全国统考2022版高考数学大一轮复习选修4-4坐标系与参数方程2备考试题（含解析）

选修4-4　坐标系与参数方程

1.[2020全国卷Ⅲ,22,10分]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.

(1)求|AB|;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.

2.[2019全国卷Ⅱ,22,10分]在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.

(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.

3.[2020湖南师大附中高三摸底考试][与向量综合]在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数),点P的坐标为(-2,0).

(1)若点Q在曲线C上运动,点M在线段PQ上运动,且=2,求动点M的轨迹方程.

(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.

4.[2020广州高三二测]在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=2ρcos θ+8.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程.

(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且|AB|=4,求直线l的倾斜角.

5.[2021陕西百校联考]在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=.

(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(2)求C2上的动点到C1的距离的取值范围.

6.[2021蓉城名校联考]在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)设C1,C2的交点为M,N,求△C2MN的面积.

7.[2021晋南高中联考]以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1:ρ=4sin(θ+),M是C1上的动点,点N在射线OM上且满足2|ON|=|OM|,设点N的轨迹为曲线C2.

(1)写出曲线C2的极坐标方程,并化为直角坐标方程;

(2)已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),曲线C2截直线l所得线段的中点坐标为(,),求φ的值.

8.[2020 济南5月三模][与数列综合]在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,且在两坐标系下长度单位相同.已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acos θ(a>0),过点P(-1,2)的直线l:(t为参数)与曲线C相交于M,N两点.

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;

(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.

9.[2020四省名校高三第一次联考][新定义题]在极坐标系中,方程为ρ=2sin 2θ的曲线为如图1所示的“幸运四叶草”,该曲线又被称为玫瑰线.

(1)当玫瑰线的θ∈[0,]时,求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标.

(2)求曲线ρ=上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时的点M,N的极坐标(不必写详细解题过程).

图1

10.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试][新角度题]已知曲线C的参数方程为(θ为参数),A(2,0),P为曲线C上的一个动点.

(1)求动点P对应的参数从变动到时,线段AP所扫过的图形的面积.

(2)若直线AP与曲线C的另一个交点为Q,是否存在点P,使得P为线段AQ的中点?若存在,求出点P的直角坐标;若不存在,请说明理由.

答 案

选修4-4　坐标系与参数方程

1.(1)因为t≠1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为

(-4,0).故|AB|=4.

(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得直线AB的极坐标方程为3ρcos θ-ρsinθ+12=0.

【题型风向】　题目的新颖之处是根据参数方程求解曲线与x,y轴的交点坐标,体现了对参数方程的深刻理解,角度新颖.

2.(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin=2.

由已知得|OP|=|OA|cos=2.

设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.连接OQ,在Rt△OPQ中,ρcos(θ)=|OP|=2.

经检验,点P(2,)在曲线ρcos(θ)=2上.

所以,l的极坐标方程为ρcos(θ)=2.

(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cos θ,即ρ=4cos θ.

因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是[,].

所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈[,].

【方法技巧】　极坐标方程中,每一个θ0对应一个ρ0,求点的轨迹的极坐标方程时,要学会构建等量关系,同时要注意极角的取值范围.

3.(1)设Q(cos θ,sinθ),M(x,y),

则由=2,得(x+2,y)=2(cos θ-x,sinθ-y),

即

由①和②得(3x+2)2+(3y)2=4,即(x+)2+y2=,

所以动点M的轨迹方程为(x+)2+y2=.

(2)易知曲线C的普通方程为x2+y2=1,直线l的普通方程为y=(x+2),

设α为直线l的倾斜角,则tan α=,sin α=,cos α=,

则直线l的参数方程可设为(t'为参数),

代入曲线C的普通方程,得t'2t'+3=0,

Δ=()2-12=>0,

设点A,B对应的参数分别为t'1,t'2,

则|PA|·|PB|=|t'1|·|t'2|=|t'1t'2|=3.

4.(1)解法一　因为直线l的参数方程为(t为参数),所以当α=时,直线l的普通方程为x=2;

当α≠时,直线l的普通方程为y=(x-2)tan α.

将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入ρ2=2ρcos θ+8,得x2+y2=2x+8.

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0.

解法二　直线l的参数方程为(t为参数),

则有

所以直线l的普通方程为xsinα-ycosα-(2sin αcos α)=0.

将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入ρ2=2ρcos θ+8,得x2+y2=2x+8.

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0.

(2)解法一　曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0,

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程并整理,得t2+(2sin α+2cos α)t-5=0　①.

因为Δ=(2sin α+2cos α)2+20>0,所以可设①的两个根分别为t1,t2,则t1+t2=-(2sin α+2cos α),t1t2=-5.

