全国统考2022版高考数学大一轮复习第8章立体几何第4讲直线平面垂直的判定及性质2备考试题（含解析）

第八章　立体几何

第四讲　直线、平面垂直的判定及性质

1.[2020昆明市高考模拟]已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的 (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.[数学文化题]《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图8-4-1所示的四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PD=CD,点E,F分别为PC,PD的中点,则图中的鳖臑有              (　　)

A.2个 B.3个

C.4个 D.5个

图8-4-1

3.[2021江苏省部分学校学情调研]已知α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出下面四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中的三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:　　　　　　. 

4.[2021云南省部分学校统一检测]如图8-4-2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,E是CC1的中点,BC=1,BB1=2,AB=,∠BCC1=60°.

(1)证明:B1E⊥AE.

(2)若A1B∩AB1=D,求三棱锥D-AA1E的体积.

图8-4-2

5.[2021安徽四校联考]如图8-4-3(1),ABCD是正方形,点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B,C重合),E为线段BC的中点.现将正方形ABCD沿BC折起,使得平面ABCD⊥平面BCP,如图8-4-3(2)所示.

(1)　　　　　　　　　　(2)

图8-4-3

(1)证明:BP⊥平面DCP.

(2)若BC=2,当三棱锥D-BPC的体积最大时,求E到平面BDP的距离.

6.[2020惠州市二调]如图8-4-4,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直,已知AB=3,EF=1.

(1)求证:平面DAF⊥平面CBF.

(2)设几何体F-ABCD,F-BCE的体积分别为V1,V2,求V1∶V2的值.

图8-4-4

7.[2021贵阳市四校第二次联考]如图8-4-5所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=4,PD=BD=AD,且PD⊥底面ABCD.

(1)证明:BC⊥平面PBD.

(2)若Q为PC的中点,求三棱锥A-PBQ的体积.

图8-4-5

8.已知平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=45°,点E在线段CD上,DE=EC,把△BCE沿BE翻折,使点C到点P的位置,如图8-4-6.

(1)当平面PBE⊥平面ABCD时,求AP的长;

(2)若PD=2,求三棱锥B-ADP的体积.

图8-4-6

9.如图8-4-7,在四棱锥S-ABCD中,已知底面ABCD为矩形,△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=2,AB=2,F是BC的中点.

(1)若在线段AD上存在点E,使得平面SEF⊥平面ABCD,指出点E的位置并说明理由;

(2)在(1)的条件下,若∠SFE=30°,求点F到平面SAD的距离.

图8-4-7

10.如图8-4-8,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC,平面ACC1A1,平面BCC1B1两两垂直.

(1)求证:CA,CB,CC1两两垂直.

(2)若CA=CB=CC1=a,求三棱锥B1-A1BC的体积.

图8-4-8

11.[原创题]如图8-4-9,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,D为线段PB的中点,E为线段PC上的动点,且PA=AB=4,BC=3.

(1)求证:平面ADE⊥平面PBC.

(2)当三棱锥P-ADE的体积为2时,求DE的长度.

图8-4-9

答 案

第八章　立体几何

第四讲　直线、平面垂直的判定及性质

1.A　因为l⊥α,α∥β,所以l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m;但由l⊥α,l⊥m,m⊂β不能得到α∥β.所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件.故选A.

【解题关键】　本题以空间位置关系为载体考查充要条件,求解的关键是熟记空间中直线、平面平行与垂直的判定及性质,梳理各种证明方法,结合题设条件准确运用.题目没有给出图形时,要画出图形,借助图形的直观性进行判断.

2.C　因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DC,PD⊥BC,PD⊥BD,

又四边形ABCD为正方形,所以BC⊥CD,

所以BC⊥平面PCD,所以BC⊥PC,所以四面体PDBC是一个鳖臑.

因为DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.

因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC,

又PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC,所以DE⊥BE,

可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑.

同理可得,四面体PABD和FABD都是鳖臑.

故选C.

