＝6.

10．斜率为2的直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为，求直线l的方程．

解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，

由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)

设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由根与系数的关系，

得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．

于是|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2

＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]

＝5.

因为|AB|＝，

所以m2－6(m2＋2)＝6.

则m2＝15，m＝±.

由(*)式得Δ＝24m2－240，把m＝±代入上式，得Δ>0，

所以m的值为±，

故所求l的方程为y＝2x±.

[B组　能力提升]

11．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的一个焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＝＝＝，

又AB的斜率是＝1，

所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1.

答案：B

12．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)

A.  B．2

C.   D.

解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，

∴M点的坐标为(2a，a)．

∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故选D.

答案：D

13．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．

解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，

所以B.

所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝.

答案：

14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为________．

解析：由题意知F(c,0)，A1(－a,0)，A2(a,0)，其中c＝.

联立

解得B，C，

所以＝，

＝.

因为A1B⊥A2C，

所以·＝(c＋a)(c－a)－＝0，

解得a＝b，

所以渐近线的斜率为±1.

答案：±1

15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e＝2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．

解析：(1)由已知得c＝2，e＝2，

所以a＝1，b＝.

所以所求的双曲线方程为x2－＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，

点M(x1，y1)，N(x2，y2)．

联立

整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)

设MN的中点为(x0，y0)，

则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，

所以线段MN垂直平分线的方程为

y－＝－，即x＋y－2m＝0，

与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，

可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l的方程为y＝x±.

16．已知P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．

解析：(1)由点P在双曲线－＝1上，

得－＝1.

由题意得·＝，

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，

则e＝＝.

(2)联立方程得

得4x2－10cx＋35b2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

设＝(x3，y3)，由＝λ＋，

得

又C为双曲线E上一点，

即x－5y＝5b2，

有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，

化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线E上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.

又x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)

＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，

得λ2＋4λ＝0，

解得λ＝0或λ＝－4.