所以|AB|=|t1-t2|

=

=

=4,

整理得(sin α+cos α)2=3,

故2sin(α+)=±.

因为0≤α<π,所以≤α+,所以α+或α+,解得α=或α=.

所以直线l的倾斜角为或.

解法二　由(1)得曲线C是以C(1,0)为圆心,3为半径的圆.直线l与圆C交于A,B两点,且|AB|=4,

故圆心C(1,0)到直线l的距离d==1.

①当α=时,直线l的方程为x=2,符合题意.

②当α∈[0,)∪(,π)时,直线l的方程为xtanα-y+2tan α=0,所以d==1,

整理得|tan α|=,解得α=.

综上所述,直线l的倾斜角为或.

5.(1)∵直线C1的参数方程为(t为参数),

∴消去参数t,得直线C1的普通方程为x-y+4=0.

∵曲线C2的极坐标方程为ρ2=,

∴2ρ2+ρ2cos 2θ=3,即2ρ2+ρ2(cos2θ-sin2θ)=3,

∴曲线C2的直角坐标方程为2(x2+y2)+x2-y2=3,即x2+=1.

(2)曲线C2的参数方程为(α为参数),

设C2上的动点为M(cos α,sin α),则C2上的动点M到C1的距离d=.∵2sin(α)∈[-2,2],

∴曲线C2上的动点到C1的距离的最大值为3,最小值为,

故C2上的动点到C1的距离的取值范围为[,3].

6.(1)因为ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,

所以C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-4y+4=0,

即(x-1)2+(y-2)2=1.

(2)解法一　设M,N对应的参数分别为t1,t2.将C1的参数方程代入C2的直角坐标方程得(-2+t)2+(-1+t)2=1,整理得t2-3t+4=0,

Δ=(-3)2-4×4=2>0,

且t1+t2=3,t1t2=4,所以|MN|=.

因为C2的半径为r=1,

则圆心C2到MN的距离d=,

故△C2MN的面积S=.

解法二　将直线C1的方程化为普通方程得x-y+2=0,

则圆心C2(1,2)到直线C1的距离d=,

又圆C2的半径r=1,故|MN|=2=2.

故△C2MN的面积S=.

7.(1)设点N(ρ,θ),则点M(2ρ,θ),又M是C1上的动点,

∴2ρ=4sin(θ+),即ρ=2sin(θ+).

两边同乘以ρ并展开整理得ρ2=ρ(sin θ+cos θ),

又ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsinθ=y,

∴C2的直角坐标方程为x2+y2x-y=0.

(2)将直线l的参数方程代入C2的直角坐标方程得t2-t(cos φ+sin φ)=0,

设直线l与曲线C2的两个交点为A,B,且A,B对应的参数分别为t1,t2,

由已知可得t1+t2=cos φ+sin φ=0,故tan φ=,

∵0≤φ<π,∴φ=.

8.(1)把 代入ρsin2θ=2acos θ(a>0)得y2=2ax(a>0).对于直线l:(t为参数),消去t得x+y=0.

所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2ax(a>0)和x+y=0.

(2)将(t为参数)代入y2=2ax(a>0),

整理得3t2+(24+4a)t+48+8a=0.

易知Δ>0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=.

因为|MN|2=|PM|·|PN|,所以(t1-t2)2=t1t2,

即(t1+t2)2-4t1t2=t1t2,即(t1+t2)2=5t1t2,即,解得a=.

9.(1)由题意可得单位圆的极坐标方程为ρ=1.

由得sin 2θ=.

∵θ∈[0,],∴θ=或θ=,

∴交点的极坐标为(1,),(1,).

(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴,建立平面直角坐标系xOy.曲线ρ=的直角坐标方程为x+y=4.玫瑰线关于原点中心对称,而原点O到直线x+y=4的最小距离|OM|min==2,原点到玫瑰线上的点的最大距离|ON|max=2,当且仅当θ=时,|OM|min和|ON|max同时取到,∴|MN|min=|OM|min-|ON|max=22,此时M(2,),N(2,).

10.(1)设θ=时动点P对应的点为M,θ=时动点P对应的点为N,O为坐标原点,

则线段AP扫过的图形的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S弓形=S扇形OMN=×12×.

(2)设P(cos θ,sinθ),

∵P为线段AQ的中点,

∴Q(2cos θ-2,2sin θ).

∵Q在曲线C上,曲线C的普通方程为x2+y2=1,

∴(2cos θ-2)2+(2sin θ)2=1,

∴8cos θ=7,cosθ=.

此时点P的直角坐标为(,)或(,),故存在满足条件的点P,其直角坐标为(,)或(,).