3.若m⊥n,n⊥β,m⊥α,则α⊥β(或若α⊥β,n⊥β,m⊥α,则m⊥n)　若①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β成立,则m与α可能平行也可能相交,即④m⊥α不一定成立;若①m⊥n,②α⊥β,④m⊥α成立,则n与β可能平行也可能相交,即③n⊥β不一定成立;若①m⊥n,③n⊥β,④m⊥α成立,因为m⊥n,n⊥β,所以m∥β,又m⊥α,所以α⊥β,即①③④⇒②;若②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α成立,因为α⊥β,n⊥β,所以n∥α,又m⊥α,所以m⊥n,即②③④⇒①.

4.(1)如图D 8-4-4,连接BE.

因为在△BCE中,BC=1,CE=CC1=BB1=1,∠BCE=60°,

所以△BCE是等边三角形,BE=1.

因为在△B1C1E中,B1C1=EC1=1,∠B1C1E=120°,

所以B1E=.图D 8-4-4

在△BB1E中,BE=1,B1E=,BB1=2,

所以B1E⊥BE.

又AB⊥平面BB1C1C且B1E⊂平面BB1C1C,

所以B1E⊥AB.

又AB∩BE=B,所以B1E⊥平面ABE.

因为AE⊂平面ABE,所以B1E⊥AE.

(2)由A1B∩AB1=D知D为A1B,AB1的中点.

由AB⊥平面BB1C1C,可得AB⊥BB1,

所以△AA1D的面积AB·BB1=×2=.

在平面BB1C1C内过点E作EH⊥BB1于点H,

又AB⊥EH,AB∩BB1=B,

所以EH⊥平面ABB1A1.

在Rt△BB1E中,由EH·BB1=BE·B1E,可得EH=,

即点E到平面AA1D的距离为.

所以三棱锥D-AA1E的体积.

5.(1)因为平面ABCD⊥平面BCP,ABCD是正方形,

平面ABCD∩平面BCP=BC,所以DC⊥平面BCP.

因为BP⊂平面BCP,所以BP⊥DC.

因为点P在以BC为直径的半圆弧上,所以BP⊥PC.

又DC∩PC=C,所以BP⊥平面DCP.

(2)当点P位于的中点时,△BCP的面积最大,三棱锥D-BPC的体积也最大.

如图D 8-4-5,连接PE,DE,因为BC=2,所以PE=1,所以△BEP的面积为×1×1=,

所以三棱锥D-BEP的体积为×2=.

因为BP⊥平面DCP,所以BP⊥DP,

DP=,

△BDP的面积为.设E到平面BDP的距离为d,由×d=,得d=,

即E到平面BDP的距离为.

图D 8-4-5

6.(1)解法一　∵平面ABCD⊥平面ABEF,在矩形ABCD中,CB⊥AB,

平面ABCD∩平面ABEF=AB,CB⊂平面ABCD,

∴CB⊥平面ABEF.∵AF⊂平面ABEF,∴AF⊥CB.

又AB为圆O的直径,∴AF⊥BF.

∵CB∩BF=B,∴AF⊥平面CBF.

∵AF⊂平面DAF,∴平面DAF⊥平面CBF.

解法二　∵平面ABCD⊥平面ABEF,在矩形ABCD中,DA⊥AB,

平面ABCD∩平面ABEF=AB,DA⊂平面ABCD,

∴DA⊥平面ABEF.

∵BF⊂平面ABEF,∴DA⊥BF.

又AB为圆O的直径,∴AF⊥BF.

∵DA∩AF=A,∴BF⊥平面DAF.∵BF⊂平面CBF,∴平面DAF⊥平面CBF.

(2)如图D 8-4-6,过点F作FH⊥AB,交AB于H.

∵平面ABCD⊥平面ABEF,

平面ABCD∩平面ABEF=AB,

且FH⊂平面ABEF,

∴FH⊥平面ABCD.

则V1=×(AB×BC)×FH,图D 8-4-6

易知V2=×()×BC,

∴=6.

7.(1)由题意得,AB=4,AD=2,BD=AD=2,所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,

因为四边形ABCD为平行四边形,

所以AD∥BC,

所以BC⊥BD,

又PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC,

因为PD∩BD=D,所以BC⊥平面PBD.

(2)如图D 8-4-7,连接AC,因为Q为PC的中点,所以S△PBQ=S△QBC,

所以V三棱锥A-PBQ=V三棱锥A-QBC,

因为四边形ABCD为平行四边形,所以V三棱锥A-QBC=V三棱锥Q-ABC=V四棱锥Q-ABCD.

过点Q作QE⊥DC交DC于点E,

因为PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PD⊥DC,

所以PD∥QE,

所以QE⊥平面ABCD,

又Q为PC的中点,所以QE为△CDP的中位线,所以QE=PD,

所以V四棱锥Q-ABCD=V四棱锥P-ABCD.

由已知可得PD=2,所以V三棱锥A-PBQ=V三棱锥A-QBC=V三棱锥Q-ABC=V四棱锥Q-ABCD=V四棱锥P-ABCD=×2×2×2=2,

故三棱锥A-PBQ的体积为2.

图D 8-4-7

8.(1)翻折前,根据CD=AB=4,DE=EC,得CE=2,

在△BCE中,BC=2,∠BCE=∠BAD=45°,

由余弦定理,得BE=2,所以BC2=BE2+CE2,于是BE⊥CE.

翻折后,有PE⊥BE.

因为平面PBE⊥平面ABCD,且平面PBE∩平面ABCD=BE,PE⊂平面PBE,所以PE⊥平面ABCD.

连接AE,因为AE⊂平面ABCD,所以PE⊥AE,

而AE2=AB2+BE2=16+4=20,PE=2,

所以PA==2.

(2)如图D 8-4-8,因为BE⊥PE,BE⊥DE,PE∩DE=E,

所以BE⊥平面PDE,

又BE⊂平面ABED,所以平面PDE⊥平面ABED.

图D 8-4-8

由于PD=2,DE=PE=2,所以△PDE为正三角形,

取DE的中点O,连接PO,则PO⊥DE,

所以PO⊥平面ABED,且PO=,

所以三棱锥B-ADP的体积VB-ADP=VP-ADB=S△ADB·PO=×4×2×.

9.(1)点E为AD的中点.

理由如下:因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD.

又E,F分别是AD,BC的中点,所以EF∥AB,

所以AD⊥EF.

又△SAD为等腰直角三角形,SA=SD,

所以SE⊥AD.

因为SE∩EF=E,所以AD⊥平面SEF.

又AD⊂平面ABCD,所以平面SEF⊥平面ABCD.

图D 8-4-9

(2)如图D 8-4-9,过点S作SO⊥FE,交FE的延长线于点O.

由(1)知平面SEF⊥平面ABCD,平面SEF∩平面ABCD=EF,所以SO⊥平面ABCD.

因为△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=2,

所以AD=4,SE=2,

又EF=AB=2,所以△SEF为等腰三角形.

因为∠SFE=30°,故∠SEF=120°,∠SEO=60°,

故OE=1,SO=.

连接AF,DF,设F到平面SAD的距离为d,

由VF-SAD=VS-FAD可得×S△SAD×d=×SO×S△FAD.

易知S△SAD=×2×2=4,S△FAD=×2×4=4,

所以d=SO=.

10.(1)在△ABC内取一点P,作PD⊥AC,PE⊥BC,

因为平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,所以PD⊥平面ACC1A1,所以PD⊥CC1.

同理PE⊥CC1,又PD∩PE=P,所以CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC,CC1⊥BC,

用证CC1⊥AC的方法,可证AC⊥BC,故CA,CB,CC1两两垂直.

(2),由(1)可知,三棱锥A1-BCB1的高为A1C1=a,

又BC·BB1=a2,所以三棱锥B1-A1BC的体积为a3.

11.(1)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.

又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.

∵AD⊂平面PAB,∴AD⊥BC.

∵PA=AB,D为线段PB的中点,∴AD⊥PB.

又BC∩PB=B,∴AD⊥平面PBC.

∵AD⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面PBC.

(2)易知S△PAD=S△PAB=×4×4=4.

记点E到平面PAB的距离为h,则V三棱锥P-ADE=V三棱锥E-PAD=×S△PAD×h=h,由h=2,得h=.

由(1)可知BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB.

过点E向PB作垂线,垂足为F,则EF⊥平面PAB,且EF∥BC.

∵EF=h=,BC=3,∴EF为△PBC的中位线,即点F与点D重合.故DE=.

【素养落地】　本题以三棱锥为载体,让考生在运用与线面、面面垂直有关的定理的过程中,提升直观想象和逻辑推理等核心素养.